《37點到平面的距離》同步練習

1、 3.7 點到平面的距離同步練習基礎達標（限時 20分鐘）1若 O 為坐標 原點， OA (1， 1， 2)，OB (3，2，8)， OC (0， 1，0)，則線段AB的中點 P 到點 C 的距離為()A.165B2 142C. 53D.5321 33 ，PCOC OP ( 2，1解析由題意 OP2(OA OB) 2， 2，2， 3)，PC |PC|1 53 4 49 2 .答案D2如右圖，正方體 ABCD A1B1C1D 1 的棱長為1，O 是底面 A1B1C1D 1 的中心，則 O 到平面 ABC1D1 的距離是()12A. 2B.423C. 2D. 2解析以 D 為坐標原點，以DA，DC

2、 ，DD 1 所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，則有D1(0， 0， 1)，D (0， 0，0)， A(1， 0， 0)，B(1， 1， 0)，A1(1， 0， 1)， C1(0， 1，1， 1， 0 ，設平面 ABC1D1 的法向量1). 因 O 為 A1C1 的中點，所以 O1，1， 1 ， C1O2222n·AD 1 0，即 x z 0，取 n (1， 0，1) ，為 n (x， y， z)，則有y 0，n·AB 0，1 O 到平面 ABC1D 1 的距離為： d|C1O·n| 22.|n|24答案B3在直角坐標系中，設 A( 2， 3)，

3、B(3， 2)，沿 x 軸把直角坐標平面折成120 °的二面角后，則 A、 B 兩點間的距離為()A2 11B. 11C. 22D3 11解析如圖， AB AE EF FB ，AB 2 AE 2 EF 2 FB 2 2AE·EF 2AE ·FB 2EF·FB AE 2 EF 2 FB 2 2AE·FB1 9 25 4 2×3×2× 44.2 |AB| 2 11.答案 A4已知正方體 ABCD A1B1C1 D1 的棱長是1，則直線 DA 1 與 AC 間的距離為 _答案335若平面 的一個法向量為 u1 ( 3，

4、y， 2)，平面 的一個法向量為u2(6， 2，z)，且 ，則 y z _解析 ， u1 u2.y 2 6 2 z. y 1， z 4. y z 3.3答案 36如圖所示，已 知四邊形 ABCD 、 EADM 和 MDCF 都是邊長為 a 的正方形，點P、Q分別是 ED 和 AC 的中點，求： (1)PM 與 FQ所成的角；(2)P 點到平面 EFB 的距離解建立空間直角坐標系，使得D (0，0， 0)， A(a， 0， 0)， B(a，a， 0)， C(0，a， 0)，a， 0， a ， Q a， a， 0 ，M(0， 0，a)， E(a， 0， a)， F(0， a，a)，則由中點坐標公式

5、得 P 222 2(1)所以 PM a， 0，a， FQ a， a， a ，2222 aaa×(a)3 2，PM·FQ2× 024a2且|PM| 262 a， |FQ |2 a，PM·FQ 3a23PM，F(xiàn)Q4所以|PM|FQ|262，2 a×2 a故得兩向量所成的角為150°.(2)設 n( x， y， z)是平面 EFB 的單位法向量，即|n| 1， n平面 EFB ，所以 n EF ，且 n BE，又 EF ( a，a， 0)，3，222 1，x 3x y z3 ax ay 0，BE (0 ， a ， a) ， 即 由得其中的一

6、組解是y 3， n ayaz 03z 3，3， 3， 3 ， PE a， 0， a ，333223設所求距離為d，則 d |PE·n| 3 a.綜合提高（限時 25分鐘）7如圖所示，在直二面角 D AB E 中 ，四邊形 ABCD 是邊長為2 的正方形， AEB是等腰直角三角形，其中AEB90°，則點 D 到平面 ACE 的距離為()3B.23A. 33C. 3D2 3解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0， 1，0)，E(1，0， 0)，D (0， 1，2)，C(0， 1， 2).AD (0， 0，2)， AE (1， 1， 0)，AC (0， 2， 2)，設平面AC

7、E 的法向量n (x， y， z)，n·AE 0，則n·AC 0.xy 0，即2y2z 0.令 y 1， n ( 1， 1， 1)故點 D 到平面 ACE 的距離AD·n2 23d |n| | |3|3.答案B8已知正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為2，點 E 是 A1B1 的中點，則點A 到直線 BE的距離是()6545A.5B.5255C.5D. 5解析如圖所示， BA (2， 0， 0)，BE (1， 0， 2)， cos |BA·BE| 2 5，|BA |BE | 25 5 sin 1 cos225，5245A 到直線 BE 的距離 d

8、 |AB|sin 2×55.5答案B9在棱長為a 的正方體ABCD A1B1C1D1 中，點 A 到平面 A1BD 的距離為 _解析以 D 為空間直角坐標原點，以DA、 DC 、DD 1 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立坐標系，則D(0， 0， 0)， A(a， 0， 0)，B(a， a， 0)， A1 (a， 0， a)設 n(x，y， z)為平面 A1BD 的法向量，1 0，（x， y， z） ·（ a，0， a） 0，則有 n·DA即n·DB0，（x， y， z） ·（ a，a， 0） 0.xz0，令 x 1， n (1， 1

9、， 1)xy 0，點 A 到平面 A1BD 的距離|DA ·n| a 3d|n|33 a.答案33 a10在正方體 ABCD A1B1C1D 1 中，棱長為 2， E 為 A1B1 的中點，則異面直線D1E 和BC1 間的距離是 _解析如圖所示建立空間直角坐標系，設 n 為異面直線D1E 與 BC1 公垂線的方向向量，并設 n (x， y，z)，n·BC1 0，則有n·D1E 0，易求得 n (1， 2， 1)，|（ 0， 2， 0） ·（ 1， 2， 1）| d|D1C1·n|42 6|n|1 4163 .答案263111邊長 為 1 的正方

10、體ABCD A1B1C1 D1 中，E、F 分別為 BB1、CC 1 的中點， DG 3DD 1，過 E、 F、 G 的平面交 AA 1 于點 H，求 A1D1 到面 EFGH 的 距離解如圖，以點D 為坐標原點，分別以DA、DC 、 DD 1 所在直線為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系，則 E 1，1，1，F(xiàn) 0，1，1，221G 0， 0， 3 ， D1(0， 0，1)EF ( 1， 0，0)， FG 0， 1， 1，6設平面 EFGH 的法向量 n (x， y，z)，則 n·EF 0 且 n·FG 0， x0，即1y 6z 0.令 z 6，可得 n (0， 1， 6)1|D1F·n| 437.又 D1F (0，1， ) ， d372|n|又 A1D 1平面 EFGH A1D1 到平面 EFGH 的距離為 4 37. 3712 (創(chuàng)新拓展 )已知 ABCD A1B1C1D 1 是底面邊長為1 的正四棱柱， O1 是 A1C1 與 B1D 1的交點若點 C 到平面 AB1 D1 的距離為 4，求正四棱柱ABCD A1B1C1D1 的高 h.3解建立如圖所示的坐標系，則A(0，0 ， h)， B1(1，0，0) ， C(1 ，1，h)，D 1(0，1， 0) AB1(1， 0， h