數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4北師大版：第二章平面向量4.1~4.2

1、 4平面向量的坐標(biāo)4.1平面向量的坐標(biāo)表示4.2平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來(lái). 知識(shí)點(diǎn)一平面向量的正交分解思考如果向量a 與 b 的夾角是 90 ，則稱向量a 與 b 垂直，記作ab.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？答案互相垂直的兩個(gè)向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底. 梳理把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示思考 1如圖，向量i，j 是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a

2、 與 i 的夾角是30 ，且 |a|4，以向量 i，j 為基底，如何表示向量a? 答案a23i 2j. 思考 2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，給定點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 (1，1)，則 a 點(diǎn)位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a (1，1)，則向量a的位置確定了嗎？答案對(duì)于 a 點(diǎn)，若給定坐標(biāo)為a(1，1)，則 a 點(diǎn)位置確定 .對(duì)于向量a，給定 a 的坐標(biāo)為a(1，1)，此時(shí)給出了a 的方向和大小，但因?yàn)橄蛄康奈恢糜善瘘c(diǎn)和終點(diǎn)確定，且向量可以任意平移，因此a 的位置還與其起點(diǎn)有關(guān)，所以不確定. 思考 3設(shè)向量 bc(1，1)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若將向量bc平移到 oa，則 oa的坐標(biāo)是多少？a點(diǎn)坐標(biāo)是多少？答案

3、向量 oa的坐標(biāo)為 oa (1，1)，a 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，1). 梳理(1)平面向量的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸， y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j 作為基底 .對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得 a xiyj.我們把實(shí)數(shù)對(duì) (x， y)叫作向量 a 的坐標(biāo)，記作a(x，y). 在平面直角坐標(biāo)平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0). (2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量 a (x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)a(x，y)中間沒有等號(hào)意義不同點(diǎn) a(x，y)的坐標(biāo) (x，y)表示點(diǎn) a 在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a

4、(x，y)的坐標(biāo) (x， y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外 (x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量 (x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè) i，j 是分別與x 軸， y 軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a (x1，y1)，b(x2， y2)，則 ax1i y1j，b x2iy2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab， a( r)如何分別用基底 i，j 表示？答案ab(x1x2)i(y1 y2)j，ab(x1x2)i (y1y2)j， ax1iy1j. 梳理設(shè) a (x1，y1)，b(x

5、2， y2)，a(x1，y1)，b(x2，y2). 數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述向量加、減法a b(x1 x2，y1 y2)向量和與差的坐標(biāo)分別等于各向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差向量數(shù)乘 a(x1，y1)實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積向量坐標(biāo)ab (x2x1，y2y1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)1.相等向量的坐標(biāo)相等.() 2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則向量 ab(x1x2，y1y2).() 提示ab(x2x1， y2 y1). 3.與 x 軸， y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為：i(1，0)，j(0，1).() 類型一平面向量的

6、坐標(biāo)表示例 1如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，oa4，ab3，aox45 ，oab105 ，oaa，abb.四邊形 oabc 為平行四邊形 . (1)求向量 a，b 的坐標(biāo)；(2)求向量 ba的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn) b 的坐標(biāo) . 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)解(1)如圖，作amx 軸于點(diǎn) m，則 omoa cos 45 42222，amoa sin 4542222. a(22，22)，故 a(22， 2 2). aoc180 105 75 ，aoy 45 ， coy 30 . 又ocab 3，c32，332，ab oc 32，3 32，即 b 32，332. (2)ba ab3

7、2，332. (3)oboaab(22，2 2) 32，3322 232， 2 2332. 反思與感悟在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、 點(diǎn)的坐標(biāo)的定義求坐標(biāo).一般利用不等式思想求解，即把問(wèn)題條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式 (組)，再解不等式 (組)就可以求得參數(shù)的取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練1已知邊長(zhǎng)為2 的正三角形abc，頂點(diǎn) a 在坐標(biāo)原點(diǎn)， ab 邊在 x 軸上，點(diǎn)c 在第一象限， d 為 ac 的中點(diǎn)，分別求向量ab，ac， bc，bd的坐標(biāo) . 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)解如圖，正三角形abc 的邊長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn) a(0，0)，b(2，0

8、)，c(2cos 60 ，2sin 60 )，c(1，3)，d12，32. ab(2，0)，ac(1，3)，bc (12，30)(1，3)，bd122，320 32，32. 類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 2已知 a(2，4)，b(3， 1)，c(3， 4).設(shè)aba，bcb，ca c. (1)求 3ab3c；(2)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m，n 的值 . 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的綜合問(wèn)題解由已知得a(5， 5)，b( 6， 3)，c(1，8). (1)3ab3c 3(5， 5) (6， 3)3(1，8)(1563， 15324)(6， 42). (2) mbnc(6mn

9、， 3m8n)a(5， 5)，6m n5，3m 8n 5，解得m 1，n 1.反思與感悟向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行. (2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算. (3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行. 跟蹤訓(xùn)練2已知 a(1，2)，b(2，1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b. 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解(1)2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3) (4， 7). (2)a3b(1， 2)3(2，1) (1，2)(6，3)(

10、7， 1). (3)12a13b12(1，2)13(2， 1)12，1 23，13 76，23. 類型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例 3已知點(diǎn) a(2，3)，b(5，4)，c(7， 10).若apab ac( r)，試求當(dāng) 為何值時(shí)：(1)點(diǎn) p 在第一、三象限的角平分線上；(2)點(diǎn) p 在第三象限內(nèi) . 考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)解設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (x， y)，則ap(x，y)(2，3)(x2，y3)，ab ac(5，4)(2，3) (7，10)(2，3)(3，1) (5，7)(35 ， 17 ). apab ac，x235 ，y 317 ，則x55

11、，y47 .(1)若點(diǎn) p 在第一、三象限的角平分線上，則 55 47 ， 12. (2)若點(diǎn) p 在第三象限內(nèi)，則55 0，47 0， 1. 反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來(lái)，建立方程(組 )求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用. (2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值. 跟蹤訓(xùn)練3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(2，1)，b(1，3)，c(3，4)，求點(diǎn) d 的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn). 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向

12、量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)解當(dāng)平行四邊形為abcd 時(shí)，設(shè) d(x，y)，由ab(1，2)，dc(3x，4y)，且abdc，得 d(2，2). 當(dāng)平行四邊形為acdb 時(shí)，設(shè) d(x，y)，由ab(1，2)，cd(x3，y4)，且 abcd，得 d(4，6). 當(dāng)平行四邊形為acbd 時(shí)，設(shè) d(x，y)，由ac(5，3)，db(1x， 3y)，且 acdb，得 d(6， 0)，故 d 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，2)或(4， 6)或 (6，0). 1.設(shè)平面向量a (3，5)，b (2，1)，則 a2b等于 () a.(7，3) b.(7，7) c.(1，7) d.(1，3) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面

13、向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案a 2.已知向量 oa(3， 2)， ob(5， 1)，則向量12ab的坐標(biāo)是 () a.4，12b. 4，12c.( 8，1) d.(8，1) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)答案a 解析 aboboa (8，1)，12ab 4，12. 3.已知四邊形abcd 的三個(gè)頂點(diǎn)a(0，2)，b(1，2)，c(3，1)，且 bc2ad，則頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 () a. 2，72b. 2，12c.(3，2) d.(1，3) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)答案a 解析設(shè) d 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x， y)，則 bc(4， 3)，ad(x，y2)，由bc2ad，得4 2x，32 y2

14、 ，x2，y72，d 2，72. 4.已知點(diǎn) a(0，1)，b(3，2)，向量 ac(4， 3)，則向量 bc等于 () a.( 7， 4) b.(7，4) c.(1，4) d.(1， 4) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案a 解析ab(3，1)，ac(4， 3)，bcac ab( 4， 3)(3，1)(7， 4). 5.如圖，在 66 的方格紙中， 若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a， b， c 滿足 cxayb(x， yr)，則 xy. 考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案197解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則可得 a(1

15、， 2)，b(2， 3)，c(3，4). cxayb，3x2y，42x3y，解得x177，y27.因此 xy197. 1.向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù).向量的坐標(biāo)表示，溝通了向量“數(shù)”與“ 形”的特征，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化. 2.要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo).由于向量的起點(diǎn)可以任意選取，如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo)；若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，若a(xa，ya)，b(xb，yb)則ab(xbxa，ybya). 3.向量和、差的坐標(biāo)就是它們對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差，數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這

16、個(gè)實(shí)數(shù)與原來(lái)向量坐標(biāo)的積. 一、選擇題1.已知向量a (1，2)，b (1，0)，那么向量3ba 的坐標(biāo)是 () a.( 4，2) b.(4， 2) c.(4，2) d.(4， 2) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案d 解析3ba 3(1，0)(1， 2) (3，0)(1，2)(31，02)(4， 2)，故選 d. 2.已知 a12b (1， 2)，ab(4， 10)，則 a等于 () a.( 2， 2) b.(2，2) c.( 2，2) d.(2， 2) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案d 3.已知向量a (1， 2)，b(2， 3)， c(3，4)，且 c

17、1a2b，則 1，2的值分別為 () a.2，1 b.1， 2 c.2， 1 d.1，2 考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案d 解析由1223，21324，解得1 1，22.4.在?abcd 中，已知 ad(3，7)，ab(2，3)，對(duì)角線 ac，bd 相交于點(diǎn)o，則co的坐標(biāo)是() a.12， 5b. 12， 5c.12， 5d.12，5考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案b 解析co12ac12(abad)12(2，3)12(3，7) 12， 5 ，故選 b. 5.如果將 oa32，12繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120 得到 ob，則 ob的

18、坐標(biāo)是 () a. 12，32b.32，12c.( 1，3) d. 32，12考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)答案d 解析因?yàn)?oa32，12所在直線的傾斜角為30 ， 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120 得到 ob所在直線的傾斜角為150 ，所以 a，b 兩點(diǎn)關(guān)于y 軸對(duì)稱，由此可知b 點(diǎn)坐標(biāo)為32，12，故ob的坐標(biāo)是32，12，故選 d. 6.若 ，是一組基底，向量 x y (x，yr)，則稱 (x，y)為向量 在基底 ，下的坐標(biāo) .現(xiàn)已知向量a 在基底p (1， 1)，q (2，1)下的坐標(biāo)為(2，2)，則 a 在另一組基底m( 1，1)，n(1，2)下的坐標(biāo)為 () a.(2，0

19、) b.(0， 2) c.( 2，0) d.(0，2) 考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案d 解析 a 在基底 p，q下的坐標(biāo)為 (2，2)，a 2p2q 2(1， 1)2(2，1)(2， 4). 令 axmyn( xy，x 2y)，x y2，x2y4，解得x0，y2，a 在基底 m，n 下的坐標(biāo)為 (0， 2). 7.設(shè)向量a (1， 3)，b(2，4)，c(1， 2)，若表示向量4a，4b2c， 2(ac)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d 為() a.(2，6) b.(2， 6) c.(2， 6) d.( 2， 6) 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)

20、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案d 解析由題意知4a4b2c2(ac)d 0，d 6a4b 4c 6(1， 3)4(2，4)4(1， 2) (684，18168) (2， 6). 二、填空題8.已知 a(1， 2)，b(2， 3)，c(2， 0)，d(x， y)，且 ac2bd，則 xy. 考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案112解析 ac(2， 0) (1， 2)( 1，2)，bd(x，y)(2，3)(x2，y3)，又2bd ac，即 (2x4，2y6)( 1，2)，2x4 1，2y62，解得x32，y 4，xy112. 9.已知點(diǎn) a(4，0)，b(4，4)，c(

21、2，6)，則 ac 與 ob 的交點(diǎn) p 的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(3， 3) 解析方法一由 o，p，b 三點(diǎn)共線，可設(shè)op ob(4 ，4 )，則apopoa(4 4，4 ). 又acocoa(2，6)，由 ap與ac共線，得 (4 4)64 (2)0，解得 34，所以 op34ob(3，3)，所以點(diǎn)p 的坐標(biāo)為 (3，3). 方法二設(shè)點(diǎn) p(x，y)，則 op(x，y)，因?yàn)?ob(4，4)，且 op與ob共線，所以x4y4，即 xy. 又ap(x4， y)，ac(2，6)，且 ap與ac共線，所以 (x4)6y(2) 0，解得 xy3，所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (

22、3，3). 10.已知點(diǎn) a(3， 4)與 b( 1， 2)， 點(diǎn) p 在直線 ab 上，且|ap|2|pb|，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案13，0 或(5，8) 解析設(shè)點(diǎn) p 坐標(biāo)為 (x， y)， |ap| 2|pb|. 當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ab 上時(shí)， ap2pb，即(x3，y 4)2(1 x，2y)，x3 22x，y442y，解得x13，y0.點(diǎn) p 的坐標(biāo)為13，0 . 當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ab 的延長(zhǎng)線上時(shí)，ap 2pb. (x3，y 4) 2(1x，2y)，即x322x，y 4 42y，解得x 5，y8.點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (5，8). 綜上所

23、述，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為13，0 或(5，8). 11.已知 a(2，3)，b(1，4)，且12ab(sin ，cos )， ， 2，2，則 . 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)答案6或2解析因?yàn)?2ab12(1，1)12，12(sin ，cos )，所以 sin 12且 cos 12，因?yàn)?， 2，2，所以 6， 3或3，所以 6或2. 三、解答題12.已知點(diǎn) a(1，2)，b(2，8)，且 ac13ab，da13ba，求點(diǎn) c，d 和cd的坐標(biāo) . 考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解設(shè) c(x1，y1)，d(x2， y2)，由題意可得 ac(x11， y12)，ab(3，6)，da( 1x2，2y2)，ba(3， 6). ac13ab，da13ba，(x1 1，y12)13(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)13(3， 6)(1，2)，則有x111，y122和1x21，2y22，解得x10，y14和x2 2，y20.c，d 的坐標(biāo)分別為(0，4)和(2， 0)， cd (2， 4). 13.已知點(diǎn) o(0，0)，a(1，2)，b(4，5)，且 opoa tab. (1)t 為何值時(shí)，點(diǎn)p 在 x軸上？點(diǎn)p 在 y 軸上？點(diǎn) p 在第二象限？(2)四邊形 oabp 能為平行四邊形