抗雪救災(zāi)人力資源分配的優(yōu)化方案

1、抗雪救災(zāi)人力資源分配的優(yōu)化方案武小鵬（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院. 甘肅蘭州. 730070）摘 要當(dāng)遇到雪災(zāi)冰凍等自然災(zāi)害時(shí)首要的搶險(xiǎn)救援任務(wù)是向救災(zāi)人群輸送救援物資、疏通受阻道路及搶修電力設(shè)施。因此，合理分配人力資源，可使救災(zāi)損失降到最小，從而節(jié)約成本，使救災(zāi)過程高效可行。通過對(duì)輸送救援物資，疏通受阻道路及搶修電力設(shè)施的實(shí)際情況分析，在人力資源有限的假設(shè)下，利用微積分的工具，建立了完成抗雪救災(zāi)這項(xiàng)任務(wù)的總損失與人力資源分配的關(guān)系模型，從而將人力資源分配的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)模型的求解問題，并給出了模型的求解公式，且對(duì)實(shí)際問題給出了最優(yōu)解的存在性條件。在實(shí)際應(yīng)用上，通過受災(zāi)人數(shù)等報(bào)告數(shù)據(jù)

2、的匯總，啟用本模型，則可給出模型的精確解，從而給出合理高效的人力資源分配方案。具體模型如下：總損失函數(shù): SS1+ S2+ S3 S2=t0(m-x2vt) tdt+ mt0+c3x3 (0<t<m/x2v)S3=（c1 t22/2）+c1 t22/2(x3-)+c2 t2x3/( x3-)+c3x3 (將S1、S2、S3代入得 S=m3/6v2(X-Nk- x32)2+mLt0+c3x+2t2x3(c1t2+2c2)/2(x3-)）解的存在條件為： R3>2/M R>2/3M或(3MR2-2)/ (MR3-2)其中R=X-Nk ，M=3v2(c12t22+2 c2t2

3、2)/ m3由于使S的一階導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二階導(dǎo)存在且恒為正，故最小值存在，最后解出的S就是最優(yōu)解。關(guān)鍵字抗雪救災(zāi) 輸送救援物資 疏通受阻道路 搶修電力設(shè)施 微積分一、問題的提出2008年初，我國南方遭遇了罕見的雪災(zāi)，冰雪天氣給南方各省造成了巨大的損失，大批乘客滯留在車站和機(jī)場(chǎng)，城市大面積停電，道路在冰雪覆蓋下無法通行此次災(zāi)害中共出動(dòng)了解放軍31萬人次，武警33.3萬人次，電力搶修人員18萬人次，民兵預(yù)備役186.7萬人次1。于是，在救援人員數(shù)目一定的情況下，面對(duì)不同的受災(zāi)部分，怎樣分配人力資源去搶救才能使總損失降到最低？關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠韺?shí)現(xiàn)人力資源的合理分配，從而達(dá)到在災(zāi)難發(fā)

4、生時(shí)調(diào)用此方案能最有效地實(shí)施營救，使總損失降到最小的目的。二、 模型的假設(shè)1.人力，財(cái)力，物力都能滿足抗雪救災(zāi)的需要。2. 營救人員到達(dá)救災(zāi)地點(diǎn)的過程是順利的，不遇到突發(fā)情況。3.受災(zāi)人數(shù)與派出的救援人數(shù)是成比例的。4. 對(duì)dL/dt假設(shè)為：1o 損失費(fèi)與電纜損壞長度L（t）成正比，比例系數(shù)為c1；2o 從災(zāi)害開始到開始救災(zāi)（t1tt2）,電纜損壞程度dL/dt與時(shí)間t成正比，比例系數(shù)為； 3o 搶修開始后（t2tt3）損壞速度降為- x3，為搶修人員的平均搶修速度，且應(yīng)有< x3；4o 每個(gè)搶修人員單位時(shí)間的費(fèi)用為c2，于是每個(gè)搶修人員的搶修費(fèi)用為c3(t3-t2)。三、符號(hào)及變量說明

5、c1： 單位長度電纜損失費(fèi)c2： 單位時(shí)間每個(gè)人搶修電纜的費(fèi)用c3： 每個(gè)救援人員的一次性支出k： 救與被救人員之間的比例關(guān)系L（t）： t時(shí)刻電纜損壞的長度m： 阻塞路面的面積N： 受災(zāi)人數(shù)S1： 輸送救災(zāi)物資及救人過程中損失的總費(fèi)用S2： 電線電纜及搶修過程損失的總費(fèi)用S3： 受災(zāi)路面及疏通道路損失總費(fèi)用S： 總的損失費(fèi)用： 在t。內(nèi)由路面阻塞造成的損失： 救援人員到達(dá)后直到道路清理完成之前造成的損失： 救災(zāi)人員一次性支出的總費(fèi)用t0: 開路人員到達(dá)受災(zāi)地所用的時(shí)間t1： 對(duì)電纜構(gòu)成災(zāi)害的時(shí)刻t2： 開始搶修電纜的時(shí)刻t3： 對(duì)電纜搶修完成的時(shí)刻t： 清理路面所用時(shí)間v： 每個(gè)搶修人員平均

6、搶修速度x1： 運(yùn)送物資的人數(shù)x2： 搶修道路的人數(shù)x3: 搶修電纜的人數(shù)X： 可供調(diào)配的人數(shù)： 單位時(shí)間單位面積道路阻塞造成的損失： 電纜損壞速度（dL/dt與t的比例系數(shù)）： 搶修人員的平均搶修速度dL/dt: 電纜損壞程度（L（t）與t2成正比）四、問題的分析雪災(zāi)發(fā)生后，社會(huì)的諸多方面都會(huì)遭受到不同程度的損失。由于現(xiàn)實(shí)情況的復(fù)雜性，同時(shí)又要保證方案的可行性，本模型將需要搶救的方面分為三大部分：1.分配人員向受災(zāi)人群輸送物資開展救援；2.分配人員疏通阻塞的道路；3.分配人員搶修電線電纜在第1部分中，損失費(fèi)為S1，在知道受災(zāi)總?cè)藬?shù)N的情況下，根據(jù)N與x1比例關(guān)系k，可確定出具體的x1（x1=

7、Nk），從而建立出S1與救援人數(shù)x1的比例關(guān)系：S1= c3x1；在第2部分中，損失費(fèi)用為S2，派出疏通道路人員的數(shù)量為x2。已知v、m、to、c3 (以上數(shù)值均為常量)，可分別求出、，依次為：= mt0=t0(m-x2vt) tdt= c3x3顯然 因此，S2=t0(m-x2vt) tdt+ mt0+c3x3 (0<t<m/x2v)在第3部分中，損失費(fèi)用為S3，派出搶修人員數(shù)量為x3，已知常量c1 、v、t1、t2、t3，設(shè)出變量dL/dt、L（t）通過對(duì)這些數(shù)據(jù)的綜合分析，得出主要關(guān)系式：t3- t2=b/（x1-） （1）L（t3）=（t32/2）+ t322/2(x3-)

8、（2）再由以上兩式得出：S3= c1t22/2+c1t22/2(x3-)+c2t2x3/(x3-)+c3x3最后，利用損失SS1+ S2+ S3，分別將要S1，S2，S3的表達(dá)式代入，通過變量與變量，變量與常量的代換得出x3關(guān)于S的三次表達(dá)式：S=m3/6v2(X-Nk- x32)2+mLt0+c3x+2t2x3(c1t2+2c2)/2(x3-)此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為一元三次方程求最優(yōu)解的問題。五、模型的建立1. 向受災(zāi)人群輸送物資此情況下，假設(shè)道路已經(jīng)暢通，或至少有道路通向?yàn)?zāi)區(qū)，我們要做的是為保證受災(zāi)人員的生命安全和溫飽問題。根據(jù)假設(shè)，向?yàn)?zāi)區(qū)運(yùn)送物資消耗的費(fèi)用為顯然，在受災(zāi)人數(shù)確定的條件下，此處的

9、x1為一定量。2. 道路疏通問題：由假設(shè)可知，參加道路疏通人員的集體搶修速度為xv在內(nèi)有路面阻塞早產(chǎn)的損失為：清理道路所用時(shí)間為在道路疏通人員到達(dá)后，邊清理邊損失的情況下，所形成的損失為用于道路疏通人員的一次性支出為故總的損失為 = (其中0<t<) 3.搶修電纜問題在搶修人員到達(dá)之前，即 時(shí)，損失越來越大，即隨t 的增加而增加；開始搶修之后，即時(shí)，隨著搶修工作的開展損失程度會(huì)減小，且當(dāng) 時(shí)=0.由假設(shè)條件，電纜損壞程度在 線性的增加，在時(shí)線性的減小，如圖所示。 記時(shí)，損壞程度恰是圖中三角形的面積，顯然， 而滿足 由假設(shè)條件，電纜損失為， 救援費(fèi)為 將 代如入，得到損失費(fèi) 4.問題

10、整合由假設(shè)，可供調(diào)配的人員為X ，則 因而，雪災(zāi)造成的總損失表示成的函數(shù)為 六、模型的求解與分析以上已經(jīng)建立了完成抗雪救災(zāi)的總損失與人力資源分配的函數(shù)關(guān)系，即對(duì) 關(guān)于求導(dǎo)，有令 =0 ，化簡整理得 令, ，于是方程化簡為 即 討論方程取實(shí)根的情況對(duì)一般一元三次方程而言 ，取實(shí)根的情況有兩種： 有一個(gè)實(shí)根兩個(gè)虛根令方程的根分別為，由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有在方程（*）中，不妨設(shè)為實(shí)根，為兩共軛虛根，顯然，因此當(dāng) 時(shí)，方程（*）有一個(gè)正實(shí)根 有三個(gè)實(shí)根 由三次方程根與系數(shù)關(guān)系 , 在方程（*）中，當(dāng) 或時(shí)， 方程（*）至少有一個(gè)實(shí)根。再對(duì) 關(guān)于求二階導(dǎo)，得恒成立。 因此，所求出的駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，

11、對(duì)實(shí)際情況而言，此極小值就是最小值，最優(yōu)解存在。方程的求解方程（*）可以表示為如下形式： 而對(duì)方程，設(shè)于是有 由求根公式，有方程（*）的根為 （其中，）七、模型的靈敏度分析由不斷變化的外部環(huán)境可能引起原決策系數(shù)的改變，因此討論這些變化對(duì)最優(yōu)解的影響，即模型的靈敏度分析是非常有必要的。1）在應(yīng)用模型時(shí)，c1、c2、c3、k都是已知的常數(shù)，而、v、則是由救災(zāi)人員的素質(zhì)、具體災(zāi)情的嚴(yán)重程度等不可控因素決定的，這就對(duì)模型的穩(wěn)定性有一定的影響。2）從自變量發(fā)生微小變化的角度來看，取x3，使得| x3- x3|<，由于S由初等函數(shù)構(gòu)成，所以S為初等函數(shù)。又由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)，即在條件| x

12、3- x3|<下，有|S（x3）- S（x3）|<,故此方程有較高靈敏度。即本模型在人員調(diào)配方案確定后，派往各方面救災(zāi)人員的數(shù)量的微小變動(dòng)不會(huì)引起損失S的巨大變動(dòng)。八、模型的評(píng)價(jià)本模型研究的是抗雪救災(zāi)人力資源的分配問題，包括向受災(zāi)人群運(yùn)送物資的人員分配、疏通阻塞道路的人員分配、搶修電線電纜人員的分配三部分。在人力資源充分且非無限（為X）的情況下，模型集中解決了怎樣給三方災(zāi)情區(qū)分配人員才能使總損失降到最小的問題。本著以人為本的原則，先分配足夠的人員（數(shù)目為x1）輸送物資搶救傷員，其余人數(shù)按最優(yōu)原則分配（用x2的人數(shù)去修復(fù)道路,用x3的人數(shù)去搶修電線電纜）。本模型有以下優(yōu)點(diǎn)：1.各參變

13、量的設(shè)置最大限度地吻合了實(shí)際情況，與事實(shí)較貼近，各方面因素考慮也比較周全。2.通過微積分等有效的方法，巧妙地將雪災(zāi)總損失與人力資源的分配建立起了聯(lián)系，從人力資源分配的角度，對(duì)損失做了較精確的描述。3.本模型從災(zāi)后需要及時(shí)援助和搶修的三個(gè)主要方面入手，抓住了救援的重點(diǎn)。4.本模型優(yōu)先考慮對(duì)受災(zāi)人群的支援，根據(jù)受災(zāi)的人數(shù)無條件地進(jìn)行人員分配，同時(shí)兼顧修復(fù)交通、搶修電力設(shè)施，使抗災(zāi)救險(xiǎn)更為有效。5.對(duì)目標(biāo)函數(shù)求得的二階導(dǎo)恒大于0，極小值存在，即保證了最優(yōu)解的存在。本模型的不足之處：1.可調(diào)動(dòng)的人力資源可能不充分，這就需要考慮到救援的先后問題。2.由于個(gè)人差異，救災(zāi)人員的工作能力不盡相同。3.本模型考

14、慮的是分往三個(gè)不同方面的人的獨(dú)立作業(yè)，對(duì)于各方向人員間的相互援助沒有考慮。模型的改進(jìn)：本模型考慮的是針對(duì)一個(gè)地區(qū)的救災(zāi)人員分配問題，然而在現(xiàn)實(shí)中，可能有多個(gè)地區(qū)同時(shí)受災(zāi)。應(yīng)對(duì)多地區(qū)受災(zāi)的問題，可在模型中給未受災(zāi)地區(qū)指定相應(yīng)的最臨近的一個(gè)受災(zāi)地區(qū)進(jìn)行救援，形成一對(duì)一的搶救模式，則救災(zāi)過程依然可啟用原方案。參考文獻(xiàn)： 1新華網(wǎng)，新聞辦介紹近期救災(zāi)和市場(chǎng)保障情況， 2008-05-14 2數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京：高等教育出版社，19983姜啟源.數(shù)學(xué)模型.北京：高等教育出版社，20074國家自然災(zāi)害應(yīng)急預(yù)案.中國防汛抗旱.2006年第1期：29-34，2006Optimal programm

15、e of human resources ablation anti-sown disaster relief Abstract When we encounter frozen natural disasters, such as snowstorm, the first and foremost task rescuing relief is to transfer relief materials to the affected population, to clear blocked roads and to repair electrical facilities. Therefor

16、e, rational allocation of human resources can minimize the total loss of the relief, then make the process of disaster relief efficient and feasible. Through analysis of the three actual situations, transfer of relief materials, on condition that human resources are in a limited circumstance, we can

17、 establish a model relationship between the total losses to complete this task and the allocation of human resources with the tools of calculus. Thats to say the complex issue, the allocation of human resources can be transferred into a model to solve the problem accordingly and then, we can give th

18、e formula of the model, and show conditions of existence of the optimal solution. In practical application, providing the number affected like aggregate of data report, we can get solutions with the use of the model, so as to give a reasonable and efficient allocation of human resources programme.Key wordsAnti-snow disaster relief Transportation of relief