(完整word版)2019-2020年高考數(shù)學大題專題練習——立體幾何(一)

1、2019-2020 年高考數(shù)學大題專題練習立體幾何(一)261. 如圖所示，四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為正方形， PD 平面 ABCD，PD=AB=2，點 E,F,G分別為 PC, PD , BC 的中點. (1) 求證： PA EF ；(2)求二面角 D - FG - E 的余弦值 .2. 如圖所示，該幾何體是由一個直角三棱柱ADE - BCF和一個正四棱錐 P- ABCD組合而成， AD AF ， AE=AD =2.(1)證明：平面 PAD 平面 ABFE ；22(2)求正四棱錐 P - ABCD的高h，使得二面角 C- AF- P的余弦值是 2 2. 3DB3. 四棱錐 P

2、 ABCD中，側面 PDC 是邊長為 2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是面積為 2 3的菱形， ADC為銳角， M為 PB的中點（）求證： PD面 ACM （）求證： PA CD （）求三棱錐 P ABCD 的體積4.如圖，四棱錐 SABCD 滿足 SA 面 ABCD ，DABABC 90 SA AB BC a ，AD 2a ）求證：面 SAB 面 SAD）求證： CD 面 SAC5.在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，測棱 PD底面 ABCD ， PDDC ，點 E 是BC 的中點，作 EF PB 交 PB 于 F P（ ）求證：平面 PCD 平面 PBC E（ ）求

3、證： PB 平面 EFD DCADBC6.在直棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AB AC，設 AB1中點為 D， A1C中點為 E （ ）求證： DE平面 BCC1B1（ ）求證：平面 ABB1A1 平面 ACC1 A1 CC17.在四棱錐 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AB/CD， AB AD，PA PB，AB:AD :CD 2: 2:1.（1）證明 BD PC ；（2）求二面角 A PC D 的余弦值；（3）設點 Q為線段 PD上一點，且直線 AQ平面 PAC所 成角的正弦值為 2 ，求 PQ 的值 .3 PD8.在正方體 ABCDA1B1C1D1 中， O 是 AC 的中

4、點，E 是線段 D1O 上一點，且 D1E EO.1）若 =1，求異面直線 DE與 CD1所成角的余弦值；9.如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， BCD 135 ，側面 PAB 底面 ABCD ， BAP 90 ， AB AC PA 2， E ， F 分別為 BC ， AD 的中點，點 M 在線段 PD 上）求證： EF 平面 PAC ）若 M 為 PD 的中點，求證： ME平面 PAB ）如果直線 ME 與平面 PBC所成的角和直線 ME 與平面 ABCD 所在的角相等，求 PM 的值 PD10.如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 ， AA1 底面 ABC， A

5、B AC ， ACAB AA1 ， E ， F分別是棱 BC， A1A的中點， G為棱 CC1上的一點，且 C1F 平面 AEGCG（1 ）求的值CC1（ 2）求證： EG A1C （ 3 ）求二面角 A1 AG E 的余弦值11. 如圖，在四棱錐 P ABCD 中， PB底面 ABCD ，底面 ABCD 為梯形， ADBC ， AD AB，且 PB AB AD 3， BC 11（）若點 F 為PD上一點且 PF PD ，證明： CF平面 PAB3（ ）求二面角 B PD A的大?。?）在線段 PD上是否存在一點 M ，使得DCM PA ？若存在，求出 PM 的長；若不存在，說明 理由12.

6、如圖，在四棱錐 E ABCD 中，平面 EAD平面 ABCD ， CD AB ， BC CD ， EAED， AB 4， BC CD EA ED 2證明： BDAE 求平面 ADE 和平面 CDE 所成角（銳角）的余弦值CFAD13. 己知四棱錐 P ABCD中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD是菱形，且 PA AB 2 ABC 60 ， BC、 PD的中點分別為 E，F(xiàn) （）求證 BC PE （）求二面角 F AC D 的余弦值（）在線段 AB上是否存在一點 G，使得 AF 平行于 平面 PCG ？若存在，指出 G在 AB上的位置并給予證明，若不存在，請說明理由14. 如圖， ABC

7、D 是邊長為 3 的正方形， DE 平面 ABCD ， AFDE ，DE 3AF， BE與平面 ABCD所成角為 60 （ ）求證： AC 平面 BDE （ ）求二面角 F BE D 的余弦值（）設點 M 線段 BD上一個動點，試確定點 M 的位置， 使得 AM 平面 BEF ，并證明你的結論B15. 如圖， PA 面 ABC ， AB BC ， AB PA 2BC 2，M為 PB的中點 （ ）求證： AM 平面 PBC （ ）求二面角 A PC B的余弦值 （ ）在線段 PC 上是否存在點 D，使得PDBDAC ，若存在，求出PD 的值，若不存在，說明理由PC16. 如圖所示，在四棱錐 P-

8、ABCD 中， AB平面 PAD , AB / /CD, E是 PB的中點,AHPD 2,PA 5,AB AD 3, 2 .HD（1）證明： PH平面 ABCD ；（2）若 F 是 CD 上的點，且 FC 2FD 3，求二面角 B EF C 的正弦值 .17. 如圖， DC平面 ABC， EB/ /DC ，AC BC EB 2DC 2 ， ACB 120 ，Q 為 AB 的中點（）證明： CQ平面 ABE ；（）求多面體 ACED 的體積；（）求二面角 A-DE-B 的正切值18. 如圖 1 ,在ABC中， AB=BC=2, B=90°,D為 BC邊上一點，以邊 AC為對角線做平行四

9、 邊形ADCE，沿AC將ACE折起，使得平面 ACE 平面 ABC,如圖 2.（1）在圖 2中，設 M為 AC的中點，求證 :BM丄 AE；（2） 在圖 2 中，當 DE 最小時，求二面角A -DE-C 的平面角19. 如圖所示，在已知三棱柱 ABF-DCE 中，ADE 90 ， ABC 60 ，AB AD 2AF ，平面 ABCD 平面 ADEF ，點 M 在線段 BE上，點 G是線段 AD 的中點 （1）試確定點 M 的位置，使得 AF 平面 GMC ；2）求直線 BG 與平面 GCE 所成角的正弦值AC=AB， PA平面 ABCD ，E， F 分別20. 已知在四棱錐 P-ABCD 中，

10、底面 ABCD 是菱形， 是 AB ， PD 的中點 .）求證： AF 平面 PCE；所成銳二面角的余弦值）若 AB 2AP 2，求平面 PAD 與平面 PCE21.如圖，五面體 PABCD 中， CD平面 PAD，ABCD 為直角梯形，BCD,PD BC2CD1AD,AP PD .2（1）若E為AP 的中點，求證：BE平面 PCD ；（2）求二面角 P-AB-C 的余弦值22.如圖（ 1）所示，已知四邊形 SBCD 是由 RtSAB 和直角梯形 ABCD 拼接而成的，其中SAB SDC 90 .且點 A 為線段 SD 的中點， AD 2DC 1， AB 2.現(xiàn)將 SAB 沿 AB 進行翻折，

11、使得二面角 S-AB-C 的大小為 90°，得到圖形如圖（ 2）所示，連接 SC， 點 E， F分別在線段 SB，SC 上.（）證明： BD AF ；2（）若三棱錐 B-AEC 的體積為四棱錐 S-ABCD 體積的 ，求點 E 到平面 ABCD 的距離 .523.四棱錐S-ABCD中 ，AD BCBCCD,SDASDC 600AD1DC BC21SD，2E為 SD的中點 .（1）求證：平面 AEC平面ABCD；（2）求 BC 與平面CDE 所成角的余弦值 .點面24.已知三棱錐 P-ABC，底面 ABC 是以 B 為直角頂 的等腰直角三角形， PA AC，BA=BC=PA=2，二 角

12、 P-AC-B 的大小為 120°.1）求直線 PC與平面 ABC 所成角的大??；2）求二面角 P-BC-A 的正切值 .25.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，平面 PAD 平面ABCD ， ABCBCD 900， PA PD DC CB1AB，E是 PB 的中點，2）求證： EC平面 APD ； ）求 BP 與平面 ABCD 所成的角的正切值； ）求二面角 P-AB-D 的余弦值 .26.四棱錐 PABCD 的底面 ABCD 為邊長為 2 的正方 形，PA=2，PB=PD=2 2 ，E，F(xiàn)，G，H分別為棱 PA，PB，AD ，CD 的中點（1）求 CD與平面 CFG 所成角的正弦

13、值；（2）探究棱 PD 上是否存在點 M，使得平面 CFG平面 MEH ，若存在，求出 PM 的值； PD若不存在，請說明理由試卷答案1以點 D 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D - xyz ，則D (0,0,0 ) ， A(0,2,0 ) ， C (- 2,0,0) ， P(0,0,2 ) ， E(- 1,0,1) ， F (0,0,1) ， G (- 2,1,0) . uuur uuur(1) PA =(0,2, - 2) ， EF = (1,0,0) ，uuur uuur 則 PA?EF 0 ， PA EF .uuur uuur(2)易知 DF =(0,0,1)， FG =(-

14、2,1- 1)， 設平面 DFG 的法向量 umr =(x1,y1,z1) ，uuur?DFuuur?m?FG0，即0?ìíz1 =0?-2x1 + y1 - z1 =0令 x1=1，則 m = (1,2,0 )是平面 DFG 的一個法向量， 同理可得 nr = (0,1,1)是平面 EFG的一個法向量，ur rur rcos< m,n>=m×n2 10umr ×rn = 5 2= 5 由圖可知二面角 D - FG- E 為鈍角， 二面角 D- FG- E的余弦值為 - 10 .52.(1)證明：直三棱柱 ADE- BCF中， AB 平面AD

15、E ，所以：AB AD，又 AD AF，所以：AD 平面 ABFE ， ADì平面 PAD ，所以：平面 PAD 平面 ABFE.(2)由(1) AD 平面 ABFE ，以A為原點， AB, AE , AD方向為 x, y, z軸建立空間直角坐標系A- xyz ，設正四棱錐 P- ABCD的高 h， AE=AD=2，則A(0,0,0 ) ，F(xiàn) (2,2,0 ) ， C (2,0,2 ) ， P(1,- h,1) .uuur uuur uuurAF = (2,2,0) ， AC = (2,0, 2) ， AP = (1,- h,1) .設平面 ACF 的一個法向量 m=(x1,y1,z

16、1)，則：ur uuur ?ìm?AF ír uuur ?n?AC2x1+2y1 = 01 1，取 x1 =1，則 y1 =z1= - 1，所以：2x1 +2z1 =0urm = (1,- 1,- 1).r uuur r?ìn?AF設平面 AFP的一個法向量 n =(x2,y2,z2)，則 ?írn ?uAuuFr ?n?AP2x2 +2y2 = 0 x2 - hy2 + z2 = 0取 x2 =1，則 y2 =- 1， z2 = -1- h ，所以： n = (1,- 1,- 1- h)，面角 C - AF - P 的余弦值是 2 2 ，所以：3ur

17、r m?n 1 1+1+h cos < m,n >= ur r = 2 m n 3 2+(h+1)2223解得： h=1.3.( )證明：連結 AC交BD于O ，則 O是 BD中點， 在PBD中， O是BD的中點， M 是PB的中點， PD MO ，又 PD 平面 ACM ， MO 平面 ACM ， PD平面 ACM （ ）證明：作 PE CD ，則 E為CD中點，連結 AE， 底面 ABCD是菱形，邊長為 2，面積為 2 3 ， S 12 ADDC sin ADC 212 2 2sinADC 2 2 3 ， sin ADC23 ， ADC60 ACD 是等邊三角形， CD AE

18、，又 CDPE ， CD 平面 PAE ， CD PA 1）VP ABCDSABCD3PE4.D（1）證明： SA平面 ABCD， AB 平面 AB SA，又 BAD 90 ， AB AD ， SAI AD A ， AB 平面 SAD，又 AB 平面 SAB ，平面 SAB 平面 SAD（ ）證明：取 AD中點為 E ， DAB ABC 90 ， AD 2a ， BC a ， ABCE 是矩形， CE AB a ， DE a ，ABCD，E是 AD 中點， CD 2a ，在 ACD 中， AC 2a ， CD 2a ， AD 2a ，2 2 2 AC2 CD2 AD 2，即 CD AC ，又

19、SA 平面 ABCD， CD 平面 ABCD， CD SA， CD 平面 PAC 5.（ ）證明： PD 底面 ABCD， BC 平面 ABCD， PD BC ，又底面 ABCD 為矩形， BC CD ， BC 平面 PCD ， BC 平面 PBC ，平面 PCD 平面 PBC （ ）證明： PD DC ， E是 PC 中點， DE PC ，又平面 PCD 平面 PBC ，平面 PCD I 平面 PBC PC ， DE 平面 PBC ， DE PB ，又 EF PB， EF I DE E， PB 平面 EFD 6.ABB1CC1（ ）證明：連結 A1B ， D 是 AB1 的中點， D 是 A

20、1B 的中點，在 A1BC 中， D 是 A1B 的中點， E 是 A1C 的中點， DE BC ，又 DE 平面 BCC1B1 ， BC 平面 BCC1B1， DE平面 BCC1B1 7. 以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系B(2,0,0) ， D(0, 2,0) ， P(0,0,2) ，（ ）證明： ABCA1 B1C1 是直棱柱， AA1平面 ABC ， AA1AB，又 ABAC， AB平面 ACC1A1 ， AB平面 ABB1A1 ，平面ABB1A1 平面ACC1A1 C(1, 2,0)uuur1) BDuuur( 2, 2,0) ， PC(1, 2, 2) ，uuur uuurB

21、D?PC 0 BD PCuuur uuur ur2)AC (1, 2,0) ， AP (0,0, 2) ，平面 PAC的法向量為 m ( 2, 1,0) uuur uuur rDP (0, 2,2)， AP (1,0,0) ，平面 DPC 的法向量為 n (0, 2, 1).cos m,nmPCD 的余弦值為uuuruuuruuuruuuruuur3) AQAPPQAPtPD， t0,1uuur AQ (0,0, 2) t(0, 2, 2)(0, 2t,2 2t)設 為直線 AQ 與平面 PAC 所成的角sinuuur ur cos AQ,muuuruuur AQ ?umr2t 23 2t2

22、(2 2t)2323t2 6t2 8t 4 ，解得 t 2(舍)或 .3所以， PQ 2即為所求 .PD 38. 解:（1）不妨設正方體的棱長為 1，以 DA ,DC ,DD1 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系 D xyz 則 A（1， 0，0） ， O 12，12，0 ，C 0，1，0 ，D1（0，0，1），1，1，1由 cos 4，4，2所以異面直線 AE與 CD1所成角的余弦值為uuur uuuur2)設平面 CD1O的向量為 m=(x1， y1， z1)，由 m·CO 0， m·CD1 0得取 x1 1，得 y1z11，即 m=（1 ，1， 1） .由 D

23、1EEO，則 E， 又設平面 CDE 的法向量為 n（x2，y2，z2），由 n·CD 0， n·DE 0.得取 x2=2，得 z2 ，即 n（2，0，） .因為平面 CDE 平面 CD1F，所以 m·n0，得 29. ( )證明：在平行四邊形 ABCD 中， AB AC ，BCD 135 ， ABC 45 ， AB AC ， E ， F 分別為 BC ， AD 的中點， EF AB ， EF AC ，側面 PAB底面 ABCD ，且BAP 90 ， PA 底面 ABCD ， PA EF ，又 PAI AC A， PA 平面 PAC， AC 平面 PAC， EF平

24、面 PAC ( )證明： M為PD的中點， F 為AD的中點， MF PA，又 MF 平面 PAB ， PA 平面 PAB， MF 平面 PAB ，同理，得 EF 平面 PAB ，又 MF I EF F ， MF 平面 MEF ， EF 平面 M EF ，平面 MEF 平面 PAB ，又 ME 平面 MEF， ME平面 PAB( )解： PA底面 ABCD， ABAC， AP ， AB ， AC 兩兩垂直，故以 AB ， AC ， AP 分別為 x 軸， y 軸和 z 軸建立如圖空間 直角坐標系，則 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(0,2,0) ， P(0,0,2) ， D(

25、2,2,0) ， E(1,1,0) ，uuur 所以 PB(2,0, 2) ，uuurPD(2,2,2)，uuurBC (2,2,0) ，設 PM( 0,1) ，則uuuurPM(2 ,2,2)PDuuur M( 2,2 ,2 2 )， ME(12 ,12 ,22)，易得平面ABCD 的法向量umr(0,0,1) ，設平面 PBC的法向量為 nr (x, y,z) ，則：r uuurn BC 0 2x 2 y 0 rr uuur ，即 ，令 x 1 ，得 n (1,1,1)，n PB 0 2x 2 z 0ABCD 所成的角相等， | cosuuur ur ME,m | | cosuuur rM

26、E,n|，即uuuur ur |uuMurE mur| |ME| |m|uuuur r| ME n uuur| ME | | n|直線 ME 與平面 PBC 所成的角和此直線與平面332舍去)，z10. (1) C1F 平面 AEG，又 C1F 平面 ACC1A1，平面 ACC1A1 I 平面 AEG AG， C1F AG ，F(xiàn) 為AA1的點，且側面 ACC1 A1為平行四邊形， G 為 CC1 中點， CG 1 CC1 2 ( 2)證明： AA1底面 ABC ， AA1 AB ， AA1 AC ，又 AB AC ，如圖，以 A為原點建立空間直角坐標系 A xyz ，設AB 2，則由 AB A

27、C AA1可得C(2,0,0) ， B(0,2,0) ，C1(2,0,2)，A1(0,0,2) ， E，G 分別是 BC ， CC1的中點， E(1,1,0) ， G(2,0,1) ，uuur uuur EG CA1 (1, 1,1) ( 2,0,2) 0 ，uuur uuur EG CA1， EG A1C ( 3)設平面 AEG的法向量為 n (x,y,z) ，則：r uuurn AE 0xy0r uuur ，即，令 x 1 ，則 y 1， z 2 ，n AG 02x z 0 nr (1, 1, 2) ，ur由已知可得平面A1 AG的法向量 m (0,1,0) ，r ur cos n,mrn

28、r umrur6r ur ，|n| |m| 6由題意知二面角 A1 AG E 為鈍角，二面角 A1 AG E 的余弦值為6111. ()證明：過點 F 作 FH AD， 交 PA 于 H ，連結 BH ，如圖所示， PF1PD ，3， HF1AD BC ，3又 FH AD ， AD BC ， HF BC ，四邊形 BCFH 為平行四邊形， CF BH ，又 BH平面 PAB， CF 平面 PAB， CF平面 PAB D( )解： 梯形 ABCD中， ADBC， ADAB， BC AB ， PB平面 ABCD ， PB AB， PB BC ，如圖，以 B為原點， BC ，BA，BP所在直線為 x

29、 ， y ， z 軸建立空間直角坐標系， 則C(1,0,0) ， D(3,0,0) ， A(0,3,0) ， P(0,0,3) ，設平面 BPD的一個法向量為 n (x,y,z) ， 平面 APD的一個法向量為 mur (a,b,c) ，uuur PDuuur(3,3, 3) ， BP (0,0,3) ，PD n 03x3 y 3z0 uuur r，即BP n 03z0rur令 x 1得 n(1, 1,0) ，同理可得m(0,1,1) ，rurr urnm1 cos n, mrur，|n|m|2二面角 BPDA為銳角，二面角 BPDA為3uuuur uuur( )假設存在點M 滿足題意，設PM

30、 PD (3 ,3uuuur uuuruuur CM CPPD(1 3 ,3,33 ) ，uuur r3 ) ，3(3 3) 0 ，解得uuur uuur uuuur1PD 3 3 22 PA (0,3, 3) ， PA CM 9 PD 上存在點 M 使得 CM PA ，且 PM12. BC CD ， BC CD 2 ， BD 2 2 ， 同理 EAED， EA ED 2， AD 2 2， 又 AB 4 ， 由勾股定理可知 BD2 AD2 AB2， BDAD， 又平面EAD平面 ABCD ，平面 EADI 平面ABCD AD，BD 平面 ABCD， BD 平面 AED ，又 AE 平面 AED

31、 ， BD AE 解：取 AD的中點 O，連結 OE，則 OE AD，平面 EAD 平面 ABCD ，平面 EAD I 平面 ABCD AD ， OE 平面 ABCD ，取 AB 的中點 F ，連結 DF BD ，以 O 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 O xyz ，則 D( 2,0,0) ，C( 2 2, 2,0) ， E(0,0, 2) ， uDuCur ( 2, 2,0) ， uDuEur ( 2,0, 2) ， 設平面 CDE 的法向量為 nr (x,y,z) ，uuur rDC n 0 x z 0則 uuur r 即 ，令 x 1 ，則 z 1， y 1 ，DE n 0 x y

32、 0平面 CDE 的法向量 rn (1,1, 1) ， 又平面 ADE 的一個法向量為 rn1 (0,1,0) ，設平面 ADE 和平面 CDE 所成角（銳角）為則 cos|cosn n1n,n1 | r r|n| |n1|平面 ADE 和平面 CDE 所成角（銳角）的余弦值為 3 313.（1）證明：連結 AE， PE PA 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ， PA BC 又底面 ABCD是菱形， AB BC ， ABC 60 ， ABC 是正三角形 E 是 BC 的中點， AE BC 又 PAI AE A， PA 平面 PAE， PE 平面 PAE， BC 平面 PAE ， BC

33、 PE (2)由( 1)得 AE BC，由 BCAD可得 AE AD 又 PA 底面 ABCD ， PA AE，PA AD以A為原點，分別以 AE，AD，AP為x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標系 A xyz， 如圖所示，則 A(0,0,0) ， E( 3,0,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2) ， B( 3, 1,0)， C( 3,1,0) ，F(xiàn)(0,1,1) PA 平面 ABCD ，uuur平面 ABCD 的法向量為 AP (0,0,2)uuur uuur 又 AC ( 3,1,0) ， AF(0,1,1) uuur rAC n uuur r0 ，即 3xy 0 ，令 x

34、1 ，則 y3 ， z 3 ，AFn0 y+ z0r n(1,3, 3) uuur ruuur r AP n21設平面 ACF的一個法向量 n (x, y, z) ，則： cos AP, nuuur r | AP | n| 7二面角 F AC D 是銳角， 二面角 F AC D 的余弦值為 21 7uuur uuur( 3) G是線段 AB上的一點，設 AG tAB(0t 1)uuur AB ( 3, 1,0) ， G( 3t, t,0)又uuur uuurPC ( 3,1, 2)， PG ( 3tt, 2) 設平面 PCG 的一個法向量為 n ( x, y, z) ，則：uuur urPC

35、n1 0 uuur ur ，即 PG n1 0(t+1, 3(t 1), 3t) ，uuur AF平面 PCG ， AF0，r uuur rn， AF n 0，即 3(t 1)+ 3t1 解得 t 1 2故線段 AB上存在一點 G，使得 AF平行于平面 PCG，G是 AB中點14.（ 1 ）證明： DE 平面 ABCD， AC 平面 ABCD ， DE AC ABCD 是正方形， AC BD 又 DE I BD D ， AC 平面 BDE （2） DA， DC， DE兩兩重疊， 建立空間直角坐標系 D xyz如圖所示 BE 與平面 ABCD 所成角為 60 ，即DBE 60 ，50EDDB3由

36、 AD 3，可知 DZ 3 16， AF 6，則 A(3,0,0) ， F (3,0, 6)， E(0,0,3 6)， B(3,3,0) ， C (0,3,0) uuur uuurr uuur n BF r uuur n EF BF (0, 3, 6) ， EF (3,0, 2 6) ， 設平面 BEF 的法向量為 nr (x,y,z) ，則0 ，即 3y 6z 0，令 z6 ，則 rn (4,2, 6) 0 3x 2 6z 0 AC 平面 BDE ，uuur uuur CA 為平面 BDE 的一個法向量， CA (3, 3,0) ， r uuur cos nr,uCuAurrn CuuAuu

37、r 6 13|n|CA| 3 2 26 13二面角 F BE D 為銳角， 二面角 F BE D 的余弦值為 13 13uuuur3）點 M線段 BD上一個動點，設 M（t,t,0），則 AM （t 3,t,0） uuuur r AM 平面 BEF， AM n 0，即 4(t 3) 2t 0，解得 t 2 ，此時，點 M 坐標為 (2,2,0) ， BM31 BD ，符合題意15.x1)證明： PA 平面ABC ， BC 平面 ABC，PABC BCAB ，PAIAB A ，BC平面PAB又AM平面PABAMBC PAAB，M為PB的中點，AMPB又 PBI BCB，AM平面PBC2)如圖，在

38、平面 ABC內作 AZBC ，則 AP， AB， AZ兩兩垂直，建立空間直角坐標系 A xyz則 A(0,0,0) ， P(2,0,0) ， B(0,2,0) ， C(0,2,1) ， M (1,1,0) uuur uuur uuuurAP (2,0,0) ， AC (0,2,1) ， AM (1,1,0) r uuurnAP0x0ruuur，即，令 y 1，則 znAC02y z 0設平面 APC 的法向量為 n (x,y,z) ，則：2 nr (0,1, 2) uuuur由( 1)可知 AM (1,1,0)為平面 PBC 的一個法向量， cos nuuuur ruAuMuuruuAuuuM

39、uuurr rnr| AM |n| 512 1010二面角PC B 為銳角，二面角PC B 的余弦值為10103)證明：uuurD( , v, w)是線段 PC 上一點，且 PDuuurPC ，(0 1) ，AH 因為 AD 3,AH 2，HD即(2, v, w)(2,2,1)2 2 ，v2，wuuur BD(2 2 ,22, )uuuruuur4由 BDAC 0 ，得50,1 ，線段PC 上存在點 D ，使得 BDAC ，此時 PD4PC516.解：( 1)證明：因為AB 平面PAD ，所以 PHAB，所以AH2,HD1設 PH x ，由余弦定可得，cosPHD x2 HD2 PH 22x

40、HDx2 12xcosPHAx2HA2 PH 22x HAx2 14x因為cos PHD cos PHA ，故 PH1，所以PH AD ，因為 ADI ABA ，故 PH平面ABCD.2)以 H為原點，以 HA, HP , HP 所在的直線分別為x,y,z 軸，建立空間直角坐標系，391,32,0),C( 1, 92,0) ，31則B(2,3,0), P(0,0,1),E(1,23,12),F(uuur所以可得， BF ( 3,3 uuur32,0), uBuEur1,3 1 uuur 1 uuur23 , 12), EF ( 2,0, 12), FC (0,3,0) ，設平面 BEF 的法向

41、量(x, y,z)3x 3 y232yn ( 1,2,4) ，uuur rBF n 則有： uuur rBE n設平面 EFC 的法向量m (x, y,z) ，uuur urEF m 0 uuur urFC m 0則有：設二面角 B EF2x z 0 ur 2m 3y 017 1721 17 21( 1,0,4) ，C 的平面角為，則 sin2 212117.解( )證明： DC 平面 ABC，BE/DC BE 平面 ABC CQ BE 又 AC BC 2，點 Q 為 AB 邊中點 CQ AB ABI BE B故由 得 CQ 平面 ABE）過點 A作 AM BC交 BC延長線于點 M AM B

42、C,AM BE AM 平面 BEDCVA CED13S CDE gAMAM AC gsin3， SCDE 1 1 2 132 VA CED13 1 3 33 ）延長 ED 交 BC 延長線于 S ，過點 M 作 MQ ES 于 Q ，連結 AQ由（ ）可得： AQM 為 A DE B的平面角1 CD/ BC2 SC CB 2 SEBE2 SB2 2 5MC MS 1 SQM SBEQMBESMSEQM21 即 QM 52 5 5 tan AQMAMQM35 15518.（ 1）證明： 在中， ，當 為 的中點時，平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 平面 平面 （2）如圖，分別以射線， 的方向為

43、 ， 軸的正方向，建立空間直角坐標系設 ，則 ， ， ， ， ，平面 平面當且僅當時， 最小，此時 ，設 ， 平面 ，則，即令 ，可得 ， ，則有觀察可得二面角 的平面角19.（1）取 FE的中點 P，連接 CP交BE于點 M ， M點即為所求的點 連接PG ， G是AD的中點， P是FE的中點， PG/AF， 又 PG 平面 MGC ， AF 平面 MGC ，所以直線 AF / / 平面 MGC ，BM BC PE/AD， AD/BC，PE/BC，2，ME PE故點 M 為線段 BE上靠近點 E 的三等分點(2)不妨設 AD 2 ，由( 1)知 PG AD，又平面 ADEF 平面 ABCD

44、，平面 ADEF I 平面 ABCD AD ，PG 平面 ADEF ， PG 平面 ABCD 故 PG GD ， PG GC ，以 G 為坐標原點， GC ， GD ， GP 分別為 x ， y ， z 軸建 立空間直角坐標系 G xyz ， ABC 60 ， AB AD 2AF ， ADC 為正三角形， GC 3 ，uuur uuur G(0,0,0) ，C( 3,0,0) ， D (0,1,0) ， E(0,1,1) ， GE (0,1,1) ， GC ( 3,0,0) ， ur ur uuur ur uuur y z 0,設平面 CEG的一個法向量 n1 (x, y,z)，則由 n1 G

45、E 0，n1 GC 0可得3x 0, 令 y 1，則 unr1 (0,1, 1) ，uuur uuur uuurCD ( 3,1,0) BA，且 A(0, 1,0) ，故 B( 3, 2,0) ，故 BG ( 3,2,0) ，147ur uuur故直線 BG 與平面 GCE所成角的正弦值為 sin|urn1 BuGuur|n1| | BG|20.（）取 PC中點 H ，連接 EH、FH . E 為 AB 的中點， ABCD 是菱形，1AE/CD，且 AECD ，又F為PD的中點， H為PC的中點， FH /CD，21且FH CD ， AE / /FH ，且 AE FH ，則四邊形 AEHF是平

46、行四邊形，2 AF / /EH .又 AF 平面 PCE， EH 面 PCE， AF / /平面 PCE .（）取 BC的中點為 O， ABCD是菱形， AC AB， AO BC，以 A為原點，AO, AD, AP所在直線分別為 x,y,z 軸，建立空間直角坐標系 A xyz，則B 3, 1,0 ,C 3,1,0 ,D 0,2,0 ，O 3,0,0 ,P 0,0,1 ,E 3 , 1,0 ，22uuur uuur 3 3 uuur PC 3,1, 1 ,EC , ,0 ， AO 3,0,0 ，設平面的法向量為22n1x,y,z ，則uurCuuruuPuu1n平面 PCE 的一個法向量為03x

47、 y z 00，即 3 3 ，令 y 1，則 x 3,z 2 ， 03x 3 y 022n13, 1,2 ，又平面 PAD 的一個法向量為n21,0,0 . cos n1,n2n1 n2|n1| |n2 |33146.即平面 PAD與平面4PCE所成銳二面角的余弦值為21.解：( 1)證明：取 PD的中點 F，連接 EF,CF ，1因為 E,F分別是 PA,PD 的中點，所以 EF / / AD且EF 1 AD，2因為BC 1 AB, BC / / AD ，所以 EF/BC且EF BC，所以 BE / /CF ,2不妨設 BC 1，則P(0,0,0), A(0, 3,0),D(1,0,0),C

48、(1,0,1),B(12, 23 ,1) ，uuur uuur 1 3 uuuruuurPAuuurAB3y 01 3yx z 022PA (0, 3,0), AB (21 23,1),AD (1, 3,0),rn 設平面 PAB的一個法向量為 n (x,y,z) ，則 r n令 x 2，得 rn (2,0, 1) ， 同理可求平面 ABD 的一個法向量為ur r urm (3, 3,0) cos n,mr urn m 6nr mur5 1215 ，5，平面 ABD 和平面 ABC為同一個平面，所以二面角 P AB C 的余弦值為 15522.解：（ ）證明：因為二面角 S AB C的大小為 90°，則 SA AD ，又 SA AB ，故 SA平面 ABCD ，又 BD 平面 ABCD ，所以 SA BD ；在直角梯形 ABCD 中，BAD ADC 90 ，AD 2CD 1， AB 2 ，所以 tan ABD tanCAD 1 ，又 DAC2BAC 90 ，所以