橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)100條A4

1、1 |PF11 |PF2 | = 2a222 標準方程：篤爲=1|PFi|a2 b23. e：1d14. 點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的外角5. PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去 長軸的兩個端點6. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離7. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切&設A1、A2為橢圓的左、右頂點，則 PF1F2在邊PF2 （或PF1）上的旁切圓，必與 A1A2所在的直線切 于 A2 （或 A1）.Pl - P2 時x2 y29橢圓 牙"（a>b>o）的兩個頂點

2、為 A（-a,0） ,A2（a,0），與y軸平行的直線交橢圓于a bAiPi與A2P2交點的軌跡方程是10若Po（x。, y。）在橢圓11若Po(xo, yo)在橢圓2 2x_i_=1a2 b22 2x yXoX yoy2 2 =1上，則過Po的橢圓的切線方程是 -020 1.a ba2 2篤每=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為a bb2Pi、P2,則切點弦PlP2的直線方程是竽轡“a b22x y12. AB是橢圓2a b=1的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，貝y kOM kAB13若Po ( xo, yo )在橢圓14若Po (xo, yo)在橢圓2 2 . y_ a2

3、b22 2 0 . y_ a2=1內(nèi)，則被15 若 PQ是橢b2x2 + a2 b=1內(nèi)，則過2y_2=1 (12aPo所平分的中點弦的方程是 2a2x2axoxyoy2xoyo22abb2_ 2 .a2+ " wb22Po的弦中點的軌跡方程是 2= -y°ybo ） 上對中a2 b2心張直角的弦，則1 12(n =|0P|,r2 H OQ |). b2 2x_. y_2aa216 若橢圓b2（ a> b> 0）上中心張直角的弦LRa2 B2； 皿2 b4B2ba2A2 b2B217.給定橢圓 C1 : b2x2，a2y2 二 a2b2 (a>b>o

4、), C2:給定的點Fo（xo, yo）,它的任一直角弦必須經(jīng)過 C2上一定點M（所在直線方程為b2x2a2y22 ,2 / a - b (_22 xo,abAx By =1 (AB 丸),則2 _b2-(22 ab)，則(i)對G上任意a b2,2a -b?yo).a2 b（ii）對C2上任一點Po（xo,y°）在G上存在唯一的點 M，使得M的任一直角弦都經(jīng)過R點.則直線BC有定向且kBCb 0 (常數(shù))._ 2a y。21 m b2 .1 -m aB,C兩點,2 2x y18.設P)(x0,y0)為橢圓(或圓)。二 2=1 (a>0,. b> 0)上一點，P1P2為曲

5、線C的動弦，且弦P0P1, P0P2a b斜率存在，記為ki, k 2,則直線P1P2通過定點M (mx(),-my0) (m = 1)的充要條件是 k1 k22 219過橢圓 篤與=1 (a>0, b>0)上任一點A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于a b2220.橢圓篤爲=1 a b的焦點角形的面積為22 2x y25.橢圓一22a> b> 0)上存在兩點關(guān)于直線a2b2l : y = k(xx0)對稱的充要條件是2x0/2 匚22:(a_b )2.2. 2a b k二，則橢圓(a >b > 0)的左右焦點分別為 F1, F 2,點P為橢

6、圓上任意一點.F1PF22a n2孑 b2yS fPF b tan , P( 1 c b tan , tan)F122 c；2 c 2x2 y221 若P為橢圓 2 =1 ( a> b > 0)上異于長軸端點的任一點 ,F1, F 2是焦點，.PF1F2 =:a b任 a Ca PZPF2F- =-,貝Utan cot .a c 222 222 .橢圓'與=1 (a> b > 0 )的焦半徑公式：a b|MF1pa ex0 ,| MF? |=a-ex0( F'-cQ) , F2(c,0) M(x0,y°).2 223.若橢圓篤*篤=1 (a&g

7、t; b>0)的左、右焦點分別為 F1、F2，左準線為L,則當a b0 v e< 2-1時，可在橢圓上求一點 P,使得PF1是P到對應準線距離 d與PF2的比例中項2 224 . P為橢圓篤每=1 ( a > b > 0 )上任一點,F1,F2為二焦點，A 為橢圓內(nèi)一定點，則a b2a -1AF21PA| I PF1匸2a | AR |,當且僅當A, F2,P三點共線時，等號成立26. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直27. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直

8、.x =acos2128. P是橢圓(a> b> 0)上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是e2.ly=bs in®1+si n2®2 2 2 229 .設A,B為橢圓與告二k(k 0,k=1)上兩點，其直線AB與橢圓令召=1相交于P,Q ,則a ba bsin2:,其中AP =BQ.2 2x y30 .在橢圓2=1中，定長為 2m (ov m< a)的弦中點軌跡方程為a bb2b2x2ttan廠2，當 y = 0 時，：二 90".a y2 231.設S為橢圓冷 2 =1 （a> b >0）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢

9、圓上移動，記|AB|= I ,a b2aM （x。，y。）是 AB 中點，則當 I 一 GS 時，有（X°）maxcIc(c a2 -b2, e )；當 I S 時，有2ea(Xo) maxV4b2 ,（x0）mi n =0.2b2 2x y2 22 2232.橢圓 2 =1與直線Ax By 0有公共點的充要條件是 A a B b_C .2 b22 2（x* 糾 1與直線 A x B y C有公共點的充要條件是a2b22By。C）.2x y2 =1 （a>b>0）的兩個焦點為 F1、F2,P （異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在b33 .橢圓2 2 2 2A a B b

10、- (Ax0234.設橢圓 2aPF1F2 中，記.F1PF2a斗si not= a,NPF1F2 = B,NF1F2P=Y，則有sinx2，a2y2二a2b2 (a>b> 0)的長軸的兩端點c.亠 sin aA1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線35. 經(jīng)過橢圓b 相交于 P1 和 P2，則 | PA11 | PA, b2.2 2x y36. 已知橢圓 +=1 (a> b>0) , O為坐標原點，a b1 2 二丄丄；(2) |OPf+|OQ|2的最大值為a b2 2 2 2 是經(jīng)過橢圓b x a y 貝V | AB|2=2a|MN |.2 2 2 2是經(jīng)過橢圓b x

11、 a y1 1 1=+2 2 , 2 -a b2x y39.設橢圓 =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過b亠|OP| |OQ|37. MN于MN的弦，38. MN則a|MN| |OP2a2一條直線與橢圓相交于P、2 24a b2 2a bQ為橢圓上兩動點，且 OP _ OQ . （1）2b2；(3) S OPQ的最小值是一a 2 .a + b2 2二ab （ a> b > 0）過焦點的任一弦，若 AB是經(jīng)過橢圓中心 O且平行2 2-a b （a>b> 0）焦點的任一弦，若過橢圓中心 0的半弦OP _ MN

12、,P、Q兩點，則直線A1P> A2Q（A1 ,A2為對稱軸上的兩頂點）的交點N在直線I :玄2X =(或mb2 y）上.m40. 設過橢圓焦點相應于焦點F的橢圓準線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) AP和AQ分別交41. 過橢圓一個焦點 F的直線與橢圓交于兩點P、Q, AA2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M , A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2 27=1，則斜率為k（k豐0）的平行弦的中點必在直線 I : y = kx的共軛直線y = k x上,a b42.設橢圓方程而且kk二b22ax2C、D為橢圓 &

13、#39;a| PA| -| PB | b2cos2 P 十a(chǎn)2sin2 PCD相交于P且P不在橢圓上，則2222-| PC | '| PD | b cos G +a sin «43.設b= 1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為：，直線ab與44.分線為2 2x y45.x2 y2已知橢圓 2 -1 (a> b > 0)，點P為其上一點F1, F2為橢圓的焦點，.F1PF2的外(內(nèi))角平a bl ,作F1、F2分別垂直I于R、S,當P跑遍整個橢圓時，R、S= a2(b2y2 (a-ce)(x c)2 (x2 y2 cx)2 = ce(x c)2).設厶ABC內(nèi)

14、接于橢圓丨，且AB為】的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，D為EF的中點.形成的軌跡方程是I分別交直線AC、BC于E和F,又D為l上一點，貝U CD與橢圓丨相切的充要條件是 2 2x y46. 過橢圓 2 =1 (a> b> 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點,a b交x軸于P,貝U PF e .I MN I 2弦MN的垂直平分線47.設A (xi ,yi)是橢圓22才舒1( a> b> 0)上任一點，過A作一條斜率為b2a2%的直線L,又設d是原點到直線 L的距離，x2 y248. 已知橢圓2a br),r2分別是A到橢圓兩焦點的距離，貝Urf2ab.a

15、> b> 0)2才X和一2a2乍"(0<2)，一直線順次與它們相交于A、B、C、D 四點，,AB I =|CD I .2 249. 已知橢圓冷爲=1a ba2 _b2 于點P(x0,0)，則aa> b> 0)a2 -b2:x° ：,A、B、是橢圓上的兩點，線段 AB的垂直平分線與 x軸相交2250. 設P點是橢圓2 '每a b2b2則(1)|PFjPF2|.(2)1 + cos B51 .設過橢圓的長軸上一點=1 ( a>b> 0) 上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記.F1PF2 v2 yspf1f2 =b tan

16、.B ( m，o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結(jié)a - ma2AP和AQ分別交相應于過 B點的直線MN : x = n于M, N兩點，則.MBN =9022 .a + m b (n + a)'.PF1F252.=1 ( a> b> 0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線， E、F是橢圓兩個焦點，e是離心率，點 P L ,若 EPFab,則是銳角且sin :-e或乞arcsine (當且僅當|PH | 時取等c號).53.22x 丄yL是橢圓一2aa> b> 0)的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點，點P L , e是離心率,-EPF二:-,H是L

17、與X軸的交點abc是半焦距，則是銳角且sin-e或-arcsine(當且僅當| PH |=c時取等號)2 254. L 是橢圓 7 7 =1 (a ba> b> 0)的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點 P L ,EPF =:-，離心率為e,半焦距為22b / 22c,則為銳角且sin-e或- arcsine (當且僅當| PH卜 a c c時取等號)2 2x y55.已知橢圓 +=1 ( a> b> 0),直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于 A、B兩點，將A、Ba b與橢圓左焦點2 人 22F1連結(jié)起來，則b2 <| RA| | F1B忙(* ；

18、)(當且僅當 AB丄x軸時右邊不等式取等號,當且僅當A、56 .設B三點共線時左邊不等式取等號)2x . yaA、B是橢圓21 ( a > b > 0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，PA：，.PBA £ , . BPA =,22ab | cosa | e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) | PA| 22-.(2)a -c cos ；222ab,cot .tan 二tan ： =1-e2.(3) S PAB 2b -a2 257設A、B是橢圓篤爲"(a>b> 0)長軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點)、外部的兩點，且a b2Xb的橫坐標Xa -Xb二a

19、 , (1)若過A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，則.PBA=/QBA ; (2)B引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，則.PBA QBA=180l2 258 設A、B是橢圓篤爲=1 ( a> b > 0)長軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點)，外部的兩點，a b若過A點引直線與這橢圓相交于2 PBA =/QBA，則點A、B的橫坐標Xa、Xb滿足 X x a ； (2)若過B點引直線與這橢圓相交于2Q兩點，且 PBA . QBA =180',則點A、B的橫坐標滿足 x x a .'x2 y2''''59設A, A是橢圓 2 -1的長軸的兩

20、個端點，QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQ與AQ的交點a b2 y_1 b2 -1.書二1 ( a >b8ab22(a2 b2)丁R|AB| |CD()a b2xP的軌跡是雙曲線-a2x60 .過橢圓'a2 261.到橢圓'七a b妹圓(x _a)2 y2 = b2.2 262 到橢圓篤'每a b=1Xa、若過(1)P、Q兩點，(若B P交橢圓于兩點，貝U P、Q不關(guān)于x軸對稱)(a> b> 0)(a> b> 0)跡是姊妹圓(x二a)2 y2 = (b)2.ee2 2X- y 胡(a b(x弓)2 y2e63到橢圓a>b> 0)

21、的軌跡是姊妹圓64 .已知，且P、b > 0 )的左焦點F作互相垂直的兩條弦 AB、CD則a c兩焦點的距離之比等于-b的長軸兩端點的距離之比等于的兩準線和x=(¥)2 (e為離心率)e2X yP是橢圓亍=1 ( a > b > 0)a b(c為半焦距)的動點 M的軌跡是姊a -cb軸的交點的距離之比為(c為半焦距)的動點 M的軌-c (c為半焦距)的動點b上一個動點，A, A是它長軸的兩個端點，且2 . 2 2x b yAQ AP, AQ - AP，則Q點的軌跡方程是 4a a65.橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比

22、例中項2 2 266.設橢圓 篤匕 =1 ( a> b > 0)長軸的端點為 代A,P(X1,y1)是橢圓上的點過 P作斜率為一1的 a ba y1直線I，過A, A'分別作垂直于長軸的直線交 I于M , M ',則(1) |AM | AM | = b2. (2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab.x2 y2、已知橢圓 2 =1 ( a> b>0)的右準線I與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相a bB兩點，點C在右準線I上，且BC_x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.OA、OB 是橢圓(X：)a2ab2線AB必經(jīng)過一個定點 (267.交于A、6

23、8.2y2-1 ( a> 0,b> 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則(1)直ba2 +b2 '0) .(2)以O A、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是/ ab、2 1 2 / a6、2 / c、 (xp 2) y 二匕 2) (x").a ba b(x _a)269. P(m, n)是橢圓 宀a2 2 22ab m(a -b )2y_.1b2 1,2(a>b>0) 上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，則(1)直線AB必經(jīng)過一個定點(a2 b22 2也0魯).(刀以p A、p B為直徑的兩圓的另一個交點q的軌跡方程是2 2 2/

24、ab +a m、2 丄/b n 、2(x 22 ) (y 22)a +ba +b70. 如果一個橢圓短半軸長為24222= ab且 y”.2 2 2(a b )b,焦點F2到直線L的距離分別為d2，那么(1) djd2 =b2，且F1、F 2在L同側(cè)=直線L和橢圓相切.(2) d1d2 b2，且F1、F2在L同側(cè)=直線L和橢圓相離，(3) d1d2 : b2，或F1、F2在L異側(cè)二 直線L和橢圓相交.2 271. AB是橢圓 務爲=1 (a> b>0)的長軸，N是橢圓上的動點，過 N的切線與過A、B的切線交a b于C、D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點2 2 P(x0, y

25、76;)為橢圓務 =1a b任一弦，當弦 AB22 , 2 2 2 2、a b -(ay。 b x° )72 .設點P(xo,yo)的(|PA| | PB |)max(| PA| |PB|)minb2a2b2 -(a2y。2 b2x。2)M的軌跡方程是 x2 4a2y2 = 1(y廠0).2 2 x y a > b > 0)的內(nèi)部一定點，AB是橢圓 a行(或重合)于橢圓長軸所b2在二1過定點直線時.當弦 AB 垂直于長軸所在73.74.75.76.77.b2橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切 橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端

26、點橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點78. 橢圓焦三角形中79. 橢圓焦三角形中80 橢圓焦三角形中離成比例81 橢圓焦三角形中段成比例.,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線82

27、.橢圓焦三角形中 徑所在直線平行,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓83. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線 軸的長84. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線和橢圓長軸為直徑的圓的切點85.橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86. 橢圓焦三角形中87. 橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線 ,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線88.橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處

28、的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦占八、八、89.已知橢圓22xy22=1(a0, b 0)(包括圓在內(nèi))上有ab點P ,過點P分別作直線y二一 x及aK y - x的平行線，與直線 0P分別交于R,Q,0為原點，則：.a(1) |OM |2 |ON |2二a2 ； (2) |OQ|2 |OR|2=b2.90.過平面上的P點作直線h:y= x及l(fā)2:y = -x的平行線，分別交x軸于M,N，交y軸于R,Q . aa2 2(1) 若 |OM | 2 |O | 2a=2，則 P 的軌跡方程是 篤 爲=1(a 0,b 0) .(2)若 |OQ |2 - |OR|2二 b2，則 Pa b2 2的

29、軌跡方程是 篤與=1(a 0,b 0).a b2 2x y91 .點P為橢圓2 =1(a 0,b 0)(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點，過 P引x軸、y軸a bK的平行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y - x于Q,R，記 OMQ與 ONR的面積為S,S2，則：aS1 S2ab92 .點P為第一象限內(nèi)一點， 過P引x軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N ,交直線y二一衛(wèi)x于a abQ, R ,記 OMQ 與 ONR的面積為S,S2 ,已知S2,貝U P的軌跡方程是22 22=1(a 0, b 0).a b雙曲線1. |PF1|PF2|=2a222. 標準方程：22=1|PFi|a2 b

30、23. e 1 d14. 點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角5. PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去 長軸的兩個端點6. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交 7. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切&設A1、A2為雙曲線的左、右頂點，則PF1F2在邊PF2 (或PF1)上的旁切圓，必與 A1A2所在的直線切于A2 (或A1).x2y2Pi、9.雙曲線 2 =1 (a> 0,b>0)的兩個頂點為 Ad-aQ) ,A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于a b22x y + =12

31、. 2a b210. 若P°(X0,y。)在雙曲線 勺-爲二1 ( a>0,b>0) 上，則過P。的雙曲線的切線方程是 答 辦a ba2 2x y11. 若P0(X0,y°)在雙曲線 2 =1 (a>0,b>0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為a bP2時AiPi與A2P2交點的軌跡方程是x2b2Pi、=1.P2,則切點弦PiP2的直線方程是x°xy° y12. AB是雙曲線2 x 2 a2a2y-=1 b2 1b2 =1(a> 0,b > 0)的不平行于對稱軸且過原點的弦,M為AB的中點，則kOM kAB -b

32、2 . a13 .若2xPo(y°)在雙曲線a(a > 0,b > 0 )內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是x°x y° ya2b2b22x14 .若P°( x°, y°)在雙曲線a(a > 0,b > 0 )內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是y2x)xy°yb2b215 .PQ是雙(b > a > 0 ) 上對中心張直角的弦，則12r11-2(r1a b2x16.若雙曲線一2 -aAr2=|OP|j2 =|OQ|).21- =1 (b> a >0)上中心張直角的弦 L所在直線方

33、程為 Ax B 1 (AB = 0),則(1) b1 A2 d2,2.a4A2 b4B2廠 AB ;(2) L 二b|a2A-b2B2 |2,22222222222a 十 b217. 給定雙曲線 C1: b x -a y 二a b ( a>b>0) , C2: bx-ay=( 22 ab),則(i)對 G上任a -ba2+b2a2 +b2意給定的點Po(xo,yo),它的任一直角弦必須經(jīng)過C2上一定點M(r 2xo,22yo).a -b a -b(ii)對C2上任一點P'o(Xo',y。')在G上存在唯一的點 M',使得M'的任一直角弦都經(jīng)過

34、P)'點.2 2x yP0P1, P0P2 斜率18. 設Po(x。，yo)為雙曲線 2 =1 ( a>0,b>0) 上一點，P1P2為曲線C的動弦，且弦b2 . aa b存在，記為k1, k 2,則直線P1P2通過定點M (mxo, -my。)(m =1)的充要條件是 心h二匚上1 - m2 219.過雙曲線 篤-再=1 (a>0,b>o)上任一點A(xo,y°)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,Ca b兩點，則直線BC有定向且kBC2a yob xo (常數(shù)).2 2x y20.雙曲線一27=1a b(a> 0,b > 0)的左右

35、焦點分別為Fi, F 2,點P為雙曲線上任意一點 / F-iPF ,則雙曲線的焦點角形的面積為S氐PF? =b2cot?,卩(牛*2+怡門冷三血？).221.若P為雙曲線 2 =1( a> 0,b> 0)右(或左)支上除頂點外的任一點，F(xiàn)i, F 2是焦點，卩卩店2=，a bc a-PF2F1 =:，貝ytan cot(或x2c a22x y22. 雙曲線一22=1a b當M (xo, yo)在右支上時，當M(xo,y。)在左支上時，2 2 =tancot蘭).22 c a 22(a> 0,b> 0)的焦半徑公式：(F-gO) , F2(c,0)| MFi = exo

36、a , | MF2 |二 exo - a.| MFi = -exj * a , MF2 = ex° - a .23. 若雙曲線y_ =1 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L,則當a2 b21 v e< .2 1時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.2 224 . P為雙曲線 篤 y2 =1 ( a > 0,b > 0 )上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則a2 b2 AF2 -2a < PA PF1 ，當且僅當A,F2, P三點共線且P和代F?在y軸同側(cè)時，等號成立.2

37、2x y.25 .雙 曲線 2=1 ( a > o,b > 0)上存在兩 點關(guān)于直線I : y = k(x - Xo)對稱的充要條 件是a bx2 (a b )0 ' 2 , 2 a -b k26. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線 必與切線垂直.27. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂x =asec28 . P是雙曲線(a> 0 , b > 0)上一點，則點 P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是y =bta n®e211-tan22 2 2 2x

38、yxy29.設A,B為雙曲線一22=k (a>0,b>0, k0,k=1 )上兩點，其直線AB與雙曲線一22=1abab相交于P,Q ,則AP二BQ.30 .在雙曲線中，定長為 2m ( m)2 221-(篤弓)0)的弦中點軌跡方程為m廠2% ,其中COS a sin a.2 2,b x ttan牙萬，當a y-90 .31 設S為雙曲線2 2x y2 牙=1( a> 0,b > o )的通徑,a b定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB|= I ,M (Xo, yo)是AB中點，則當I _ GS時，有(X。)2aI222 cmin(ca b , e );當

39、I "S 時，有c2eaa 2(x0 )min4b I .2b2232.雙曲線 篤-當=1( a>0,b > 0)與直線Ax By0有公共點的充要條件是A2a2 - B2b2乞C2.a b(x -x°)20, (yy0)233 .雙曲線 一尹昇 1 ( a > 0,b > 0)與直線 Ax B C=0有公共點的充要條件是abA2a2 _B2b2 蘭(Ax0 +By0 +C)2.22x y34.設雙曲線 2 =1 (a> 0,b > 0)的兩個焦點為 F1、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，a bsin 二在厶 PF1F2中，記

40、 F1PF , , PF1FF1F2 '，則有e.土(sin f -sin P) a2 235. 經(jīng)過雙曲線 2 2 -1 (a>0,b>0)的實軸的兩端點 A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線a b相交于 P1 和 P2,則 | PA11 | PA, b2.2236. 已知雙曲線與-1a b1 1 1 12= T _ ； (2)|OP |2 |OQ |2 a2 b22x37. MN是經(jīng)過雙曲線-a(b> a > 0), O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且 OP丄OQ . (1)4a2b2a2b2|OPf+|OQ|2的最小值為 一$ ;(3) S op

41、q的最小值是 .b -ab -a2每=1 (a> 0,b> 0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心 b2O且平行于MN的弦，則|AB| =2a|MN |.22x y38 . MN是經(jīng)過雙曲線 2=1 ( a> b > 0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心 O的半弦a b2 1 1 1OP _MN ，貝U22 廠a|MN | |OP | a bx239.設雙曲線-a七=1 (a> 0,b >0) ,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M弓I一b2條直線與雙曲線相交于 P、Q兩點，則直線 Ap A2Q(A1 ,A2為兩頂

42、點)的交點N在直線I :上.m40.設過雙曲線焦點 F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應于焦點 F的雙曲線準線于 M、N兩點，貝U MF丄NF.41.過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M , A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF.2 2x y22二1,則斜率為k(k工0)的平行弦的中點必在直線 I : y=kx的共軛直線y=kxa b42.設雙曲線方程上，而且kk =5.a2 2x y43.設A、B、C、D為雙曲線一22a b=1 (a> 0,b> o)上四點,A

43、B、CD所在直線的傾斜角分別為 ：，：，直線AB與CD相交于P且P不在雙曲線上b2cos2 ： -a2sin2 -.2 2 2 2b cos -a sin :x2y244.已知雙曲線 2 -1 (a> 0,b >0),點P為其上一點F1, F 2為雙曲線的焦點， RPF?的外(內(nèi))a b角平分線為I，作F1、F2分別垂直I于R、S,當P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是22 r/r/2 丄 2、22 丄r 42 />.,.322 .2y a (a b(x -c)(ab )x -b c a c (x -c)y(ab c y ).l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別 D為E

44、F的中點.2x45 設 ABC三頂點分別在雙曲線 】上，且AB為丨的直徑， 交直線AC、BC于E和F，又D為I上一點，則CD與雙曲線:相切的充要條件是2x46.過雙曲線a直平分線交x軸于P,47.設 A (xi ,yi)2-y2 =1 (a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于b 則空Ue.|MN |22 2是雙曲線y -1 (a> 0,b> 0) 上任一點，過 A作一條斜率為a bM,N兩點，弦MN的垂攀的直線L,又a *設d是原點到直線 L的距離，1衛(wèi)分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則.rr2d二ab.x2y2x248. 已知雙曲線 2=1 (a>0,

45、b>0)和一2abaB、C、D 四點，則 |AB I =|CD I .2249. 已知雙曲線一2 y = 1a2 b22,2十-a +b于點 P(x0,0),則 X。或 x0 < -2楚二' (0 ：，： 1 ), 一條直線順次與它們相交于b(a>0,b > 0) ,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與 x軸相交a2 b22 VS.PF1F2 =b cotB ( m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，相應于過 B點的直線 MN : X = n于 M , N 兩點，則2aMBN =90丄a +m52. L是經(jīng)過雙曲線aa22x

46、y50. 設P點是雙曲線 F =1 (a> 0,b> 0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)F2為其焦點記 F1PF2二a bb2則(1)|PFjPF2|.(2)1 - cos 廿51 .設過雙曲線的實軸上一點連結(jié) AP和 AQ 分別交2 2 b (n a)2 2x y2 =1 (a> 0,b >0)焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線實軸的兩個a b11ab焦點，e是離心率，點P L,若一 EPF -，則是銳角且sin 或空arcs in (當且僅當| PH |=一eec時取等號)2 253. L是經(jīng)過雙曲線 篤-當=1 (a> 0,b > 0)的實軸頂點 A

47、且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準a b1 線與x軸交點，點P L ,e是離心率，.EPF =，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且sin :- <-e1ab或_ arc sin(當且僅當| PA|時取等號).ec2 254. L是雙曲線 冷-占=1(a>0,b> 0)焦點F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準線與x軸交點，a b1H是L與x軸的交點，點P二L , /EPF二:-,離心率為e,半焦距為c,則為銳角且sin 2或e1b / 22:< arc sin 2 (當且僅當I PR |a c時取等號)ec55.已知雙曲線2爲=1 (a>0,b>

48、0),直線L通過其右焦點b2將A、B與雙曲線左焦點F1連結(jié)起來，貝V | F1A| | F1B|_(2a2 b2)22a2x56 .設A、B是雙曲線一2 -ab2=1 (a> 0,b > 0 )的長軸兩端點,F2,且與雙曲線右支交于 A、B兩點，(當且僅當AB丄x軸時取等號).P是雙曲線上的一點，.PAB =， PBA = 1： , . BPA ,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有|PA |=22ab |cos： | a - c cos |.(2)tan ： tan ： = 1 -e2 .(3)AB2a2b2b2 a2cot .2 257. 設A、B是雙曲線 篤-占=1 (a&

49、gt;0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的區(qū)域)、外部a b2的兩點，且Xa、Xb的橫坐標Xa Xb =a , (1)若過 A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則./PBA = QBA ； (2)若過B引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點，則乙PBA EQBA = 180、.2 258. 設A、B是雙曲線 篤-每=1 (a>0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的區(qū)域)，外部a b的兩點，(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，(若BP交雙曲線這一支于兩點，則P、Q2不關(guān)于x軸對稱)，且 PBA二 QBA，則點A、B的橫坐標xA、xB滿

50、足xA，xB二a ； (2)若過B點引直 線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點，且.PBA . QBA =180：,則點A、B的橫坐標滿足Xa x a2.2 2'x y''''59. 設A, A是雙曲線 2 =1的實軸的兩個端點， QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQ與AQ的交a b2 2點P的軌跡是雙曲線篤7=1.2 260 .過雙曲線嶺=1a ba2 b2(a > 0,b > 0 )的右焦點F作互相垂直的兩條弦AB、CD,則<|AB | - |CD |.8ab2 2,2.|a -b |2 2x yc - a61.到雙曲線 亍=1 (a&

51、gt; 0,b> 0)兩焦點的距離之比等于(c為半焦距)的動點 M的軌跡是a bb姊妹圓(x 二 ec)2 y2 = (eb)2 22x yc 一 a62.到雙曲線 一2牙=1 (a> 0,b> 0)的實軸兩端點的距離之比等于-a bb軌跡是姊妹圓(x _a)2 y2二b2.2 2冷一爲=1 (a>0,b >0)的兩準線和x軸的交點的距離之比為a b(c為半焦距)的動點M的63.到雙曲線C - (c為半焦距)的動 b點的軌跡是姊妹圓64 .已知P22 b 2(x 二a) y =( )(e為離心率)e2 2x y'是雙曲線2 =1 ( a> 0,b > 0 )上一個動點，A, A是它實軸的兩個端點,且a b2 ,2 2x b yAQ _ AP , AQ _ AP，則Q點的軌跡方程是 卜=1 a a65.雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項2 2 266設雙曲線 芻-爲=1( a> 0,b> 0)實軸的端點為 A, A', P(x,yJ是雙曲線上的點過 P作斜率為 學a ba y1的直線l，過A, A分別作垂直于實軸的直線交I于M , M，則(1) | AM