第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

1、1第三章第三章2第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念1.1.直線運動的瞬時速度問題直線運動的瞬時速度問題0tt ,)(0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)變變速速直直線線運運動動的的路路程程ttst,0tt 的的時時刻刻取取一一鄰鄰近近于于,0ttt 運運動動時時間間tsv 平均速度平均速度ttstts )()(00,0時時當(dāng)當(dāng) t取極限得取極限得ttsttst )()(lim000一、引例一、引例瞬時速度瞬時速度ttsttst )()(lim000 v3自自由由落落體體221)(gtts , ,求求速速度度函函數(shù)數(shù) )(tv. . 解解所以所以tstvt 0lim)()21(li

2、m0tggtt .tg 例例1 1221tgtgt 2221)(21gtttgs tggtts 2142.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置52.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置62.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置72.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置82.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置92.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置102.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置112.

3、2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置122.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置132.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置14 t0 xxoxy)(xfy cnm).,(),(00yxnyxm設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿沿曲曲線線的的斜斜率率為為切切線線mt tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx 15求求拋拋物物線線2xy 在在1 x處處的的切切線線方方程程. . 解解, )1(21 xy

4、.012 yx即即例例2 21xy因此切線方程為：因此切線方程為： 221)1( xy,22xx ,2xxy 切線斜率為切線斜率為xykx 0lim)2(lim0 xx ,2 16二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,)()(00內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xuxxfy 定義定義xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000如如果果對對于于自自變變量量 x在在點點0 x的的改改變變量量x )(00 xuxx 和相應(yīng)的函數(shù)值的和相應(yīng)的函數(shù)值的改變改變量量)()(00 xfxxfy , 比比值值xy 當(dāng)當(dāng)0 x時時有有極極限限， 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x

5、可可導(dǎo)導(dǎo)， 并并稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)(微微商商)， 記記作作)(0 xf ，即即 17000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000導(dǎo)數(shù)定義形式一導(dǎo)數(shù)定義形式一導(dǎo)數(shù)定義形式二導(dǎo)數(shù)定義形式二記記xxx 0, ,則則0 x等等價價于于0 xx , , 得到導(dǎo)數(shù)定義的第二種形式：得到導(dǎo)數(shù)定義的第二種形式： )(0 xf ，0ddxxxy 也可記為也可記為，0 xxy .d)(d0等等xxxxf 18例例3 3. )()(03xfxxf 求求，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxfh303000)(li

6、m)( .320 x hxhxhhxxh303022030033lim )33(lim20200hhxxh 19在在實實際際應(yīng)應(yīng)用用中中，常常把把導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0ddxxxy 稱稱為為變變量量 y對對變變量量x 在在0 x點點的的變變化化率率, 的變化的快慢的變化的快慢. .它表示函數(shù)值的變化相對于自變量它表示函數(shù)值的變化相對于自變量 變化率有廣泛的實際意義，例如，加速度就是速度變化率有廣泛的實際意義，例如，加速度就是速度對于時間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對于時間的對于時間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對于時間的變化率，線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對線段長度的變化變化率，線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對線

7、段長度的變化率，功率就是所作的功對于時間的變化率，等等率，功率就是所作的功對于時間的變化率，等等. . 這樣這樣, ,曲線的切線的斜率可以說成是曲曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點的縱坐標(biāo)對該點的橫坐標(biāo)的變化率，線上點的縱坐標(biāo)對該點的橫坐標(biāo)的變化率， 速度可以說速度可以說成是行走的路程對于時間的變化率成是行走的路程對于時間的變化率. .20單側(cè)導(dǎo)數(shù)：單側(cè)導(dǎo)數(shù)：2.2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)：1.1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函數(shù)函數(shù))(xf在點在

8、點0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))(0 xf 和右和右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(0 xf 都存在且相等都存在且相等. 21例例4 4.0|)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解,|)0()0( hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0| 點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxy| xy xyo22設(shè)設(shè) 0 , 0 , 00 , )(32xxxxxxf, 求求)0(f . 所所以以 0)0( f. . 例例5 5解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx20lim ,0 0

9、)0()(lim)0(0 xfxffxxxx30lim ,0 xyo23如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在開區(qū)間在開區(qū)間 i中的每一點都可導(dǎo)，中的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 i上可導(dǎo)上可導(dǎo). 這時這時, 對每一個對每一個ix , xxfxxfxfx )()(lim)(0)( )(ixxf 可以看成是定義在可以看成是定義在 i上的一個新的函數(shù)，上的一個新的函數(shù)， 稱它為原來的函數(shù)稱它為原來的函數(shù))(xf的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(簡稱簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)), 也也可可以以說說成成 y 對對 x的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并記記作作y 或或 xydd. 24三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xf

10、y t0 xm)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 25四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理 函數(shù)在可導(dǎo)點處必連續(xù)函數(shù)在可導(dǎo)點處必連續(xù). .證證.)(0連續(xù)連續(xù)在點在點所以函數(shù)所以函數(shù)xxf)()(00 xfxxfy , 由由于于)(xfy 在在0 xx 處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以 yx 0lim xyx 0lim 存在且為存在且為)(0 xf , , xxyx 0li

11、m xxyxx 00limlim 0)(0 xf,0 26.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點不可導(dǎo)函數(shù)在角點不可導(dǎo)的角點的角點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf,1)0(,0)0( ff注意注意：該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.xy xyo|)(xxf xy2xy xy o.0處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 x27但但連連續(xù)續(xù)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(. 20 xxf例如例如,.0處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 x(或稱導(dǎo)數(shù)無窮大或稱導(dǎo)數(shù)無窮大)注意：注意：此時存在垂直切線此時存在垂直切線.3xy 在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,

12、但但 ,)()(limlim0000 xxfxxfxyxx)( .)(0不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無窮導(dǎo)數(shù)有無窮導(dǎo)數(shù)在點在點稱函數(shù)稱函數(shù)xxf0)0()(lim0 xfxfxxxx30lim , 28., )()(. 30點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則指指擺擺動動不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點點的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0)(處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf011/1/xy)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx , 所所以以)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù). . 不存在，不存在，但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 xfxf

13、x)0()(lim0 29設(shè)設(shè) 1 , 1 , )(23xbaxxxxf, , 求求適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡腶, ,b, ,使使)(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo). . 1lim)(lim311 xxfxx, 因因為為)(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，從從而而連連續(xù)續(xù), ,所所以以 因因為為)(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,所所以以a23 ， 21,23 ba. . babaxxfxx )(lim)(lim211, 例例6 6解解，3)1(lim21 xxx11lim)1(31 xxfx11lim)1(21 xbaxfx1lim21 xaaxx，a2 ,1 ba,1 ab 30五、用定義求導(dǎo)的例題五、用定義求

14、導(dǎo)的例題用定義求導(dǎo)的基本步驟用定義求導(dǎo)的基本步驟: :;)()()1(xfxxfy 求改變量求改變量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限31例例7 7.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim.0 .0)( c即即hh0lim0 32例例8 8.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx,1 nnx.)(1 nnnxx以后證明：以后證明：)0()(1 xx)( x例如例

15、如,12121 x.21x )1( x11)1( x.12x 即即xx21)( 21)1(xx 33例例9 9.|)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 hhxhh)2cos(2sin2lim0 .cos x xxcos)(sin 44|cos|)(sin xxxx.22 即即類似有類似有xxsin)(cos 34例例1010.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( xxe)e ( 即即特別地特別地,) 0(ln1 xaxax35例例1111.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 axxaln1)(log xx1)(ln xxhxhah1)1(loglim0 hxhaxhx)1(limlog10 elog1ax 0 x.ln1ax 即即特別地特別地,36)( c,0 )(sin x,cos x )( x,1 x)(cos x.sin x )( xa)e ( x)(log xa,lnaax )(ln x,ex ,ln1ax ,1x )( x)1( x基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,21x ,12x 37小