北京理工大學理學院力學系工程力學課件 5. 梁的內(nèi)力 剪力彎矩方程 剪力彎矩圖

1、北京理工大學理學院力學系 韓斌常見梁的橫截面形式常見梁的橫截面形式 或或: : 梁有一縱向?qū)ΨQ面，梁有一縱向?qū)ΨQ面， 外力作用在對稱面內(nèi)，外力作用在對稱面內(nèi)， 梁變形后，軸線仍在梁變形后，軸線仍在 該對稱面內(nèi)；該對稱面內(nèi)； 5. 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力彎矩方程剪力彎矩方程 剪力彎矩圖剪力彎矩圖xmqf1f2fq簡支梁簡支梁f外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁m常見的幾種簡單靜定梁：常見的幾種簡單靜定梁：梁橫截面上的內(nèi)力符號規(guī)定梁橫截面上的內(nèi)力符號規(guī)定 : :qxbaafbfl xfs xmqbbf xfs xmxxqaaf剪力剪力sf彎矩彎矩m為正為正mmsf為正為正sfc對對x截面用截面法切開，截面用

2、截面法切開，c為截為截面形心，面形心，0iyf0safqxf以以ab梁整體為對象，可求梁整體為對象，可求a處和處和b處的約束力：處的約束力：2qlffba（ ）qxqlxfs2)(0icm02)(xfqxxxma22)(2qxqlxxm取左半段為分離體：取左半段為分離體：2maxqlfs2max81qlmqxbaafbfl（m）281qlqxqlxfs2)(22)(2qxqlxxmlx0lx0該梁內(nèi)力該梁內(nèi)力方程為：方程為：（fs）2ql2ql例例 題題 19 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題簡支梁在中點處受集簡支梁在中點處受集中力偶作用，左半段

3、中力偶作用，左半段有均布載荷，試求有均布載荷，試求a+，c-，c+，b- 各面上的各面上的內(nèi)力并列出剪力和彎內(nèi)力并列出剪力和彎矩方程。矩方程。abq2qaaca例例 題題 19 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題解：解：1.建立建立x軸（向右為正），以整體為對象求出軸（向右為正），以整體為對象求出支座約束力：支座約束力：)(45223022qaaqaqafmababq2qaacaafbf)(410qaqafffabyx2.求指定截面的內(nèi)力：求指定截面的內(nèi)力：面：面：afsfm045mqaffas例例 題題 19 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及

4、一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題面：面：afmsf面：面：afsfm2qa面：面：abq2qaacaafbfxbfsfm041mqaffbs222412141qaqaqaafmqaqaffaas22432141qaqaafmqaqaffaas例例 題題 19 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題m(x1)(1xfsabq2qaacaafbfxbf)(2xfsm(x2)3.列內(nèi)力方程列內(nèi)力方程應(yīng)分為兩段：應(yīng)分為兩段：ac段：段：afx1)0(245)()0(45)(12111111axqxqaxxmaxqxqaxfscb段：段：x2)2()

5、2 (4)2 ()()2(4)(222222axaxaqaxafxmaxaqaxfbs用截面法求任意截面上的內(nèi)力時：用截面法求任意截面上的內(nèi)力時：解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)（1）對靜定結(jié)構(gòu)先求出全部約束力。）對靜定結(jié)構(gòu)先求出全部約束力。（2）用截面法切開取任意一半為分離體，截面）用截面法切開取任意一半為分離體，截面上的上的。（3）列平衡方程求出各內(nèi)力分量的大小。）列平衡方程求出各內(nèi)力分量的大小。（4）列內(nèi)力方程注意）列內(nèi)力方程注意，分段點截面又，分段點截面又稱為控制面。稱為控制面。（5）注意內(nèi)力分量的正負符號規(guī)定：）注意內(nèi)力分量的正負符號規(guī)定：，與外力分量以坐標軸方向定正負不同。，與外力分量以坐標軸方向

6、定正負不同。6. 梁的載荷集度梁的載荷集度q,剪力剪力fs,彎矩彎矩m之間的微分關(guān)系之間的微分關(guān)系dxxq(x)xlafbfabsfssdff m+dmm設(shè)設(shè)，在在x截面處切取截面處切取dx梁段梁段0iyf0)()(sssdffdxxqfq(x)cdx)(xqdxdfs0icm0)(2)(dmmdxdxxqdxfmssfdxdm（）sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd(9.3)7.利用微分關(guān)系繪制剪力彎矩圖利用微分關(guān)系繪制剪力彎矩圖根據(jù)微分關(guān)系（根據(jù)微分關(guān)系（9.3）式，可推斷）式，可推斷fs圖、圖、m圖各段曲線的斜率（曲線走向）及圖各段曲線的斜率（曲線走向）及m圖圖的曲率（彎曲

7、形狀），再結(jié)合分段點的曲率（彎曲形狀），再結(jié)合分段點（控制面）的內(nèi)力數(shù)值，就可確定全部（控制面）的內(nèi)力數(shù)值，就可確定全部內(nèi)力圖。內(nèi)力圖。fs為平行于軸線的直線，為平行于軸線的直線，m為斜率是為斜率是fs的斜直線。的斜直線。根據(jù)微分關(guān)系繪圖原則：根據(jù)微分關(guān)系繪圖原則：sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd（1）某段梁若）某段梁若q(x)=0,則則fs=常數(shù)，常數(shù)，m=一次函數(shù)一次函數(shù)（2）若）若q(x)=常數(shù)常數(shù)=q,則則fs=一次函數(shù)，一次函數(shù)，m=二次函數(shù)二次函數(shù)fs為斜率是為斜率是q的斜直線，的斜直線， m為拋物線：當為拋物線：當q0, 當當q0,q=0fsmq 0(3)若某截

8、面處若某截面處fs=0sfdxdm)(xqdxdfs)(22xqdxmd則該截面上則該截面上m取極值：當取極值：當q0, m取到極小值取到極小值 當當q0, m取到極大值取到極大值（4）集中力）集中力f作用處，作用處，fs突變，跳躍值為突變，跳躍值為f，m有尖點；有尖點；集中力偶集中力偶m作用處，作用處，m突變，跳躍值為突變，跳躍值為m， fs不受影響。不受影響。ffmmfsq 0（5）在梁的左右兩個端面上作用的集中力、集中）在梁的左右兩個端面上作用的集中力、集中力偶，就是該截面上的力偶，就是該截面上的fs，m利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖步驟：利用微分關(guān)系作內(nèi)力圖步驟：（1）以整體為對象求支座約束力。

9、）以整體為對象求支座約束力。（2）根據(jù)外力的作用點正確分段，分段點為控制面。）根據(jù)外力的作用點正確分段，分段點為控制面。（3）利用截面法求控制面上的）利用截面法求控制面上的fs，m ，得到控制點。，得到控制點。（4）分段判斷各段曲線形狀，連接各控制點。）分段判斷各段曲線形狀，連接各控制點。（5）各控制點數(shù)值標絕對值。）各控制點數(shù)值標絕對值。（6）內(nèi)力圖突變處向上突變還是向下突變，視該集）內(nèi)力圖突變處向上突變還是向下突變，視該集中載荷對未畫部分的作用是正作用還是負作用而定。中載荷對未畫部分的作用是正作用還是負作用而定。（7）凡）凡fs=0和和m=0的截面，要標出其的截面，要標出其x坐標位置坐標位

10、置例例 題題 29 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcd外伸梁受力如外伸梁受力如圖，繪制剪力圖，繪制剪力彎矩圖，并求彎矩圖，并求 和和maxsfmaxm例例 題題 29 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcd解：解：1.求約束力求約束力bfdf)(2723222qaaqaaqaaaqfb)(21274qaqaqafd2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖2qaqa23qa212a22qa2qa22qamb222212227qaqaaqaqamc222818141qaqaq

11、ame281qaesf( )(m)例例 題題 29 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2qaqqa2aaaabcdbfdf2qaqa23qa212a22qa2qa281qae3.求內(nèi)力的最大值求內(nèi)力的最大值從圖中可見：從圖中可見：qafs2max2max2qam(m)sf( )例例 題題 39 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題a2aq2qaabc懸臂梁受力如圖，作剪力懸臂梁受力如圖，作剪力彎矩圖，并求彎矩圖，并求 和和 。maxsfmaxm例例 題題 39 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件

12、內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題a2aq2qaabc解：解： 1.求約束力求約束力fcmc)(2322qaqaqafc23222qaaqaaqamc()22qamb2. 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖sf( )(m)2qa23qaa2322qa8543232232322maxqaaaqqaaqam22qa852qammaxmcfcq例例 題題 39 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3.求內(nèi)力的最大值求內(nèi)力的最大值設(shè)距右端設(shè)距右端xe處處m=023qa852qaa2aq2qaabcfcmsf( )(m)2qaa2322qa22qaxefcmxe022232e

13、eexqxqaxqa0322aaxxeeaaaxe253253從圖中可見：從圖中可見：qafs23max2max85qam例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcdqqa2a2aa帶有中間鉸的梁，帶有中間鉸的梁，受力如圖，作剪受力如圖，作剪力彎矩圖。力彎矩圖。例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcdqqa2a2aa解：解：1.求約束力求約束力此梁仍為靜定，因有中此梁仍為靜定，因有中間鉸，必須在中間鉸處間鉸，必須在中間鉸處切開才可求全部約束力。切開才可求全部約束力。a

14、bqa2aacdq2acfdf)(22qaqaffdc對對cd：bfcfaf對對abc：)(qafc)(3232qaaaqafb)(23qaqaqafa例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖sf( )(m)qa2qaqaqaa22qamb22qa221qa222maxqaaqaaqam注意：中間鉸處注意：中間鉸處0cmabcdqqa2a2aaqa3qaqa思考題思考題比較以下兩梁的內(nèi)力圖：比較以下兩梁的內(nèi)力圖：abcbcmmamabcaaaama=mabcmma=mamfcamfbbfamfasf( )(m)sf(

15、 )(m)mammm8.平面剛架的內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力圖平面剛架平面剛架 軸線由幾段直線構(gòu)成折線，折點為剛軸線由幾段直線構(gòu)成折線，折點為剛節(jié)點（保持夾角不變）的平面框架結(jié)構(gòu)。節(jié)點（保持夾角不變）的平面框架結(jié)構(gòu)。剛架橫截面上的內(nèi)力剛架橫截面上的內(nèi)力軸力軸力 ，剪力，剪力 ，彎矩，彎矩 mnfsf主要內(nèi)力分量主要內(nèi)力分量有時可忽略有時可忽略剛架內(nèi)力及內(nèi)力圖畫法的規(guī)定：剛架內(nèi)力及內(nèi)力圖畫法的規(guī)定：（1）剛架任意截面上的內(nèi)力分量可用截面法求得。）剛架任意截面上的內(nèi)力分量可用截面法求得。（2）（仍規(guī)定（仍規(guī)定fn拉為正，拉為正，fs為正）。為正）。（3）（4）剛架的各直線段畫內(nèi)力圖與梁的畫法類似。）剛架

16、的各直線段畫內(nèi)力圖與梁的畫法類似。例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m求作圖示剛架的求作圖示剛架的內(nèi)力圖。內(nèi)力圖。例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m解：解：1.求約束力求約束力dfaxfayf)(321214knfd)(221knfax)(235knfay例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1

17、kn/m2m3kn2kn2kn2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖(fn)2kn軸力圖：軸力圖：2kn2knknfn2ab段段例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m3kn2kn2kn剪力圖：剪力圖：(fs)2kn3kn2kn2kna0212sbf例例 題題 49 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題abcd1m1m4knm5kn1kn/m2m3kn2kn2kn(m)2kn2knamknmb2121222knm3knscfmc-mc-=3-4= - 1 knm1kn

18、m3knm2/3m彎矩圖：彎矩圖：9.利用對稱性與反對稱性簡化作圖利用對稱性與反對稱性簡化作圖若結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸：若結(jié)構(gòu)關(guān)于某一軸：例例 題題 59 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題求作內(nèi)力圖。求作內(nèi)力圖。aaaaqqqa/2abc例例 題題 59 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題解：解：1.求約束力求約束力aaaaqqqa/2abc)(4522/qaqaqaqaffbaafbf例例 題題 59 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖221

19、qamaaaaaqqqa/2abc45qa45qa2412345qaaqaaqamcsf( )(m)qafsaqaqa/4qa/4qa221qa221qa241qaa-mafsa-_mcfsc-_c-5qa/4例例 題題 69 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd求作圖示剛架求作圖示剛架的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。例例 題題 69 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd解：解： 1.求約束力求約束力afdf33fafafafaffda例例 題題 69 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd2.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖3f3f軸力圖：軸力圖：(fn)f/3f/3例例 題題 69 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd3f3f剪力圖：剪力圖：(fs)f/3f/34f/3例例 題題 69 變形體靜力學概述變形體靜力學概述 及一般桿件內(nèi)力分析及一般桿件內(nèi)力分析 例題例題3aaaafafaffabcd3f3f彎矩圖：彎矩圖：(m)fafa2fa/32fa/3fa10.10.用疊加法作用疊加法作內(nèi)力內(nèi)力圖圖abcqqa