任務(wù)十四 梁的內(nèi)力計(jì)算

1、模塊二模塊二 材料力學(xué)材料力學(xué)梁的內(nèi)力計(jì)算梁的內(nèi)力計(jì)算 梁的內(nèi)力計(jì)算梁的內(nèi)力計(jì)算教學(xué)教學(xué) 內(nèi)內(nèi) 容容1、 梁彎曲的概念梁彎曲的概念2、 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩模塊二模塊二 材料力學(xué)材料力學(xué) 構(gòu)件的彎曲變形是工程中常見(jiàn)的，也是重要的基本變構(gòu)件的彎曲變形是工程中常見(jiàn)的，也是重要的基本變形。如圖形。如圖1中橋式吊車梁、圖中橋式吊車梁、圖2中的管道梁、圖中的管道梁、圖3中的樓面中的樓面梁等，都是工程中受彎曲的實(shí)例。梁等，都是工程中受彎曲的實(shí)例。當(dāng)桿件受到垂直于桿軸的外力或在桿軸平面內(nèi)受到外當(dāng)桿件受到垂直于桿軸的外力或在桿軸平面內(nèi)受到外力偶作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，這種變形稱為力

2、偶作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲變形。發(fā)生彎曲變形或以彎曲變形。發(fā)生彎曲變形或以彎曲變形為主的構(gòu)件，通稱彎曲變形為主的構(gòu)件，通稱為梁。為梁。 一、梁彎曲的概念一、梁彎曲的概念圖圖1 圖圖3 圖圖2 一、梁彎曲的概念一、梁彎曲的概念1 1、梁彎曲的概念、梁彎曲的概念 工程中大多數(shù)的梁，其橫截面都具有對(duì)稱軸，如圖工程中大多數(shù)的梁，其橫截面都具有對(duì)稱軸，如圖5所示。對(duì)稱軸與梁所示。對(duì)稱軸與梁的軸線構(gòu)成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面的軸線構(gòu)成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面(圖圖6)。若作用在梁上的外力或外力偶都。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且外力垂直于梁的軸線，則梁在變形時(shí)，其軸線

3、將在作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且外力垂直于梁的軸線，則梁在變形時(shí)，其軸線將在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這種彎曲變形稱為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。平面彎曲。2、 平面彎曲的概念平面彎曲的概念圖圖5 圖圖6 根據(jù)梁的支座反力能否全部由靜力平衡條件確定，將梁分為靜定梁和超根據(jù)梁的支座反力能否全部由靜力平衡條件確定，將梁分為靜定梁和超靜定梁。靜定梁又可分為單跨靜定梁和多跨靜定梁。靜定梁。靜定梁又可分為單跨靜定梁和多跨靜定梁。單跨靜定梁按支座情況可分三種基本類型：?jiǎn)慰珈o定梁按支座情況可分三種基本類型：（1） 簡(jiǎn)支梁梁的一端為固定鉸支端，另一端為活動(dòng)鉸支座簡(jiǎn)支梁梁的一端為固

4、定鉸支端，另一端為活動(dòng)鉸支座(圖圖7(a)。（2） 外伸梁其支座形式和簡(jiǎn)支梁相同，但梁的一端或兩端伸出支座之外外伸梁其支座形式和簡(jiǎn)支梁相同，但梁的一端或兩端伸出支座之外(圖圖7(b)。（3） 懸臂梁梁的一端固定，另一端自由懸臂梁梁的一端固定，另一端自由(圖圖7(c)。3、梁的類型、梁的類型圖圖7 二、梁的內(nèi)力二、梁的內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩圖圖8(a)為一簡(jiǎn)支梁，載荷為一簡(jiǎn)支梁，載荷P與支座反力與支座反力NA和和NB是作用在梁縱向?qū)κ亲饔迷诹嚎v向?qū)ΨQ面內(nèi)的平衡力系?，F(xiàn)用截面法分析任一截面稱面內(nèi)的平衡力系?，F(xiàn)用截面法分析任一截面mm上的內(nèi)力。上的內(nèi)力。 梁的橫截面上的內(nèi)力比較復(fù)雜，一般存在兩個(gè)

5、內(nèi)力元素：梁的橫截面上的內(nèi)力比較復(fù)雜，一般存在兩個(gè)內(nèi)力元素：（1） 剪力剪力Q相切于橫截面的內(nèi)力。剪力的作用線通過(guò)截面形心。相切于橫截面的內(nèi)力。剪力的作用線通過(guò)截面形心。（2） 彎矩彎矩M作用面與橫截面垂直的內(nèi)力偶矩。作用面與橫截面垂直的內(nèi)力偶矩。 1、 剪力和彎矩剪力和彎矩截面截面mm上剪力上剪力Q的大小和方向以及彎矩的大小和方向以及彎矩M的大小和轉(zhuǎn)向，可的大小和轉(zhuǎn)向，可由右段梁的平衡方程確定由右段梁的平衡方程確定Fy=0，NB-Q=0Q=NBmC(F)= 0，NBx-M=0M=NBx根據(jù)作用力和反作用力的關(guān)系，分別以梁的左段和右段為研究根據(jù)作用力和反作用力的關(guān)系，分別以梁的左段和右段為研究

6、對(duì)象求出的對(duì)象求出的Q和和M，大小是相等的，而方向或轉(zhuǎn)向是相反的，大小是相等的，而方向或轉(zhuǎn)向是相反的(圖圖8(b)、(c)。 1、 剪力和彎矩剪力和彎矩二、梁的內(nèi)力二、梁的內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩圖圖8 1、 剪力和彎矩剪力和彎矩二、梁的內(nèi)力二、梁的內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩(1) 剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定正剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)正剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)(圖圖9(a)；負(fù)剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)負(fù)剪力：截面上的剪力使研究對(duì)象作逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)(圖圖9(b)。圖圖9 2、 剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定

7、二、梁的內(nèi)力二、梁的內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩 (2) 彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定正彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凹下凸的形狀正彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凹下凸的形狀(圖圖10(a)；負(fù)彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凸下凹的形狀負(fù)彎矩：截面上的彎矩使該截面附近彎成上凸下凹的形狀(圖圖10(b)。圖圖10 2、 剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定利用截面法計(jì)算指定截面的剪力和彎矩的步驟如下：利用截面法計(jì)算指定截面的剪力和彎矩的步驟如下：（1） 計(jì)算支座反力。計(jì)算支座反力。（2） 用假想的截面在欲求內(nèi)力處將梁截成兩段，取其中一段用假想的截面在欲求內(nèi)力處將梁截成

8、兩段，取其中一段為研究對(duì)象。為研究對(duì)象。（3） 畫(huà)出研究對(duì)象的內(nèi)力圖。截面上的剪力和彎矩均按正方畫(huà)出研究對(duì)象的內(nèi)力圖。截面上的剪力和彎矩均按正方向假設(shè)。向假設(shè)。（4） 建立平衡方程，求解剪力和彎矩。建立平衡方程，求解剪力和彎矩。3、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩【例例 1】簡(jiǎn)支梁如圖簡(jiǎn)支梁如圖11(a)所示。已知所示。已知P1=36kN，P2=30kN，試求截面，試求截面II上的剪力和彎矩。上的剪力和彎矩?！窘饨狻?1) 求支座反力求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖11(a)。列平衡方程。列平衡方程由由mA(F)= 0，RB6-P

9、11-P24=0得得RB=（P11+P24）/6=26kN由由mB(F)= 0，P15+P22-RA6=0得得RA=(P15+P22)/6=40kN(2) 求截面求截面I-I的內(nèi)力的內(nèi)力用用I-I截面將梁假想地截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖截面將梁假想地截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖11(b)。列平衡方程。列平衡方程3、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩圖圖11由由Fy=0，RA-P1-Q1=0得得Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN由由m1(F)=0，M1+P11-RA2=0得得M1=RA2-P11=(402-361)kNm=44kNm計(jì)算結(jié)果計(jì)算

10、結(jié)果Q1、M1為正，表明為正，表明Q1、M1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正剪實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正剪力和正彎矩。力和正彎矩。若取梁的右段為研究對(duì)象，受力圖如若取梁的右段為研究對(duì)象，受力圖如圖圖11(c)所示。列平衡方程所示。列平衡方程由由Fy=0，Q1+RB-P2=0得得Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN由由m1(F)=0，RB4-P22-M1=0得得M1=RB4-P22=(264-302)kNm=44kNm可見(jiàn)，不管選取梁的左段或右段為研究對(duì)象，可見(jiàn)，不管選取梁的左段或右段為研究對(duì)象， 所得截面所得截面I-I的內(nèi)力結(jié)果相同的內(nèi)力結(jié)果相同?！纠纠?2】外伸梁受載荷作

11、用如圖外伸梁受載荷作用如圖12(a)所示。圖中截面所示。圖中截面1-1是指從右側(cè)無(wú)限是指從右側(cè)無(wú)限接近于支座接近于支座B。試求截面。試求截面1-1和截面和截面2-2的剪力和彎矩。的剪力和彎矩?！窘饨狻?1) 求支座反力求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖12(a)。由平衡方程求解支座反力。由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，RCa-P2a-Me=0RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3PmC(F)=0，-RBa-Pa-Me=0RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P3、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩

12、(2) 求截面求截面1-1的內(nèi)力的內(nèi)力用用1-1截面將梁假想地截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖截面將梁假想地截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，受力圖如圖12(b)。由平衡方程求由平衡方程求Q1和和M1Fy=0，RB-Q1=0Q1=RB=-2Pm1(F)= 0，M1-Me=0M1=Me=Pa計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果Q1為負(fù)，表明為負(fù)，表明Q1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相反，故為負(fù)實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相反，故為負(fù)剪力；剪力；M1為正，表明為正，表明M1實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正彎矩。實(shí)際方向與圖示假設(shè)方向相同，故為正彎矩。3、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩(3) 求截面求截面

13、2-2的內(nèi)力的內(nèi)力用用2-2截面將梁假想地截開(kāi)，取右段為研究對(duì)象，受力圖如圖截面將梁假想地截開(kāi)，取右段為研究對(duì)象，受力圖如圖12(c)。由平衡方程求。由平衡方程求Q2和和M2Fy=0，Q2-P=0Q2=P(正剪力正剪力)m2(F)= 0，-M2-Pa/2=0M2=-Pa/2 (負(fù)彎矩負(fù)彎矩)3、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩圖圖123、 用截面法求指定截面的剪力和彎矩用截面法求指定截面的剪力和彎矩(1) 梁內(nèi)任一截面上的剪力，其大小等于該截面左側(cè)梁內(nèi)任一截面上的剪力，其大小等于該截面左側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))梁梁上所有外力的代數(shù)和；梁內(nèi)任一截面的彎矩，其大小等于該截面

14、左上所有外力的代數(shù)和；梁內(nèi)任一截面的彎矩，其大小等于該截面左側(cè)側(cè)(或右側(cè)或右側(cè))梁上所有外力對(duì)于該截面形心之矩的代數(shù)和。梁上所有外力對(duì)于該截面形心之矩的代數(shù)和。(2) 外力對(duì)內(nèi)力的符號(hào)規(guī)則外力對(duì)內(nèi)力的符號(hào)規(guī)則左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。(3) 代數(shù)和的正負(fù)，就是剪力或彎矩的正負(fù)。代數(shù)和的正負(fù)，就是剪力或彎矩的正負(fù)。 4、計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律【例例 3】簡(jiǎn)支梁受載荷作用如圖簡(jiǎn)支梁受載荷作用如圖13所示。已知集中力所示。已知集中力P=1000N，集中，集中力偶力偶m=4kNm，均布載荷，均布載荷q=10kN/m，試求，試求1-1和和2-2截面的剪力和彎截面的剪力和彎矩。矩?！窘饨狻?1) 求支座反力求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖以整梁為研究對(duì)象，受力圖如圖13所示，由平衡方程求解支座所示，由平衡方程求解支座反力。反力。mB(F)=0，P750-RA1000-m+q500250=0RA=(P750-m+q500250)/1000=-2000NFy=0，RA-P-500q+RB=0RB=P+500q-RA=8000N 4、計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律(2) 計(jì)算計(jì)算1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由1-