(完整word版)一元一次不等式組解題技巧

1、次不等式組解題技巧、重點(diǎn)難點(diǎn)提示重點(diǎn)：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。難點(diǎn)：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個(gè)基本類型解集的確定。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1、幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。但這“幾個(gè)一元一次不等式”2、前面學(xué)習(xí)過的二元一次方程組是由二個(gè)一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是獨(dú)立存在的（代入法和加減法本是獨(dú)立的，而且組成不等式組的不等式的個(gè)數(shù)可以是三個(gè)或多個(gè)。（課本上主要學(xué)習(xí)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組）。3、在不等式組中，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數(shù)軸4、一

2、元一次不等式組的基本類型（以兩個(gè)不等式組成的不等式組為例）類型（設(shè) a>b）不等式組的解集數(shù)軸表示）同大型，同大取大）2）同小型，同小取?。ㄒ淮笠恍⌒?，小大之間）4）比大的大，比小的小空集）無解三、一元一次不等式組的解法例 1. 解不等式組并將解集標(biāo)在數(shù)軸上分析： 解不等式組的基本思路是求組成這個(gè)不等式組的各個(gè)不等式的解集的公共部分，在解的過程中各個(gè)不等式彼此之間無關(guān) 組”的角度去求“組”的解集，在此可借助于數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問題。步驟：解：解不等式 （1） 得 x>解不等式 （2） 得 x41）分別解不等式組的每一個(gè)不等式（2）求組的解集借助數(shù)軸找公共部分）利用數(shù)

3、軸確定不等式組的解集）原不等式組的解集為<x3）寫出不等式組解集4）將解集標(biāo)在數(shù)軸上解： 解不等式 (1) 得 x>-1,解不等式 (2) 得 x 1,解不等式 (3) 得 x<2,在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為：原不等式組解集為 -1<x -1 而包括注意： 借助數(shù)軸找公共解時(shí)，應(yīng)選圖中陰影部分，解集應(yīng)用小于號連接，由小到大排列，解集不包括2)來畫。例3. 解不等式組解： 解不等式 (1) 得 x>-1,解不等式 (2),5, -5 x5,將 (3)(4) 解在數(shù)軸上表示出來如圖，原不等式組解集為 -1<x 四、一元一次不等式組的應(yīng)用例 4. 求不等式組的正整數(shù)解

4、步驟：解：解不等式 3x-2>4x-5 得： x<3,1、先求出不等式組解不等式1 得 x2,的解集。2、在解集中找出它原不等式組解集為 x所要求的特殊解，正整數(shù)解這個(gè)不等式組的正整數(shù)解 1、 2例 5 m為何整數(shù)時(shí)，方程組的解是非負(fù)數(shù)？件列出不等式組尋求 m 的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值解： 解方程組方程組的解是非負(fù)數(shù)，即解不等式組 此不等式組解集為 m又 m 為整數(shù)， m=3 或 m=4。例 6 解不等式<0.兩個(gè)數(shù)的商為負(fù)數(shù)這兩個(gè)數(shù)異分析： 由“ ”這部分可看成二個(gè)數(shù)的 “商” 此題轉(zhuǎn)化為求商為負(fù)數(shù)的問題?；?2)因此，本題可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組。解： <

5、;0, 或 (2)由 （1） 無解，由(2)原不等式的解為 - <x< .例 7. 解不等式 -3 3x-1<5.解法（ 1） : 原不等式相當(dāng)于不等式組解不等式組得 - ， 原不等式解集為 - 解法（ 2）: 將原不等式的兩邊和中間都加上1，得 -2 3x<6,將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以 3 得，- 原不等式解集為 - 例 8. x 取哪些整數(shù)時(shí)，代數(shù)式與代數(shù)式 的差不小于 6 而小于 8分析： (1) “不小于 6”即 6, (2) 由題意轉(zhuǎn)化成不等式問題解決，解： 由題意可得， 6- <8,將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式 (1) 得 x 原不等式組解集

6、為解不等式 (2) 得 x>-<x -<x6 的整數(shù)解為 x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6.當(dāng) x 取±3，±2，±1，0，4，5，6 時(shí)兩個(gè)代數(shù)式差不小于6而小于 8例 9. 有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小2，如果這個(gè)兩位數(shù)大于 20 并且小于 40 ，求這個(gè)兩位數(shù)分析： 這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的知識來解決。題目中有兩個(gè)主要未 關(guān)系：個(gè)位上的數(shù) =十位上的數(shù) +2, 一個(gè)不等關(guān)系： 20< 原兩位數(shù) <40。解法( 1) : 設(shè)

7、十位上的數(shù)為 x, 則個(gè)位上的數(shù)為 (x+2), 原兩位數(shù)為 10x+(x+2),由題意可得： 20<10x+(x+2)<40,解這個(gè)不等式得， 1 <x<3 , x 為正整數(shù)， 1 <x<3 的整數(shù)為 x=2 或 x=3 ， 當(dāng) x=2 時(shí)，當(dāng) x=3 時(shí)， 10x+(x+2)=35,答：這個(gè)兩位數(shù)為 24 或 35。解法( 2) : 設(shè)十位上的數(shù)為 x, 個(gè)位上的數(shù)為 y, 則兩位數(shù)為 10x+y,由題意可得 (這是由一個(gè)方程和一個(gè)不等式構(gòu)成的整體，既不是方程組也不是不等將(1) 代入 (2) 得， 20<11x+2<40,解不等式得： 1

8、<x<3 , x 為正整數(shù)， 1 <x<3 的整數(shù)為 x=2 或 x=3, 當(dāng) x=2 時(shí)， y=4 ，當(dāng) x=3 時(shí)， y=5, 答：這個(gè)兩位數(shù)為 24 或 35。20 且小于 40，所以它十位上的數(shù)只能是解法( 3) :可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于 時(shí)，個(gè)位數(shù)為 5 ，所以原兩位數(shù)分別為 24 或 35。例 10. 解下列不等式：(1) | | (2) <0;(3) (3x-6)(2x-1)>0.1) 分析： 這個(gè)不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來解。但由絕對值的知識若 |x|>a, (a>

9、0) 則 x>a 或 x<-a.解： | | -4 4,即解不等式 (1) ，去分母：3x-1 由絕對值的定義可轉(zhuǎn)化為：移項(xiàng)： 3x 合并同類項(xiàng)： 3x 系數(shù)化為 1， -解不等式 (2) 去分母： 3x-1 8,移項(xiàng)： 3x 8+1,合并同類項(xiàng)： 3x 9,系數(shù)化為 1 ： x 3,它可以理 3.(2)分析： 不等式的左邊為是兩個(gè)一次式的比的形式 (也是以后要講的分式形式) ，右邊是零。由除法的符號法則可知，只要被除式與除式異號，商就為負(fù)值。因此這個(gè)不等式的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為解一元一次解：<0, 3x-6 與 2x+1 異號，或 II, 不等式組無解，解 II 的不等式組

10、得 , 不等式組的解集為<x<2,原不等式的解集為 - <x<2.3) 分析： 不等式的左邊是 (3x-6)(2x+1) 為兩個(gè)一次式的積的形式，右邊是零。它可以理解為“當(dāng) x 取何值時(shí)，只要兩個(gè)因式同號，積就為正值。因此這個(gè)不等式的求解問題，也可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問題。解： (3x-6)(2x+1)>0, (3x-6) 與 (2x+1) 同號，即I或 II解I 的不等式組得不等式組的解集為 x>2,解 II 的不等式組得不等式組的解集為 x<-原不等式的解集為 x>2 或 x<-說明： ab>0（或>0） 與 ab&

11、lt;0（或<0）這兩類不等式都可以轉(zhuǎn)化為不等式組的形式，進(jìn)行分類討論。這類問1）ab>0（或>0）, 、b 同號，再分別解不等式組如例 10 的（ 3）題。I 和 II ，（2） ab<0（或<0） , ab<0（ 或 <0）, 、 b 異號，即I或 II ,試求代數(shù)式再分別解不等式組 I 和不等式組 II 。例 11. 已知整數(shù) x 滿足不等式 3x-4 6x-2 和不等式-1< , 并且滿足方程 3（x+a）=5a-2分析： 同時(shí)滿足兩個(gè)不等式的解的x 值實(shí)際是將這兩個(gè)不等式組成不等式組，這個(gè)不等式組的解集中的整數(shù)為x值求出 a 值，再將

12、a 代入代數(shù)式 5a3-即可解： 整數(shù) x 滿足 3x-4 -1< x 為，解集的整數(shù)值，解不等式 (1) ，得 x- , 解不等式 (2) 得， x<1, 的解集為 - - x<1 的整數(shù) x 為 x=0, a=1,又 x=0 滿足方程 3(x+a)=5a-2,將 x=0 代入 3(x+a)=5a-2 中 ,當(dāng) a=1 時(shí)， 5a3-=5× 13-=4 ,答：代數(shù)式 5a3-的值為 4. 。測試選擇題1解下列不等式組 , 結(jié)果正確的是( )A、不等式組的解集是 x>3B、不等式組的解集是 -3<x<-2C、不等式組的解集是 x<-1D、不等

13、式組的解集是 -4<x<22不等式組的解集是（ ）A、x>1B 、x<3C、x<1 或 x>3 D 、 1<x<33 不等式組的解集是（ ）A、x<1B 、x>1C、x<2 D、無解4如果不等式組有解，那么 m 的取值范圍是：（）A、m>8B、m 8C、m<8D、m85 使兩個(gè)代數(shù)式 x-1 與 x-2 的值的符號相同的 x 取值范圍是（ ）A、x>2B 、 x<1C、x<1 或 x>2D 、x>1 或 x<2答案與解析答案： 1、D 2 、D 3 、D 4 、 C 5 、C 解析

14、：D。答案： D2. 分析： 由（ 1）得 x<3 ，由（ 2）得 x>1 1<x<3 答案： D3. 分析： 先解不等式，看是否有解，由（1）得 x<1 ， 由（ 2）得 x>2，兩者無公共部分，所以選 5. 因 x-1 與 x-2 的值的符號相同，所以可求得 x>2 或 x<1.所以選 C.次不等式和它的解法0 的不等式，叫一元一次不等式其標(biāo)ax>b 或 ax<b ，其中 x 是未知數(shù)，ax>b 或 ax<b a )后，3 的運(yùn)用該題可先去分母(不要漏乘注： 比較簡單，應(yīng)該全部正確。一元一考點(diǎn)掃描 :1了解一元一次不等

15、式的概念2會用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式名師精講 :一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 1 ，系數(shù)不等于 1一元一次不等式經(jīng)過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形后，能化為 2一元一次不等式的解法步驟與解一元一次方程類似，基本思想是化為最簡形式( 都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號的方向必須改變中考典例 :1解不等式(x 1)<1 ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來考點(diǎn)： 一元一次不等式的解法評析： 一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法相類似，只要注意不等式性質(zhì) 后得出解集，解題過程如下：解：原不等式化為： x22(x 1)<2x 2 2x+2<2即：

16、- < 2 x> 2它在數(shù)軸上表示為：2（河北?。┰谝淮巍叭伺c自然”知識競賽中, 競賽試題共有 25 道題 , 每道題都給出 4 個(gè)答案 , 其中只有一個(gè)答案分,不選或選錯(cuò)倒扣 2分如果一個(gè)學(xué)生在本次競賽中的得分不低于60分,那么,他至少選對了 道題考點(diǎn)： 一元一次不等式的應(yīng)用評析：可設(shè)選對了 x 道，那么選錯(cuò)或不選的共有（ 25x）道題。根據(jù)題意，可以列不等式為4x 2（25 x） 60，解說明： 列不等式解的應(yīng)用題，一般所求問題有至少、或最多、或不低于等詞的要求，要正確理解這幾個(gè)詞的含義3商場出售的 A型冰箱每臺售價(jià) 2190 元，每日耗電量為 1 度，而 B型節(jié)能冰箱每臺售價(jià)

17、雖比 A型冰箱高出 10%售（打一折后的售價(jià)為原價(jià)的 ），問商場至少打幾折，消費(fèi)者購買才合算（按使用期為 10 年，每年 365 天，每度電 0 考點(diǎn)： 一元一次不等式的應(yīng)用評析：列一元一次不等式解應(yīng)用題首先要弄清題意，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)消費(fèi)者要買A型冰箱， 10 年的花費(fèi)用比 B型少才+365×10×1×0.40 ，B型 10年的費(fèi)用為 2190 ×（ 1+10%）+365 × 10× 0.55 ×0.40 ，根據(jù)題意得不等式 2190×+36×0.40解得 x 8，所以至少打八折，解題過程如下：解：設(shè)商

18、場將 A型冰箱打 x 折出售，消費(fèi)者購買才合算依題意，有2190×+365×10×1×0.4 × （1+10%）+365 ×10×0.55 ×0.4即 219 1460 803解這個(gè)不等式，得 x 答：商場應(yīng)將 A 型冰箱至少打八折出售，消費(fèi)者購買才合算真題專練 :1不等式 72x> 1 的正整數(shù)解是2若代數(shù)式+2x 的值不大于代數(shù)式 8 的值，那么 x 的正整數(shù)解是 3恩格爾系數(shù)表示家庭日常飲食開支占家庭經(jīng)濟(jì)總收入的比例，它反映了居民家庭的實(shí)際生活水平，各種類型家家庭類型貧困家庭溫飽家庭小康家庭發(fā)達(dá)國家家庭

19、最富思格爾系數(shù)（n）75%以上50%75%40% 49%20%39%則用含 n 的不等式表示小康家庭的恩格爾系數(shù)為 4（杭州市） x 的 2倍減 3 的差不大于 1，列出的不等式是 （ ）A、2x 1B、2x31C、 2x3< 1D、2x 3> 15 （內(nèi)江市）解不等式 6（安徽?。┙獠坏仁?3x2（1 2x） 1，并把解集在數(shù)軸上表示出來7（陜西?。┏四吵鞘械囊环N出租汽車起價(jià)是10 元（即行駛路程在 5km以內(nèi)都需付 10 元車費(fèi)），達(dá)到或超過1km 計(jì)）現(xiàn)在某人乘這種出租汽車從甲地到乙地，支付車費(fèi)172 元，從甲地到乙地的路大約是多少？答案：1、1，2；2、1， 2，3（提示：

20、根據(jù)題意得不等式+2x 解不等式得 x， 正整數(shù)解為 1，2，3）；3、40%n49%4、A；5、解： 去分母得 8x420x215x60移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得 27x 54解得 x26、解： 3x 2+4x1，7x3，x 所以 原不等式的解集為 x 在數(shù)軸上表示為：7、解： 設(shè)從甲地到乙地的路程大約是xkm，根據(jù)題意，得16<10+1.2(x 5) 17.2解此不等式組，得10<x11答：從甲地到乙地的路程大于10km，小于或等于 11km元一次不等式組和它的解法考點(diǎn)掃描 :1了解一元一次不等式組及其解集的概念2掌握一元一次不等式組的解法，會用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集名師精講 :

21、1一元一次不等式組及其解集：幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分 2求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組3解一元一次不等式組的步驟：1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集中考典例 :1不等式組的解集是 考點(diǎn)： 一元一次不等式組的解法評析： 分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，解不等式(1) 得 x<4，解不等式 (2) 得 x<5，公共部分是 x<4 ，即為不2若不等式組的解集為 1<x<1, 那么( a+1 ) (b 1

22、) 的值等于考點(diǎn)： 不等式組解集的應(yīng)用評析： 此題類型是；已知不等式組的解集，求其中字母系數(shù)，進(jìn)而求關(guān)于字母系數(shù)的代數(shù)式的值。這類問題解法是：先解不等數(shù)的值，進(jìn)而代入所給代數(shù)式，求出代數(shù)式的值，具體解法如下：解：由 2 < 1x<；由 2b>3 得 x>3+2b，因?yàn)榉匠探M有解，所以，> 3+2b，方程組的解<1， =1 ，= -2 (a+1)(b-1) =-63不等式組的最小整數(shù)解為(B、 0C、 1D、4考點(diǎn)： 不等式組的整數(shù)解評析：解不等式 (2) 得 x 4，所以不等式組的解集為< x 4，在此不等式中最小整數(shù)為0，所以選 B說明：解此類問題是

23、先求出不等式組的解集，然后在解集中，求整數(shù)值真題專練 :1不等式組的解集是這個(gè)不等式組的最小整數(shù)解是2不等式組的解集是3不等式組的解集是4不等式組的解集是5不等式組的解集是6若不等式組有三個(gè)整數(shù)解則 a 的取值范圍是7不等式組的解集是（ ）A、x>1B、x<6C、1< x <6D、 x<1 或 x>68 不等式組 的解在數(shù)軸上可表示為（ ）9不等式組的解集（ ）A、x1B、x<2C、1<x<2D、1x< 2的整數(shù)解是（ ）A、 1， 0，1B、 1，1C、 1，0D、 0， 111 不等式組成的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 （ ）A、1個(gè)B、2 個(gè)

24、C、3 個(gè)D、4 個(gè)12一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）A、B、C、13不等式組的解集是（）A、 2<x<1B、x<1C、x> 2D、無解14不等式組的解集是（ ）A、 4<x<1B、 4<x<1C、 1<x<4D、 1<x<415 不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A、1B、 2C、 3D、 416 有解集為 2<x<3 的不等式組是（A、B、17解不等式組18解不等式組19求不等式組20解不等式組21解不等式組22解不等式組，的整數(shù)解并把解集在數(shù)軸上表示出來24解不等式組25解不等式組并在數(shù)軸上表

25、示解集26求不等式組的整數(shù)解答案： 1、 4< x< 2， 3；2、 2x<4 ；3、1x<2；4、x< 3；5、 10<x 26 、 0<a 1(提示由已知得 x> a ，x，則其解集為 a<x 3，故 a 的范圍為 0<a1；7、C8、 A9、D10、C11、D12、C13、 A14、A15、 C16、C17 、解：解不等式 (1) ，得 x<3解不等式 (2) ，得 x+8> 3xx> 2在數(shù)軸上表示不等式 (1) ， (2) 的解集不等式組的解集為 -2<< 318 、解：解 10 3) 2 (x

26、 1) ，得 x4解 x > ， 得 x > 不等式組的解集為 < x 19、解：解 3x+7<5(x+2) ，得 x>解 ，得 x < 2 不等式組的解集為<x< 2在< x<2 中的整數(shù)有 1、 0、 1不等式組的整數(shù)解是：、 0、 120、解：解不等式得x<2 解不等式得x 1所以不等式組的解集是 1 x<2得 x<321、解：解不等式 2x+53(x+2), 得 x 1解不等式x<3 原不等式組的解集是不等式組的整數(shù)解是22、解：由不等式 x4（x5）> 8得 x<4 由不等式 不等式組的解

27、集是這個(gè)不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：23、提示：原不等式變?yōu)榻獾媒饧癁?1 x< 9 在數(shù)軸上表示如圖所示24、提示：解不等式得x< ，解不等式得 x0，所以不等式組解集為0x<25、提示：解不等式得x>1，解不等式得 x< 4，所以不等式組的解集為1<x<4在數(shù)軸上表示如圖所示26、解：由得> - ，由 得 原不等式組的解集為： - < 為整數(shù)， -1 ， 0， 1即不等式組的整數(shù)解為 -1 ，0， 1一次不等式（組）中參數(shù)取值范圍求解技巧已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數(shù)的取值范圍，以及解含方程與不等式的混合組中參變量（

28、參這類問題綜合性強(qiáng)，靈活性大，蘊(yùn)含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。一、化簡不等式（組），比較列式求解例 1 若不等式的解集為，求 k 值。解： 化簡不等式，得 x5k，比較已知解集，得 ， 。例 2 （山東威海市中考題）若不等式組的解集是 x>3，則 m 的取值范圍是（ ）。A、mB、m=3C、m<3D、 m解： 化簡不等式組，得 ，比較已知解集 x>3 ，得 3m, 選 D。例 3 （重慶市中考題）若不等式組的解集是 -1<x<1 ，那么 （a+1）（b-1） 的值等于 解： 化簡不等式組，得它的解集是 -1<x<1 ， 也為其解集

29、，比較得 （a+1）（b-1）=-6.評述： 當(dāng)一次不等式（組）化簡后未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)（字母數(shù)）時(shí)，比較已知解集列不等式（組）或列方程組、結(jié)合性質(zhì)、對照求解例 4 （江蘇鹽城市中考題）已知關(guān)于x 的不等式 (1-a)x>2的解集為則 a 的取值范圍是（ ）A、a>0B 、a>1 C、a<0D、a<1解：對照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得： 1-a<0, 即a>1，選 B。例 5（湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是 x>a，則 a 的取值范圍是A、 a<3B 、 a=3 C 、 a>3D 、 a解： 根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集 x>a, 得 a3,選 D。三、利用性質(zhì)，分類求解例 6 已知不等式的解集是a 的取值范圍解： 由解集得 x-2<0, 脫去絕對值號，得當(dāng) a-1>0 時(shí)，得解集與已知解集矛盾；當(dāng) a-1=0 時(shí)，化為 0· x>0 無解；當(dāng) a-1<0 時(shí)，得解集 與解集 等價(jià)。例 7 若不等式組有解，且每一個(gè)解x 均不在 -1 x 4范圍內(nèi)，求 a 的取值范圍解： 化簡不等式組，得 它有解， 5a- 6<3aTa<3;利用解集性質(zhì)， 題意轉(zhuǎn)化為： 其每一解在 x<-1 或 x>4 內(nèi)。于是分類求解， 當(dāng) x&