數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4北師大版：第二章平面向量7

1、 7向量應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線法向量的概念，掌握點(diǎn)到直線的距離公式.2.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題，力學(xué)問題及一些實(shí)際問題.3.進(jìn)一步體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具. 知識(shí)點(diǎn)一直線 l：axby c0 的法向量思考類比直線的方向向量的定義，思考與直線l 垂直的非零向量是否也是特殊向量？答案是，為直線的法向量. 梳理(1)與直線的方向向量垂直的向量稱為該直線的法向量. (2)若直線 l 的方向向量v(b， a)，則直線l 的法向量n(a，b)，與直線l 的法向量n 同向的單位向量n0n|n|aa2b2，ba2b2. 知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離公式思考n 為直線 l 的

2、法向量， p 為直線 l 上任一點(diǎn)，點(diǎn)m 是平面內(nèi)一定點(diǎn)且不在直線l 上，那么點(diǎn) m 到直線 l 的距離 d 與向量 pm，n 有怎樣的關(guān)系？答案點(diǎn) m 到直線 l 的距離 d 即為向量 pm在向量 n 方向上的射影的絕對(duì)值，即d|pm n|n|. 梳理若 m(x0，y0)是平面上一定點(diǎn)，它到直線l：axbyc0 的距離 d|ax0by0c|a2 b2. 知識(shí)點(diǎn)三向量方法解決平面幾何問題設(shè) a(x1， y1)，b(x2，y2)， a，b的夾角為 . 思考 1證明線線平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識(shí)？答案可用向量共線的相關(guān)知識(shí)：ab? a b? x1y2 x2y10(b0). 思考 2

3、證明垂直問題，可用向量的哪些知識(shí)？答案可用向量垂直的相關(guān)知識(shí)：ab? a b0? x1x2y1y20. 梳理(1)平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來. (2)向量方法解決平面幾何問題的步驟建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 . 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題. 把運(yùn)算結(jié)果 “翻譯 ” 成幾何關(guān)系 . 知識(shí)點(diǎn)四向量方法解決物理問題1.物理上力做功就是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，即w|f|s|cosf，s ，功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零.力

4、做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，它的實(shí)質(zhì)是向量f 與 s的數(shù)量積 . 2.向量方法解決物理問題的步驟(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. (2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型. (3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等. (4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題. 類型一平面向量在解析幾何中的應(yīng)用例 1已知 abc 的三個(gè)頂點(diǎn)a(0， 4)，b(4，0)，c(6，2)，點(diǎn) d，e，f 分別為邊bc，ca， ab 的中點(diǎn) . (1)求直線 de，ef，fd 的方程；(2)求 ab 邊上的高線ch 所在的直線方程. 考點(diǎn)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量求解直

5、線方程解(1)由已知得點(diǎn)d(1，1)，e(3， 1)，f(2， 2)，設(shè) m(x，y)是直線 de 上任意一點(diǎn)，則dmde. dm(x1，y1)，de(2， 2)，(2)(x1)( 2)(y1)0，即 xy2 0 為直線 de 的方程 . 同理可求，直線ef，fd 的方程分別為x5y8 0，xy0. (2)設(shè)點(diǎn) n(x，y)是 ch 所在直線上任意一點(diǎn)，則cnab. cn ab 0. 又cn(x6， y2)，ab(4，4)，4(x6)4(y2)0，即 xy4 0 為所求直線ch 的方程 . 反思與感悟利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算 . 跟蹤訓(xùn)練1在

6、 abc 中， a(4，1)， b(7，5)，c(4，7)，求 a 的平分線所在的直線方程. 考點(diǎn)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量求解直線方程解ab(3，4)，ac(8，6)，a 的平分線的一個(gè)方向向量為aab|ab|ac|ac|35，45 45，35 15，75. 設(shè) p(x，y)是角平分線上的任意一點(diǎn)， a 的平分線過點(diǎn)a，apa，又 ap(x4，y 1)，所求直線方程為75(x4)15(y1)0. 整理得 7xy290. 類型二用平面向量求解平面幾何問題例 2已知在正方形abcd 中， e， f 分別是 cd， ad 的中點(diǎn)，be， cf 交于點(diǎn) p.求證：(1)becf；(2)

7、apab. 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量解決垂直及相等問題證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)ab2，則 a(0，0)，b(2，0)，c(2，2)，e(1，2)，f(0，1). (1) be( 1，2)，cf( 2， 1)，be cf (1)(2)2 (1)0，becf，即 becf . (2)設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (x， y)，則 fp(x，y1)，fc(2，1)，fpfc， x2(y1)，即 x2y2. 同理，由 bpbe，得 y 2x4，由x2y2，y 2x4，得x65，y85，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為65，85. |ap|6528522|ab|，即 apab. 反思與感悟用向量證

8、明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟選取基底； 用基底表示相關(guān)向量；利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化. (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把相關(guān)向量坐標(biāo)化；用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化. 跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方形abcd 中，p 為對(duì)角線ac 上任一點(diǎn)， peab，pfbc，垂足分別為 e， f，連接 dp，ef，求證： dpef. 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量解決垂直問題證明方法一設(shè)正方形abcd 的邊長(zhǎng)為1，aea(0a1)，則 epae a，pfeb1a，ap2a，dp ef (da

9、ap) (eppf)da epda pf ap epap pf1a cos 180 1(1 a)cos 90 2aacos 45 2a(1a)cos 45 aa2a(1a)0，dpef，即 dp ef. 方法二如圖，以a 為原點(diǎn)， ab， ad 所在直線分別為x 軸， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方形abcd 的邊長(zhǎng)為1，ap (0 2)，則 d(0，1)， p22 ，22，e22 ， 0 ，f 1，22. dp22 ，22 1 ，ef 122 ，22，dp ef22 12212222 0，dpef，即 dp ef. 類型三向量在物理中的應(yīng)用例 3已知兩恒力f1 (3，4)，f2(6， 5

10、)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)a(20，15)移動(dòng)到點(diǎn)b(7，0). (1)求力 f1，f2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求力 f1，f2的合力 f 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功. 考點(diǎn)向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)向量與物體做功問題解(1)ab(7，0)(20，15)(13， 15)，w1 f1 ab (3，4) ( 13， 15)3(13) 4(15) 99，w2 f2 ab (6， 5) (13， 15)6 (13)(5)(15) 3. 力 f1，f2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為99 和 3. (2)wf ab(f1f2) ab(3，4)(6， 5) (13， 15)(9， 1) (13， 15) 9(13)( 1)

11、(15) 11715 102. 合力 f 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為102. 反思與感悟物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積. 跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)的三個(gè)力f1， f2，f3的作用，沿北偏東45 的方向移動(dòng)了 8 m，其中 |f1|2 n，方向?yàn)楸逼珫|30 ，|f2|4 n，方向?yàn)楸逼珫|60 ，|f3|6 n ，方向?yàn)楸逼?0 ，求合力f 所做的功 . 考點(diǎn)向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)向量與物體做功問題解以 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤 軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示. 則 f1(1，3)，f2(23， 2)，f3(3，33)，所以 f f1f2f3(232， 243).

12、又因?yàn)槲灰苨(4 2，42)，所以合力f 所做的功為wf s(232)42(243)424263 24 6(j). 即合力 f 所做的功為246 j. 1.已知在 abc 中，若 aba，acb，且 a b0，則 abc 的形狀為 () a.鈍角三角形b.直角三角形c.銳角三角形d.不能確定考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量判斷三角形形狀答案a 2.過點(diǎn) a(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直線方程為 () a.2xy70 b.2xy70 c.x2y40 d.x 2y4 0 考點(diǎn)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量求解直線方程答案a 解析設(shè) p(x，y)為直線上在一點(diǎn)，則apa

13、，即 (x2)2(y3)10，即 2xy70. 3.用兩條成120 角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具重10 n，則每根繩子的拉力大小為n. 考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量解決力的有關(guān)問題答案10 解析設(shè)重力為g，每根繩的拉力分別為f1，f2，則由題意得f1，f2與 g 都成 60 角，且 |f1|f2|，|f1|f2| |g|10 n，每根繩子的拉力都為10 n. 4.已知一個(gè)物體在大小為6 n 的力 f 的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m，且 f 與 s的夾角為 60 ，則力 f 所做的功wj. 考點(diǎn)向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)向量與物體做功問題答案300

14、解析w f s|f|s|cosf，s 6100cos 60 300(j). 5.一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測(cè)量，這一天水流速度為3 km/h，方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0 ，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h 的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向. 考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量解決速度有關(guān)問題解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1v2a.易求得 a 的方向是北偏東30 ，a 的大小是 3 km/h. 設(shè)船的實(shí)際航行速度為v，方向由南向北，大小為2 3 km/h.船本身的速度為v3，則 av3 v，

15、即 v3va，由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60 ，大小是3 km/h. 1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立平面直角坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo).這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明. 2.用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.

16、一、選擇題1.在 abc 中，已知a(4，1)，b(7，5)，c(4，7)，則 bc 邊的中線 ad 的長(zhǎng)是 () a.25 b.552c.35 d.7 52考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)求線段的長(zhǎng)度答案b 解析 bc 的中點(diǎn)為d32，6 ，ad 52， 5 ，|ad|552. 2.點(diǎn) o 是 abc 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， 滿足 oa obob ococ oa， 則點(diǎn) o 是 abc 的() a.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)b.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)c.三條中線的交點(diǎn)d.三條高的交點(diǎn)考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)平面向量與三角形的“心”答案d 解析 oa obob oc，(oaoc) ob

17、0，ob ca0，obac. 同理 oabc，ocab，o 為三條高的交點(diǎn). 3.已知非零向量 ab與ac滿足ab|ab|ac|ac| bc0 且ab|ab|ac|ac|12，則 abc 的形狀是 () a.三邊均不相等的三角形b.直角三角形c.等腰 (非等邊 )三角形d.等邊三角形考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量判斷三角形形狀答案d 解析由ab|ab|ac|ac| bc 0，得角 a 的平分線垂直于bc，abac. 而ab|ab|ac|ac| cosab，ac12，又 ab，ac 0， ， bac3. 故abc 為等邊三角形，故選d. 4.已知兩個(gè)力f1，f2的夾角為 90 ，它們

18、的合力大小為10 n，合力與f1的夾角為60 ，那么f1的大小為 () a.53 n b.5 n c.10 n d.52 n 考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量解決力的有關(guān)問題答案b 解析如圖，有 |f1|f|cos 60 1012 5(n). 5.已知作用在點(diǎn)a 的三個(gè)力f1(3，4)，f2(2， 5)，f3(3，1)，且 a(1，1)，則合力ff1f2f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為() a.(9，1) b.(1，9) c.(9，0) d.(0，9) 考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量解決力的有關(guān)問題答案a 解析ff1f2f3(3，4)(2， 5)(3，1)(8， 0)，設(shè)合力 f 的

19、終點(diǎn)為p(x，y)，則opoaf(1，1)(8，0)(9， 1). 6.已知點(diǎn) p 是 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若cb papb，其中 r，則點(diǎn) p一定在 () a.abc 的內(nèi)部b.ac 邊所在的直線上c.ab 邊所在的直線上d.bc 邊所在的直線上考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)三點(diǎn)共線問題答案b 解析 cb p apb，cbpb pa，cp pa，p，a， c 三點(diǎn)共線，點(diǎn) p 一定在 ac 邊所在的直線上. 7.(2018定遠(yuǎn)育才學(xué)校月考)河水的流速為5 m/s， 若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為() a.13 m/s b.12 m

20、/s c.17 m/s d.15 m/s 考點(diǎn)向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量解決速度有關(guān)問題答案a 解析設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2，v1與 v2的合速度為v，為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度 v 指向?qū)Π?，靜水速度 |v1|v|2|v2|21225213(m/s). 二、填空題8.已知在矩形abcd 中， ab2，ad1，e， f 分別為bc，cd 的中點(diǎn)，則 (aeaf) bd. 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)求向量的數(shù)量積答案92解析如圖，以ab 所在直線為x 軸，以 ad 所在直

21、線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 a(0，0)，b(2，0)，d(0，1)，c(2，1). e，f 分別為 bc，cd 的中點(diǎn)， e 2，12，f(1，1)，aeaf 3，32，bd(2，1)，(aeaf) bd3(2)32192. 9.已知直線axbyc0 與圓 x2y21 相交于 a，b 兩點(diǎn)，若 |ab|3，則 oa ob. 考點(diǎn)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)求向量的數(shù)量積答案12解析如圖，作odab 于點(diǎn) d，則在 rtaod 中， oa1， ad32，所以 aod60 ，aob 120 ，所以 oa ob|oa|ob| cos 120 11 1212. 10.一個(gè)重 20 n 的物體

22、從傾斜角為 ， 斜面長(zhǎng)為1 m 的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是 10 j，則 . 考點(diǎn)向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用題點(diǎn)向量與物體做功有關(guān)問題答案30解析 wgg s|g|s| cos(90 )201cos(90 )10 (j)，cos(90 )12， 30 . 三、解答題11.在等腰梯形abcd 中，已知 abdc，ab2，bc1， abc60 ，動(dòng)點(diǎn) e 和 f 分別在線段 bc 和 dc 上，且 be bc，df19dc，求 ae af的最小值 . 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)求向量的數(shù)量積解在等腰梯形abcd 中，由 ab2， bc1，abc60 ，可得 dc1，ae ab

23、 bc，afad19dc，ae af(ab bc) ad19dcab adab19dc bc ad bc19dc21 cos 60 219 11cos 60 19cos 120 2921718. 由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，ae af229217182918，當(dāng)且僅當(dāng)292，即 23或 23(舍)時(shí)，取得最小值2918. 12.如圖所示，在正三角形abc 中， d，e 分別是 ab，bc 上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)a，點(diǎn) b，ae，cd 交于點(diǎn) p.求證： bpdc. 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)用平面向量解決垂直問題證明設(shè) pd cd，并設(shè) abc 的邊長(zhǎng)為a，則有papdda cd13b

24、a23babc13ba13(2 1)ba bc，ea ba13bc. pa ea，13(2 1)ba bckba13kbc，于是有132 1 k， 13k，解得 17. pd17cd. cd23babc，bp bccpbc67cd17bc47ba從而 bp cd17bc47ba23babc821a217a21021a2cos 60 0，bpcd，bpdc. 13.如圖，已知平行四邊形abcd 的頂點(diǎn) a(0，0)，b(4，1)，c(6，8). (1)求頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)；(2)若 de2ec，f 為 ad 的中點(diǎn)，求ae 與 bf 的交點(diǎn) i 的坐標(biāo) . 考點(diǎn)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)解(1