正弦定理與余弦定理

1、曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目：體現(xiàn)在2013年高考數(shù)學(xué)中的正弦定理與余弦定理的具體應(yīng)用 作者、學(xué)號：李晶晶 2010111242學(xué)院、年級：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2010級學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：丁雪梅 完 成 日 期：2014年5月28日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處正弦定理與余弦定理在解2013年高考數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用摘 要正弦定理指出，在一個三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值等于該三角形的外接圓的直徑。余弦定理指出三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。利用正弦定理和余弦定理解斜三角形是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一,解斜三角形不

2、僅有實(shí)際應(yīng)用意義,還由于它要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識解決幾何問題和實(shí)際問題,有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。該文探討了正弦定理和余弦定理在2013年高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生加深對正弦定理與余弦定理的理解。 關(guān)鍵詞:正弦定理；余弦定理；解三角形Sine Theorem and Cosine Theorem in Applications of Solving Mathematical Problems in the 2013 College Entrance ExaminationAbstract :Sine theorem pointed

3、out that in a triangle,their respective sides of the sine of the angle ratio is equal to,and the ratio is equal to the diameter of the circumcircle of the triangle.Cosine theorem noted that either side of the triangle is equal to the other sides of the square, and the square of the product of minus

4、two times the angle between these two sides of their cosine.Sine theorem and cosine theorem use solution oblique triangle is one of the key middle school mathematics .Solution oblique triangles not only practical significance,but also because it requires students to integrated use sine theorem and c

5、osine theorem and angles of a triangle theorem and basic knowledge and practical problems to solve geometric problems .Ability to help students analyze and solve the problem.This paper discusses the application of sine theorem and cosine theorem entrance in 2013 in mathematical problem solving can h

6、elp students deepen the understanding of the law of sines and the law of cosines.Key words: sine theorem; cosine theorem;solve triangles problems目 錄1 引言12 文獻(xiàn)綜述22.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀22.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價(jià)22.3 提出問題33 體現(xiàn)在2013年高考數(shù)學(xué)中的正弦定理與余弦定理的具體應(yīng)用33.1 解斜三角形中邊與角的問題33.2 正弦定理、余弦定理與其它知識的綜合應(yīng)用164 結(jié)論194.1 主要發(fā)現(xiàn)194.2 啟示204.3 局限性2

7、04.4 努力方向20 參考文獻(xiàn)211 引言三角形的三條邊和三個角是三角形的六個基本元素,已知其中三個元素,至少有一條邊,可以求出其它三個元素,這六個元素在某種程度上是相互制約和相互依賴的,因此,這六個元素不是彼此完全獨(dú)立的1.歷年來高考數(shù)學(xué)中對三角函數(shù)等支撐高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系的主干內(nèi)容做到了重點(diǎn)考察,這類主干知識均以解答題的形式出現(xiàn),并都達(dá)到了一定的考察深度.因此解斜三角形在高考數(shù)學(xué)中占有一席之位,主要以選擇題,填空題的形式考查了學(xué)生對正弦定理與余弦定理的掌握以及三角函數(shù)的應(yīng)用能力2.正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用成為歷年高考數(shù)學(xué)中的必考問題之一,讓學(xué)生綜合應(yīng)用正弦定理和余弦定理,以及三角形內(nèi)角

8、和定理等眾多基礎(chǔ)知識解決相關(guān)問題,有助于學(xué)生掌握知識和培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 定理1(正弦定理)在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即,其中為外接圓的半徑. 正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系,由正弦函在區(qū)間上的單調(diào)性可知,正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系3.正弦定理有如下變式： ; 利用正弦定理可以解以下兩類三角形： （1）已知兩角和任意邊,求其它兩邊和一角. （2）已知兩邊和其中一邊所對的角,求其它兩角和一邊,其可能解有兩解、一解或無解的情況. 定理2（余弦定理）三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的

9、夾角的余弦的積的兩倍,即 已知三角形的三邊確定三角形的角的問題,可由余弦定理得到如下結(jié)論：,. 余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例4.2 文獻(xiàn)綜述2.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)1-15中,文獻(xiàn)1由三角形的邊角關(guān)系引申出正弦定理與余弦定理在解斜三角形中的重要作用;文獻(xiàn)2在引出正弦定理和余弦定理的同時,用平面向量的知識做了證明;文獻(xiàn)3-6從解題方法上歸納了正弦定理與余弦定理在解三角形中的一些具體應(yīng)用,多做多練,從中歸納出解三角形的公式的靈活應(yīng)用,并找出一些規(guī)律;文獻(xiàn)7分析了斜三角形中的三條邊和三個角的關(guān)系,根據(jù)條件利用正弦定理和余弦定理來求三角形中的未知元素,通過對數(shù)學(xué)問

10、題的探討,一題多解,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神;文獻(xiàn)8-13分析并羅列出正弦定理與余弦定理在解三角形中易出現(xiàn)的錯誤,并對知識點(diǎn)作了詳細(xì)的分析;文獻(xiàn)14對本年和歷年高考真題進(jìn)行匯總,是本文例題的主要來源,也是歷年高考數(shù)學(xué)中的常用訓(xùn)練工具書.文獻(xiàn)15作為高考基礎(chǔ)知識輔導(dǎo)書,歸納和總結(jié)了歷年來解三角形中正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式等.2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價(jià)現(xiàn)查閱到國內(nèi)外文獻(xiàn)關(guān)于正弦定理與和余弦定理都有較為深入的研究,強(qiáng)調(diào)了正弦定理和余弦定理是必須掌握的一個知識點(diǎn),并能在解三角形問題中充分應(yīng)用.文獻(xiàn)中主要從正弦定理與余弦定理的公式推導(dǎo)、變形、求值、化簡多樣化,

11、對學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理與余弦定理有一定的幫助.2.3 提出問題高考數(shù)學(xué)的命題主要以考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,以解三角形,判斷三角形的形狀為主,命題形式一般為選擇題,難度較大的填空題,也可能是中難度的解答題,主要涉及三角形的誘導(dǎo)公式,三角形的基本性質(zhì),三角函數(shù)與解斜三角形的綜合應(yīng)用.解斜三角形不僅有實(shí)際應(yīng)用的意義,還要求綜合應(yīng)用正弦定理、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識解決幾何問題和實(shí)際問題.本文在查閱資料的基礎(chǔ)上,探討正弦定理與余弦定理在2013年高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.3 體現(xiàn)在2013年高考數(shù)學(xué)中的正弦定理與余弦定理的具體應(yīng)用3.1 解斜三角形中邊與角的問題正弦定理與余弦定理是聯(lián)系三

12、角形中邊與角的關(guān)系的重要公式5,在解決代數(shù)、幾何、三角形的綜合習(xí)題及一些實(shí)際問題,有著廣泛的應(yīng)用,也是解斜三角形的主要工具,選擇正確的定理解答才是解決問題的關(guān)鍵,通過對正弦定理與余弦定理本身的理解,對其變形式子的扎實(shí),熟練的掌握,并形成技巧,才能在高考中做到迎難而解.利用正弦定理和余弦定理解三角形有下列四種類型6: (1)已知一邊和兩角（這一邊可以是已知角的對邊,也可以是兩角的夾角）,求其它兩邊和另一角. (2)已知兩邊及其夾角,求其它兩角和另一邊. (3)已知兩邊及其一邊的對角,求另外一邊和其它兩角. (4)已知三邊,求三角.在解三角形時,可以利用正弦定理與余弦定理,將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角,或

13、把角轉(zhuǎn)化為邊,或邊角一齊變,從而發(fā)現(xiàn)三角形中各元素之間的關(guān)系7.C 例1(2013年全國新課標(biāo)卷,理17）如圖1,在中, ,為內(nèi)一點(diǎn),. P 若求; AB 若求. 圖1 解 由已知得 ,所以 ,在中,由余弦定理可得,故 . 設(shè),由已知得,在中,由余弦定理得,化簡得 ,所以 , 即 . 例1是已知兩邊及其夾角,屬于類型（2）,由余弦定理即可求得要求的邊,而第二問由題意可知,已知兩角和一邊,利用正弦定理即可求得,屬于類型（1）. 例2(2013年全國新課標(biāo)卷,理17)在內(nèi)角、的對邊分別為、已知 求; 若,求面積的最大值. 解 因?yàn)?,由正弦定理 ,由這兩個公式可知 ,-又因?yàn)?, 故 . - 因?yàn)?/p>

14、,得 .又因?yàn)?所以 . 的面積為 .由已知及余弦定理得,又因?yàn)?, 故 .當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因此,面積的最大值為 例2是由已知利用兩邊及兩邊的夾角,直接利用余弦定理求解屬于類型（3）,在解題中應(yīng)該注意公式的靈活運(yùn)用,用三角函數(shù)關(guān)系式找到()對應(yīng)的值. 例3(2013年全國大綱卷,理18)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是,且. 求 若求 解 因?yàn)?所以,由余弦定理可知,因此 . 由知 ,所以 , .故 或 因此 或 例3是已知兩邊及夾角,由余弦定理得出所求的角,再根據(jù)余弦定理求出中較小邊所對的銳角,再由內(nèi)角和定理求出第三邊,屬于類型（2）,公式的綜合應(yīng)用是本題的關(guān)鍵. 例4(2013年北京卷,理15)

15、在中, 求的值; 求的值. 解 因?yàn)?,所以在中,由正弦定理得 ,所以 , 所以 . 由知 ,所以 ,又因?yàn)?, 所以 ,所以 . 在中,所以 . 例4是根據(jù)三角函數(shù)公式的變形公式求出另一角,屬于類型（3）,正弦定理與余弦定理是等價(jià)的,凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也能求解,反之亦然8,只是解題過程的繁簡程度有所不同而已,因此,在我們的學(xué)習(xí)中,不能把正弦定理與余弦定理完全割裂開來,而要用一種聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待它們. 例5(2013年山東卷,理17)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別是,且 求的值; 求的值. 解 由余弦定理知,得 ,又因?yàn)?, 所以 , 解得 . 在中,有 ,由正弦定理得,因?yàn)?,所以

16、為銳角,有,因此 . 例5由已知兩邊及其一邊的對角,應(yīng)用余弦定理求出,再由正弦定理化為邊,屬于類型（3）,再由正弦定理得所求邊,具有一定的綜合性,往往需要綜合正弦定理和余弦定理一起來解. 例6(2013年江西卷,理16)在中,角所對的邊分別為,已知 求的大小; 若,求的取值范圍. 解 由已知得,即有 , 因?yàn)?所以 ,因?yàn)?所以 ,又因?yàn)?所以 . 由余弦定理,有 ,因?yàn)?,有 .又因?yàn)?于是 ,即 . 例6 是由已知兩邊及其夾角,直接利用余弦定理求解,屬于類型（2）. 例7(2013年湖北卷,理17)在中,角所對的邊分別是,已知 求角的大小; 若的面積,求的值. 解 由 ,得.即.解得 或（

17、舍去）,因?yàn)?所以 . 由 , 所以 .又由,知由余弦定理得,故,又由正弦定理得 例7是根據(jù)三角函數(shù)內(nèi)角和定理,并由已知兩邊及其夾角,求另一邊的值,屬于類型（2),在解三角形問題中,各類公式的綜合應(yīng)用必不可少. 例8(2013年重慶卷,理20)在中,內(nèi)角所對的邊分別是且 求; 設(shè)求的值. 解 因?yàn)?由余弦定理有,故 . 由題意得,因此 ,.因?yàn)?故 ,所以 ,又因?yàn)?,即 ,解得 ,綜上所述 ,故 或. 例8是根據(jù)已知條件,利用余弦定理化邊為角,通過三邊關(guān)系,轉(zhuǎn)化為已知三邊的關(guān)系,屬于類型（4）. 例9(2013年浙江卷,文18)在銳角中,內(nèi)角的邊分別為且 求角A的大小; 若求三角形的面積.

18、解 由 ,及正弦定理 ,得 ,因?yàn)锳是銳角,所以 .由余弦定理 ,得 ,又有 ,所以 .故的面積為. 例9是已知兩邊及一邊的對角,應(yīng)用正弦定理求出需要的求的角,屬于類型（3）,本題因?yàn)轭}目給出是銳角三角形,所以不必判斷的值進(jìn)行取舍,而應(yīng)用余弦定理就不存在這些問題（因?yàn)樵冢?,）上,余弦值所對的角是唯一的）,故用余弦定理求解較好. 例10(2013年福建卷,文21)在等腰直角三角形中,點(diǎn)在線段上, 若=,求的長; 若點(diǎn)在線段上,且問:當(dāng)取何值時,得面積最小?并求出面積的最小值. 解 在中,因?yàn)?由余弦定理得 ,得 .解得 或.設(shè),在中,由正弦定理得 ,所以 ,同理 ,.故因?yàn)? ,所以當(dāng)時,的最

19、大值為1,此時的面積取到最小值,即時,的面積的最小值為 例10已知兩邊及其夾角,直接應(yīng)用公式求解,屬于類型（4),余弦定理中邊長是平方關(guān)系,因此,利用余弦定理求邊長,實(shí)質(zhì)是解一元二次方程.解題時,應(yīng)根據(jù)已知條件對方程的根進(jìn)行取舍. 例11(2013年江西卷,文17)在中角的對邊分別為,已知 求證:成等差數(shù)列; 若求的值. 解 由已知得 ,因?yàn)?所以 ,由正弦定理有 .即成等差數(shù)列.由 .得 , 即有 ,所以 . 例11是通過已知條件用正弦定理化角為邊,再通過三邊關(guān)系的出所需結(jié)論,屬于類型（4). 例12(2013年湖北卷,文18)在中,角對應(yīng)的邊分別為,已知 求角的大小; 若的面積求的值. 解

20、 由 ,得 ,即 ,解得 或（舍去）.因?yàn)?所以. 由 ,得 ,又 ,知 ,由余弦定理得,故 .又由正弦定理得. 例12根據(jù)兩邊及其一邊的對角,由余弦定理可以邊角轉(zhuǎn)化為角得關(guān)系,屬于類型（2）,因?yàn)橛嘞叶ɡ碇羞呴L是平方關(guān)系,得根據(jù)已知條件對方程的根進(jìn)行舍取9. 例13(2013年全國大綱卷,文15)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且 求; 若求. 解 因?yàn)?,所以 ,由余弦定理得 ,因此 .所以 由知 ,故 或.因此 或. 例13是已知三邊屬于類型（4）,通過三邊關(guān)系,由余弦定理即可求出三邊所對的角. 例14(2013年天津卷,文16)在中,內(nèi)角所對的邊分別是,已知 求的值; 求的值. 解 在中,由 ,

21、可得 ,又由 ,可得 ,因?yàn)?,故 .由 .可得 , 由 ,得 .,所以 .例14已知兩邊和夾角,屬于類型（2）,由余弦定理,要求的邊即可求解.3.2 正弦定理、余弦定理與其它知識的綜合應(yīng)用以三角形為載體,以正弦定理與余弦定理為工具,以三角形恒等變換為手段來考查解三角形問題是近幾年高考數(shù)學(xué)中的一類熱點(diǎn)問題.此類問題主要有兩種:一是與三角函數(shù)結(jié)合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及三角恒等變換;二是與平面向量,尤其是與向量的數(shù)量積結(jié)合考查平面向量知識.在解決這兩種問題時,除了熟練使用正弦定理與余弦定理外,也要根據(jù)條件,合理選用三角函數(shù)工具達(dá)到簡化解題的目的.同時,還要注意與三角函數(shù)、平面向量等知識相聯(lián)系,

22、將新知識融入到已有的知識體系中,從而提高綜合應(yīng)用知識的能力. 例15(2013年四川卷,理17)在中,角的對邊分別為,且. 求的值; 若求向量在方向上的投影. 解 由 ,得 ,即 ,則 . 由 （）,得 ,由正弦定理可知 ,所以 ,由題意知,則有,故.根據(jù)余弦定理有,解得或（舍去）.故向量在方向上的投影為. 應(yīng)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.用數(shù)學(xué)知識求解實(shí)際問題時,往往需要把實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)的代數(shù)式子或幾何圖形中來10.A 例16（2013年江蘇卷,文18)如圖2所示,游客從某旅游景點(diǎn)處下山至處有兩種路程,一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,

23、然后從沿直線步行到,現(xiàn)在有甲,乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從乘纜車到,在處停留1min后,再從勻速步行到,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動得速度為130m/min,山路長為1260m,經(jīng)測量 求索道的長;B 問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲得距離最短? 為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？圖2C解 在中,因?yàn)?, ,所以 , ,從而 , 由正弦定理,得 .所以索道的長為1040m.假設(shè)乙出發(fā)分鐘后,甲、乙兩游客距離為,此時甲走了()m,乙距離處130m,所以由余弦定理得,因,即,故當(dāng)時甲乙兩游客距離最短. 由正弦定

24、理,得 , 乙從出發(fā)時,甲乙走了還需走710m才能到達(dá).設(shè)乙步行得速度為Vm/min,由題意得 ,解得 ,所以為使兩位游客在處互相等待得時間不超過3分鐘,乙步行得速度應(yīng)控制在（單位：m/min）范圍內(nèi). 例16主要考查正弦定理、余弦定理,二次函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦等基礎(chǔ)知識,考察數(shù)學(xué)閱讀能力和分析解決實(shí)際問題的能力.4 結(jié)論4.1 主要發(fā)現(xiàn)斜三角形的邊角關(guān)系以選擇題或填空題給出一個小題,或難度較小的解答題,斜三角形的邊角關(guān)系與解析幾何,立體幾何,實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來組成中檔題.歷年高考數(shù)學(xué)中最為突出的題型有:三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,三角函數(shù)的基本性質(zhì),三角恒等變換,三角函數(shù)的周

25、期性的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,三角形的邊角求值問題及平面向量,三角函數(shù)與解斜三角形的綜合應(yīng)用等.4.2 啟示以三角形為載體,以正弦定理、余弦定理為工具,以三角恒等變換為手段來考察解三角形問題時近幾年高考中的熱點(diǎn)題型,將三角函數(shù)與平面向量等知識相聯(lián)系,將新知識融入到已有的知識體系中,從而提高綜合應(yīng)用知識的能力.4.3 局限性 高考數(shù)學(xué)試題在不斷變化,高考數(shù)學(xué)中的解三角形問題也將隨之發(fā)生變化,本文僅對正弦定理與余弦定理在2013年高考數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進(jìn)行探討,有一定的局限性.4.4 努力方向在今后的學(xué)習(xí)和研究中將會不斷的深入探討,對高考數(shù)學(xué)中解斜三角形問題進(jìn)行歸納和分析,靈活應(yīng)用正弦定理與余弦定理作為

26、解三角形中的工具之一,以彌補(bǔ)本文的不足.參考文獻(xiàn)1張延良.中學(xué)生數(shù)理化不可不知的素材·高考數(shù)學(xué)M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008:79-81.2人民教育出版.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（必修5）數(shù)學(xué)M.北京:人民教育出社,2007:22-24.3薛金星.高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識手冊·數(shù)學(xué)M.北京:北京教育出版社,2008:393-394.4張泉.世紀(jì)金榜·高中學(xué)考一本全·數(shù)學(xué)M.西安:未來出版社,2012:315-317.5王金戰(zhàn),莊肅欽.輕松搞定高中數(shù)學(xué)·三角函數(shù)（新課標(biāo)）-“高考戰(zhàn)神”王金戰(zhàn)學(xué)習(xí)揭秘·輕 松高分助你過大關(guān)·數(shù)學(xué)可以這樣學(xué)M.北京:外語教育出版社,2010:67-71.6任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略·數(shù)學(xué)M.昆明:云南教育出版社,2013:165-167.7張彩霞.對解斜三角形中的一道例題的探討J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,（7）：275-277.8莊勝文.左講右練·