探究等邊三角形性質(zhì)和判定

1、    探究等邊三角形性質(zhì)和判定    向鷗摘 要：數(shù)學(xué)因其學(xué)科特點(diǎn)，是一門具有很強(qiáng)邏輯性、抽象性、系統(tǒng)性的學(xué)科.而數(shù)學(xué)中的幾何部分邏輯性、抽象性、系統(tǒng)性更強(qiáng)，解決幾何問題不能僅僅依靠單純的模仿與記憶，而是要促使學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、合作交流與自主探索.提出適當(dāng)?shù)膯栴}.幾何的綜合性非常強(qiáng)，它所需要的不僅僅是當(dāng)下所學(xué)習(xí)的幾個(gè)定理，還會(huì)用到以前所學(xué)到的知識點(diǎn)，多個(gè)知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用確實(shí)需要學(xué)生會(huì)思考，會(huì)假設(shè)，會(huì)論證，會(huì)總結(jié).下面我以等邊三角形的判定，性質(zhì)的綜合運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生思考，假設(shè)，論證，總結(jié).關(guān)鍵詞：等邊三角形性質(zhì)；等邊三角形判定等邊三角形的性質(zhì)和判定定理等邊三角

2、形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.等邊三角形的判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形的判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用如圖，等邊三角形abc中，d是ab上的動(dòng)點(diǎn)，以cd為一邊，向上做等邊三角形edc，連接ae.求證：acebcd；aebc.思路分析：（1）根據(jù)abc和edc是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三條邊相等和等邊三角形的三個(gè)角相等，求證ace=bcd.然后即可證明結(jié)論。（2）根據(jù)acebcd，可得abc=cae=60°，利用等量代換求證cae=

3、acb即可。證明：（1） abc和edc是等邊三角形 acb=dce=60°ac=bc，dc=ec又 bcd=acb-acdace=dce- acd bcd=ace acebcd（2） acebcd abc=cae=60°又 acb=60° cae=acb aebc此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線的判定等知識點(diǎn)的理解和掌握.然而此題當(dāng)中還有一個(gè)陷阱，學(xué)生往往看到動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)字會(huì)感到非常害怕，不想思考，甚至不想再往后面讀題。但是這道題跟動(dòng)點(diǎn)沒有關(guān)系.此題不僅僅培養(yǎng)學(xué)生在綜合題型上的分析能力，還能讓學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分真假陷阱.此題難易程度適中，比

4、較具有典型性.如圖，等邊三角形abc中，acb和abc的平分線相交于點(diǎn)o，ob、oc的垂直平分線分別交bc于e、f，連接oe、of.求證：oef是等邊三角形思路分析：從題目條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求oef=ofe=60°，從而證明oef是等邊三角形.證明： e、f分別是線段ob、oc的垂直平分線上的點(diǎn) oe=be，of=bf obe=boe，ocf=cof abc是等邊三角形 abc=acb=60°又 ob、oc分別平分，acb和abc obe=boe=ocf=cof=30° oef=ofe=60° eof=180°-2×60&

5、#176;=60° oef是等邊三角形.證明一個(gè)三角形是等邊三角形，要根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒?（1）如果已知三邊關(guān)系，則選擇等邊三角形的定義來判定；（2）若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來判定；（3）若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定。然而這個(gè)題的綜合性比較強(qiáng)，不僅僅用到了等邊三角形的性質(zhì)和判定，還用到了角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，最容易讓學(xué)生忽略的還是三角形的外角性質(zhì).圖形中的隱含已知條件往往是學(xué)生不容易關(guān)注到的. 如圖，已知點(diǎn)d為等腰rtabc內(nèi)一點(diǎn)，cad=cbd=15°，e位ad延長線

6、上一點(diǎn)，且ce=ca.（1）求證：de平分bdc（2）若點(diǎn)m在de上，且dc=dm，求證：me=bd思路分析：（1）此題在第一問中解答方法不止一種，這里簡單介紹兩種方法.方法一：由abc為等腰直角三角形可得ac=bc，cab=cba=45°，由cad=cbd=15°可得dab=dba=30°，從而得到da=db，利用三角形的外角性質(zhì)可得bde=60°.用ac=bc，da=db，cd為公共邊可得acdbcd，通過全等三角形的性質(zhì)可得acd=bcd=45°，再次利用三角形的外角性質(zhì)可得cde=60°，從而證明出de平分bdc.證明：（1）

7、 abc為等腰直角三角形 ac=bc，cab=cba=45°，acb=90° cad=cbd=15° dab=dba=30° da=db在acd和bcd中， acdbcd acd=bcd=45°又 bde=dab+dba=60°cde=dac+acd=60° bde=cde =60° de平分bdc（2）連接mc dc=dm，cde=60° cdm是等邊三角形 cd=cm，cmd=60° cme=120°又 bdc=bde+cde=120° cme=bdc=120° ce=ca cad=e=15° cad=cbd=15° e=cbd=15°在ecm和bcd中，ecmbcdme=bd此題綜合性非常強(qiáng)，不僅僅用到了等邊三角形的性質(zhì)和判定，還用到了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”和性質(zhì)“三線合一”，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì).因此此題難度很大.而本題的一題多解，相同的條件，相同的問題，多樣的方法，極大的觸動(dòng)了學(xué)生，豐富了他們的思維，激發(fā)了他們不斷探索的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分