信息光學(xué)原理第3章

1、第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容3.1、透鏡的位相調(diào)制作用3.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.3、透鏡的成像性質(zhì)3.4、成像系統(tǒng)的一般分析3.5、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.7、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響3.8、相干和非相干成像系統(tǒng)的比較3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡的成像功能ff2）透鏡的傅里葉變換功能 （夫瑯和費(fèi)衍射）f Question:Question: 透鏡為什么具有這樣的功能？透鏡為什么具有這樣的功能

2、？3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用1. 1. 透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率：,llUx ytx yU x y在傍軸近似下，忽略透鏡對(duì)光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過(guò)率表示為：則透鏡復(fù)振幅透過(guò)率表示為：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkd

3、jxyd( (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)) )( (調(diào)制項(xiàng)調(diào)制項(xiàng)) )對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對(duì)空間分布，分析時(shí)可忽略掉。對(duì)于調(diào)制項(xiàng)，它改變了平面上位相的相對(duì)空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式0111iddf( ( 為透鏡的焦距為透鏡的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：因此，透鏡的位相調(diào)制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer:Answer: 透鏡本身的厚度變化，使得

4、入射光波在通過(guò)透鏡的不同部位時(shí)，經(jīng)過(guò)的光程差不同，即所受時(shí)間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。等相位面結(jié)論結(jié)論：通過(guò)上面的分析可知，透鏡對(duì)透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會(huì)具有這種能力呢？3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用2 2 透鏡的厚度函數(shù)透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況主要考慮薄透鏡的情況 ( (忽略了折射效應(yīng)忽略了折射效應(yīng)) )如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過(guò)透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個(gè)大小正比于透鏡各點(diǎn)厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：,exp,exp,ltx yjkx yjkL

5、x yL(x,y)L(x,y) 00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之間的光程：則則 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑R1和R2)之間的關(guān)系。2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 22

6、2221011101121222222022202222,11,11xyx yRRxyRRxyx yRRxyRR 僅考慮僅考慮傍傍軸光軸光2201211,2xyx yRR 將透鏡一剖為二將透鏡一剖為二12,x yx yx y 3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用3 3 透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在傍軸近似下，光波通過(guò)透鏡時(shí)在(x,y)點(diǎn)發(fā)生的位相延遲 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lk

7、tx yjknjxyf常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)透鏡位相因子透鏡位相因子(n(n為透鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率) )3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在傍軸近似條件下推導(dǎo)出來(lái)的。透鏡的作用： 將入射平面波入射平面波變換為會(huì)聚（發(fā)散）球面波會(huì)聚（發(fā)散）球面波 ，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有 的位 相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。22exp2kjxyf3.1 3.1 透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的位相調(diào)制作用22exp2kjxyf1）若在非傍軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)

8、生波像差。2）實(shí)際透鏡總是有大小的，即存在一個(gè)有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來(lái)表示透鏡的有限孔徑，即1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他于是透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率可以完整的表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透鏡對(duì)入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對(duì)于入射波前大小范圍的限制。3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場(chǎng)的空間頻譜，即實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。f 透鏡為什么具有這種功能呢？* * * * 根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說(shuō)是透鏡的根本原因在于它具有能

9、對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說(shuō)是透鏡的二次位相因子在起作用。二次位相因子在起作用。 下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過(guò)程，并深入討論透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。光波傳播分析方法3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透鏡后焦面上的場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)U1(x,y)的傅立葉變換(空間頻譜) 根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場(chǎng)U2(x,y)為:2221,exp2kUx yUx yjxyf從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場(chǎng)U(x,y)為：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff222

10、2,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff ?物體放置在透鏡前物體放置在透鏡前d d處處3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換( (空間頻譜空間頻譜) )。如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過(guò)率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場(chǎng)為：00000,UxyA t xy

11、根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyHffjdff則有：則有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyHffjffF3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 上式具有普遍意義，它證明在物體透射場(chǎng)的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。 如果d0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF

12、22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff其中，T( )為透過(guò)率函數(shù)t( )的頻譜。對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為22,fffffxyAIxyTfff（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場(chǎng)分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。 如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下： 在單色平面波照明下，無(wú)論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對(duì)于這

13、樣的照明方式，透鏡后焦面常稱(chēng)為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。 如果采用球面波照明時(shí)，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎? 透鏡連續(xù)兩次變換？Answer:Answer: 透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點(diǎn)光源的像面位置。具體推導(dǎo)過(guò)程可參考有關(guān)參考書(shū)，這里不再贅述。3.2 3.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3.2.3 3.2.3 透鏡孔徑的影響透鏡孔徑的影響（1）有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實(shí)際上是一個(gè)低通濾波器：低頻成分可以通過(guò)，稍高頻率成分可以部分通過(guò)，高頻部分則完全被濾

14、除。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅里葉變換結(jié)果帶來(lái)誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為漸暈效應(yīng)漸暈效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。 3.2.4 透鏡傅里葉變換的應(yīng)用透鏡傅里葉變換的應(yīng)用光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來(lái)產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對(duì)它進(jìn)行測(cè)量、分析來(lái)研究物體的空間結(jié)構(gòu)。上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點(diǎn)光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過(guò)率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場(chǎng)分布正比

15、于物體的空間頻譜，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff3.2.4 透鏡傅里葉變換的應(yīng)用透鏡傅里葉變換的應(yīng)用強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為 222222,xyI xyk Tff光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測(cè)、質(zhì)量檢測(cè)、圖像分析等領(lǐng)域。小結(jié)小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對(duì)入射波前進(jìn)行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚度變化。2）透鏡具有傅里葉變換的功能 當(dāng)采用平面波垂直照明時(shí)，總可以在透鏡后焦面上得到物體的功率譜，無(wú)論物體放置在透鏡前方、后方還是緊靠透鏡； 但

16、當(dāng)用球面波照明時(shí)，頻譜面不在透鏡焦平面上，而是點(diǎn)光源的成像位置。3）透鏡有限大小的孔徑對(duì)傅里葉變換有很大的影響，給傅里葉變換結(jié)果帶來(lái)誤差，頻率越高，誤差越大。透鏡相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器。3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì) 光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng): 光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）從物平面?zhèn)鞑サ较衿矫?，輸出像的質(zhì)量完全取決于輸出像的質(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。輸入圖像信息輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）物平面物平面像平面像平面光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)輸出圖像信息輸出圖像信息（傳遞特性）（傳遞特性） 在一定條件下，成

17、像系統(tǒng)可看作空間不變的線性系統(tǒng)，因而可以用線性系統(tǒng)理論來(lái)研究它的性能。將線性系統(tǒng)理論與傅里葉分析方法相結(jié)合，可以全面研究系統(tǒng)的空間頻率特性或傳遞函數(shù)。光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評(píng)價(jià)方法 20世紀(jì)50年代，霍普金斯完整提出了光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和處理方法。它是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的科學(xué)方法，并成為成像理論的重要基礎(chǔ)。3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì) 本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰飨?，一個(gè)薄的無(wú)像差的正透單色光照明下，一個(gè)薄的無(wú)像差的正透鏡對(duì)透射物體成實(shí)像。鏡對(duì)透射物體成實(shí)像。分析思路：分析思路： 按照光波的傳播方向，逐面確定光場(chǎng)分布，從而確定出系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，即000,lliiiUx

18、yUUUx y 3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)利用菲涅耳衍射公式，可得2200022000000000001,expexp22,expexp2lkUjkdjj ddkUxyjxyjxydx dydd 又知，透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率為22,exp2lktPjf 則透鏡后的透射場(chǎng)分布為 ,lllUUt Step 1Step 1：3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射公式，可確定Ui，22221,expexp22,expexp2iiiiiiiiliiiikUx yjkdjxyj ddkUjjxyd ddd Step 2Step 2：3.3 3.3 透

19、鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)將將 代入上式，并進(jìn)行整理，舍棄常數(shù)位相因子，可得到代入上式，并進(jìn)行整理，舍棄常數(shù)位相因子，可得到,lU 222022220000000000001,exp2111,expexp2222expexpiiiiiiiiiiikUx yjxyd ddkkUxyPjjxyddfdjxyjxydx dy d ddd 222200200expexp22iixykkjxyjddM0idMd若滿(mǎn)足成像關(guān)系，則為1 該位相因子不再依賴(lài)于(x0,y0)，可以舍去！ 若點(diǎn)物產(chǎn)生的響應(yīng)是若點(diǎn)物產(chǎn)生的響應(yīng)是一個(gè)很小的像斑。一個(gè)很小的像斑。 3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)于是，上式

20、得到簡(jiǎn)化000000020012,expiiiiUx yUxyjxydx dyd dd 2,expiiiPjxyd dd 0200012,expiiiiGPjxyd dd dddd 其中，G0是U0的傅里葉變換。上式表明成像過(guò)程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻成像過(guò)程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換，物的頻率成分在傳遞過(guò)程中將受到有限大小光瞳的截取率成分在傳遞過(guò)程中將受到有限大小光瞳的截取。由于由于002000121,exp,iiiiiixyGjxyd dUd ddddMMM 并且令光瞳函數(shù)的傅里葉變換為并且令光瞳函數(shù)的傅里葉變換為2,expiiiiih x yPjxyd dd 3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)

21、透鏡的成像性質(zhì)則利用卷積定理有01,iiiiiiixyUx yUh x yMMM00000001,iixyUh xxyydx dyMMM 根據(jù)光波傳播的線性性質(zhì)，根據(jù)光波傳播的線性性質(zhì)，U Ui i可由下述疊加積分表示可由下述疊加積分表示 0000000,;,iiiiiUx yUxy h x y xydx dy 將兩式進(jìn)行對(duì)比，有1）幾何光學(xué)理想像點(diǎn)的坐標(biāo) 滿(mǎn)足2） 可看做系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，而且00 xxM00yyM00,xyh1hhM3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，即01,iigiixyUx yUMMM假如不考慮衍射效應(yīng)，即認(rèn)為透鏡孔徑無(wú)限大，此時(shí)

22、P(,)=1，則01,iiiiigiixyUx yUUx yMMM此時(shí)，（1）系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是函數(shù)，即點(diǎn)物可成點(diǎn)像；（2）幾何光學(xué)的理想像是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，它的像平面是倒立的，而且 尺寸經(jīng)過(guò)縮放。3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍射效應(yīng)，此時(shí)00002,expiiiiih xxyyPjxxyyd dd 顯然，脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯和菲衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)00,xy輸出光場(chǎng)為,*,iiigiiiiUx yUx yh x y像的光場(chǎng)分布是幾何光學(xué)理想像和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積。3.3 3.3 透鏡的成像性質(zhì)透鏡的成像性質(zhì)（1）上述卷積關(guān)系表明，

23、由透鏡構(gòu)成的成像系統(tǒng)可看作是線性空間不變系統(tǒng)，其輸入物和輸出像之間的關(guān)系由卷積積分確定。（2）可以從疊加性質(zhì)和不變性?xún)煞矫胬斫饩矸e成像的物理意義，右圖是卷積成像的示意圖。作業(yè)：P74 習(xí)題3.2、3.43.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分，即從物面到入瞳的第一部分，從入瞳到出瞳的第二部分和從出瞳到像面的第三部分；光波在一、三部分的傳播可按菲涅耳衍射討論；對(duì)于第二部分即透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它看作“黑箱”，只要能夠確定它兩端的邊端性質(zhì)，整個(gè)透鏡組的性質(zhì)就可以確定下來(lái)。對(duì)于實(shí)際的透鏡組，邊端性質(zhì)差別很大，但總可以分為兩類(lèi)：衍射受限系統(tǒng)和有像差系

24、統(tǒng)。3.4.1 3.4.1 成像系統(tǒng)的一般模型成像系統(tǒng)的一般模型3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析 衍射受限系統(tǒng)衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考慮像差的影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制。它的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。 有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，通過(guò)透鏡組后，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。 3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析3.4.2 3.4.2 阿貝成像理論阿貝成像理論1873年，阿貝基于對(duì)顯微鏡成像的研究，提出了其衍射成像理論。它

25、認(rèn)為成像過(guò)程包括兩次衍射過(guò)程：從物體到透鏡焦平面的一次衍射夫朗和費(fèi)衍射：受物體調(diào)制的光場(chǎng)復(fù)振幅分布被分解為各頻譜分量；從透鏡焦平面到像面的二次衍射：各頻譜分量又復(fù)合為像。 3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析 實(shí)際上，兩次衍射過(guò)程也是兩次傅里葉變換過(guò)程，即從物面到焦平面的傅立葉變換，焦平面就是頻譜面； 從焦平面到像面的傅里葉逆變換。物面物面 透鏡透鏡 焦平面焦平面 像面像面傅里葉變換傅里葉逆變換 根據(jù)之前的分析，因?yàn)橥哥R有限孔徑大小透鏡有限孔徑大小的緣故，光學(xué)系統(tǒng)類(lèi)似于一光學(xué)系統(tǒng)類(lèi)似于一個(gè)低通濾波器個(gè)低通濾波器，濾掉物體的高頻成分，而只讓一定范圍內(nèi)的低頻成分通過(guò)系統(tǒng)，所以光學(xué)系

26、統(tǒng)不能傳遞物面的全部信息，像并不是物體的準(zhǔn)確像并不是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。復(fù)現(xiàn)。3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析 3.4.3 3.4.3 單色光照明的衍射受限系統(tǒng)單色光照明的衍射受限系統(tǒng) 0000000,;,iiiiiUx yUxyh x y xydx dy 當(dāng)單色光照明時(shí)，由于光波傳播的線性性質(zhì)，像面復(fù)振幅分布可以用疊加積分表示：其中，U0是物面復(fù)振幅分布，h是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，它表示(x0,y0)處的點(diǎn)源在像平面(xi,yi)處產(chǎn)生的復(fù)振幅。3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析 對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳向理想像點(diǎn)(Mx0,My0)會(huì)聚的球面波產(chǎn)生的。由系統(tǒng)

27、的邊緣性質(zhì)，出瞳面上受到出瞳大小限制的會(huì)聚球面波的旁軸近似是：2200,exp,2ikUCjMxMyPd 在像面上產(chǎn)生的光場(chǎng)分布可由菲涅耳公式寫(xiě)出22001,;,expexp2iiiiiiikh x y xyjkdjxyjkdd2222,expexpiiiiUjjxyd ddd 3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析00002,;,expiiiiih x y xyCPjxMxyMyd dd 結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫朗和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)(Mx0,My0)處。而且該表達(dá)式表明該脈沖響應(yīng)具有空間不變性該脈沖響應(yīng)具有空間不變性

28、！ 根據(jù)前面的分析，不難確定像的復(fù)振幅分布Ui是幾何光學(xué)預(yù)言的理想像Ug與系統(tǒng)出瞳所確定的復(fù)振幅脈沖響應(yīng)h的卷積： 00,iixyiixMxyMyffddCP F將U(,)代入上式并進(jìn)行整理，最終得到000000,iiiiigiigiiUx yh xxyyUxydx dyh x yUx y 其中， 是理想像的坐標(biāo)，M為系統(tǒng)放大率， 00,xy1hhM00 xMx00yMy00000,gxyUxycUMM3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析3.4.4 3.4.4 非單色光照明非單色光照明實(shí)際的照明光源絕不是理想單色的。事實(shí)上，照明光束的振幅和位相隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，將會(huì)對(duì)成像系

29、統(tǒng)的性能產(chǎn)生重要影響。非單色光照明時(shí)，xy平面光擾動(dòng)隨時(shí)間變化，可以用復(fù)值函數(shù)u(x,y;t)表示, ;, ;exp2u x y tU x y tjt其中， 是光波的平均頻率，U(x,y;t)稱(chēng)為相幅矢量，是空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)。當(dāng)采用非單色光照明物體時(shí)，每一物點(diǎn)的振幅和位相隨時(shí)間作無(wú)規(guī)則變化；在像平面，與每一物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)也將隨時(shí)間作無(wú)規(guī)則變化。最終像的強(qiáng)度分布將取決于這些脈沖響應(yīng)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，也正是取決于物面上被照明各點(diǎn)振幅和位相的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。3.4 3.4 成像系統(tǒng)的一般分析成像系統(tǒng)的一般分析考慮兩種典型的物體照明方式：空間相干和非相干照明。 相干成像系統(tǒng)對(duì)復(fù)振幅是線性的，可直接利用

30、單色光照明的分析結(jié)果； 非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度這一物理量是線性的，強(qiáng)度變換的脈沖響應(yīng)正比于相干系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的平方。3.5 3.5 衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.5.1 3.5.1 相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù)相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由卷積積分描述，即 000000,iiigiiUx yUxyh xxyydx dy 其中，00001xMxyMyhhMM為系統(tǒng)放大倍數(shù)，Ug是幾何光學(xué)理想成像的復(fù)振幅分布， 是復(fù)振幅脈沖響應(yīng)(或相干脈沖響應(yīng)）。hp 衍射受限的相干傳遞系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。衍射受限的相干傳遞系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。3.5

31、 3.5 衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下面從頻域的角度來(lái)分析成像過(guò)程：下面從頻域的角度來(lái)分析成像過(guò)程：選擇復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基元物分布，考察系統(tǒng)對(duì)各種頻率成份的傳遞特性。定義系統(tǒng)的輸入頻譜Gg(fx,fy)和輸出頻譜Gi(fx,fy)分別為00,gxygGffUxyF,ixyiiiGffUx yF把相干脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為相干傳遞函數(shù)相干脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為相干傳遞函數(shù)(CTF )(CTF )，即,cxyiiHffh x yF則三者具有如下關(guān)系：則三者具有如下關(guān)系：,ixygxycxyGffGffHff,cxyixiyHffPd fd fHc表征了衍

32、射受限的相干成像系統(tǒng)在頻域中的作用，它使輸入頻譜轉(zhuǎn)換為輸出頻譜。Hc決定于系統(tǒng)本身的物理結(jié)構(gòu)，其與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為 3.5 3.5 衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),cxyixiyHffPd fd fsinsin,sinsin,sinsin,yxiyxcyxgGHG相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù) (CTF ) H(CTF ) Hc c為為相干傳遞函數(shù)正比于經(jīng)過(guò)坐標(biāo)反射的光瞳函數(shù)；考慮實(shí)際光瞳的有限大小，光瞳函數(shù)總是取0和1兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)也是如此。也就是說(shuō)系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，系統(tǒng)在頻域中有一個(gè)有限的通頻帶，此通帶內(nèi)全部頻譜分量通過(guò)系統(tǒng)時(shí)不產(chǎn)生振幅和位

33、相畸變，通帶以外的頻譜分量不能通過(guò)系統(tǒng)。也可以借用單色光場(chǎng)傳播的角譜方法來(lái)解釋相干傳遞系統(tǒng)在頻域的響應(yīng)。sinsin,sin,sinyxcixiyHP dd相干傳遞函數(shù)為：光瞳本身的透過(guò)率函數(shù)就是頻域的傳遞函數(shù)：傾角傾角( ( x x, , y y) )超過(guò)某一范圍的平面波分量將被系統(tǒng)超過(guò)某一范圍的平面波分量將被系統(tǒng)濾除，即超過(guò)某一頻率范圍的平面波將被系統(tǒng)濾除，即超過(guò)某一頻率范圍的平面波將被系統(tǒng)濾除，如右圖所示。濾除，如右圖所示。3.5 3.5 衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)02ilfd3.5.2 3.5.2 相干傳遞函數(shù)的計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例相干傳遞函數(shù)的計(jì)算和運(yùn)

34、用實(shí)例例例1 1 衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是邊長(zhǎng)為l的正方形，光瞳函數(shù)是,Prectrectll 則相干傳遞函數(shù)為00,22iyyixxxyd ffd ffHffrectrectrectrectllff其中， 為截止頻率。3.5 3.5 衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例例2 2 衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是直徑為l的圓形孔徑，光瞳函數(shù)是22,2Pcircl 2222001,0 xyxyxyfffffHffcircf其他02ilfd 其中， 為截止頻率。則相干傳遞函數(shù)為3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

35、3.6.1 3.6.1 非相干照明時(shí)的物像關(guān)系式非相干照明時(shí)的物像關(guān)系式 非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度變換的線性系統(tǒng)，物像關(guān)系滿(mǎn)足如下卷積積分000000,iiigIiiIx ykIxyhxxyydx dy 其中，k是實(shí)常數(shù)；Ig是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布；Ii為像的強(qiáng)度分布；hi是光強(qiáng)度脈沖響應(yīng)(或非相干脈沖響應(yīng)、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))，它是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射光斑的強(qiáng)度分布，而且有22,iixyiixyIiiiiffddhx yh x yP F上式卷積積分關(guān)系表明，把點(diǎn)源作為輸入的基元物，它將在像面上產(chǎn)生以幾何光學(xué)理想像點(diǎn)為中心的像斑，物體上所有點(diǎn)源產(chǎn)生的像斑按強(qiáng)度疊加的結(jié)果就給出像面的強(qiáng)度分布。3.6 3.6

36、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)00,gxygAffIxyF,ixyiiiAffIx yF0000000000,exp2,0,0,gxygxyxyggIxyjf xf ydx dyAffffAIxydx dy gA3.6.2 3.6.2 光強(qiáng)的空間頻譜光強(qiáng)的空間頻譜由于光強(qiáng)脈沖響應(yīng)hI是實(shí)函數(shù)，余弦函數(shù)是非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)；因而可以選擇余弦的光強(qiáng)分量作為基元物。定義Ag(x,y)和Ai (x,y)分別為輸入光強(qiáng)頻譜和輸出光強(qiáng)頻譜，即,exp2,0,0,iiixiyiiiixyxyiiiiiiIx yjf xf ydx dyAffffAIx y dx d

37、y iA對(duì)應(yīng)的歸一化光強(qiáng)頻譜為3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.3 3.6.3 光學(xué)傳遞函數(shù)的定義及物理意義光學(xué)傳遞函數(shù)的定義及物理意義000000,iiigIiiIx ykIxyhxxyydx dy ,ixygxyIxyAffAffHff( (卷積定理卷積定理) )其中，HI是光強(qiáng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換，對(duì)于零頻成分則有：0,00,00,0igIAAH定義非相干成像系統(tǒng)的歸一化傳遞函數(shù)為定義非相干成像系統(tǒng)的歸一化傳遞函數(shù)為通常把它稱(chēng)為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)(OTF)，它描述了非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。,ex

38、p2,0,0,IiixiyiiiIxyxyIIiiiihx yjf xf ydx dyHffffHhx y dx dy H3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)因?yàn)镺TF通常是復(fù)函數(shù)，所以可表示為,exp,xyxyxyffm ffjffH其中，其中，,0,0IxyxyIHffm ffH調(diào)制傳遞函數(shù)調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)(MTF),xyff相位傳遞函數(shù)相位傳遞函數(shù)(PTF)(PTF)MTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量對(duì)比度的傳遞特性，而PTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移。3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2

39、,Iiiiihx yh x y,cxyiiHffh x yF 0,xyIxyIffhffhHFF3.6.4 OTF3.6.4 OTF與與CTFCTF的聯(lián)系的聯(lián)系 CTF和OTF分別是描述同一成像系統(tǒng)采用相干照明和非相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，所以?xún)烧咧g必然存在一定的聯(lián)系。聯(lián)系的紐帶就是：其中，CTF和OTF分別定義為 利用傅里葉變換的自相關(guān)定理不難得出2,cxycxyxycHffHffffHd d H3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.5 3.6.5 衍射受限系統(tǒng)的衍射受限系統(tǒng)的OTFOTF 已知OTF為2,c

40、xycxyxycHffHffffHd d H對(duì)于相干照明的衍射受限系統(tǒng)，已知,cxyixiyHffPd fd f則得到上述則得到上述OTFOTF的表達(dá)式為的表達(dá)式為,ixiyixiyxyPd fd fPd fd fffPd d H 衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)。 幾何解釋?zhuān)悍帜甘枪馔目偯娣eS0，分子代表中心為(-difx,dify)的經(jīng)過(guò)平移的光瞳與原光瞳的重疊面積S(fx,fy)，求衍射受限的OTF只不過(guò)是歸一化的重疊面積的計(jì)算問(wèn)題：0,xyxyS ffffSH3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限系統(tǒng)的衍射受限系統(tǒng)

41、的OTFOTF的幾何解釋和一些特性：的幾何解釋和一些特性：(1) H(fx,fy)非負(fù)，因此系統(tǒng)只改變個(gè)頻率分量的調(diào)制度，而不產(chǎn)生相移，它只需要計(jì)算MTF (2) H(0,0)=1 (3) H(fx,fy) H(0,0)3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.6.6 3.6.6 衍射受限系統(tǒng)的衍射受限系統(tǒng)的OTFOTF計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例例例1 1 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為邊長(zhǎng)為l的正方形，求其OTFAnswer:Answer: 00,22yxxyfffftritriffHf0是同一系統(tǒng)采用相干照明時(shí)的截止頻率3.6 3.6 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)例例2 2 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為直徑為l的圓形孔徑，求其OTF 200002arccos122220其他H22xyff是用極坐標(biāo)表示的空間頻率坐標(biāo)；非相干截止頻率為相干02ild的兩倍。 其中，截止頻率3.7 3.7 像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響當(dāng)系統(tǒng)