高中數(shù)學選修4-5知識點

1、1 / 14 教版高中數(shù)學選修4-5 知識點1不等式的基本性質1實數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間具有一一對應關系(2)設 a、b 是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應的點分別是a、b.當點 a 在點 b 的左邊時， ab(3)兩個實數(shù)的大小與這兩個實數(shù)差的符號的關系(不等式的意義) ab? ab0ab? a b0ab? ab，b? bb，bc? ac；(3)可加性： ab，cr? acbc；(4)加法法則： ab，cd? acbd；(5)可乘性： ab，c0? acbc；ab，c0? acb0，cd0? acbd；(7)乘方法則： ab0，nn 且 n2? anbn；2 / 14 (8)開方

2、法則： ab0，nn 且 n2?nanb. （9）倒數(shù)法則，即ab0?1a0，那么2abab (ab2ab)，當且僅當ab 時，等號成立(2)定理 2 的應用：對兩個正實數(shù)x，y，如果它們的和s 是定值，則當且僅當xy 時，它們的積p 取得最大值，最大值為s24. 如果它們的積p 是定值，則當且僅當xy 時，它們的和s 取得最小值，最小值為2p. 3基本不等式abab2的幾何解釋如圖， ab 是 o 的直徑， c 是 ab 上任意一點，de 是過 c 點垂直 ab 的弦若ac a，bcb，則 aba b， o 的半徑 rab2，rt acd rt dcb，cd2ac bcab，cdab，cd

3、r?abab2，當且僅當c 點與 o 點重合時， cdrab2，即abab2. 4幾個常用的重要不等式(1)如果 ar，那么 a20，當且僅當a0 時取等號；(2)如果 a，b0，那么 ab（ab）24，當且僅當ab 時等號成立(3)如果 a0，那么 a1a 2，當且僅當a1 時等號成立3 / 14 (4)如果 ab0，那么abba2，當且僅當ab 時等號成立3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式1如果 a、b、cr，那么 a3b3 c3 3abc，當且僅當a bc 時，等號成立2 (定理 3)如果 a、 b、 cr， 那么33abcabc (abc33abc)， 當且僅當a bc 時，等號成立 即

4、三個正數(shù)的算術平均不小于它們的幾何平均3如果a1，a2， anr，那么a1a2 annna1a2 an，當且僅當a1a2 an時，等號成立即對于 n 個正數(shù) a1，a2， an，它們的算術平均不小于它們的幾何平均二絕對值不等式1絕對值三角不等式1絕對值與其幾何意義(1)絕對值定義：|a|a（ a0）a（a0）(2)絕對值幾何意義：實數(shù)a 的絕對值 |a|表示數(shù)軸上坐標為a 的點 a 到原點 o 的距離 |oa|. (3)數(shù)軸上兩點間的距離公式：設數(shù)軸上任意兩點a，b 分別對應實數(shù)x1，x2，則 |ab|x1x2|2絕對值三角不等式(1)定理 1：如果 a， b 是實數(shù)，則 |ab|a|b|，當

5、且僅當ab0 時，等號成立推論 1：如果 a，b 是實數(shù)，那么|a|b| |a b| |a|b|. 推論 2：如果 a，b 是實數(shù)，那么|a|b| |a b| |a|b|. (2)定理 2：如果 a， b，c 是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當 (a b)(b c) 0 時，等號成立2絕對值不等式的解法1|x|a 型不等式的解法4 / 14 設 a0，則 (1)|x|a? axa? xa；(4)|x|a? x a 或 xa2|axb|c(c0)與|ax b|c(c0)型不等式的解法(1)|ax b| c? caxbc；(2)|ax b| c? ax b c 或 axbc3|xa|x b

6、|c 與|xa|xb|c 型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準確的幾何解釋(2)以絕對值的零點為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想確定各個絕對值號多項式的正、負號，進而去掉絕對值號(3)通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考察函數(shù)的增減性)是關鍵注：絕對值的幾何意義(1)|x|的幾何意義是數(shù)軸上點x 與原點 o 的距離；(2)|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上點x 到點 a 和點 b的距離之和；(3)|xa|xb|的幾何意義是

7、數(shù)軸上點x 到點 a 和點 b的距離之差2絕對值不等式的幾何意義(1)|x|a(a0)的幾何意義是以點a 和 a 為端點的線段，|x|a 的解集是 a，a(2)|x|a(a0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點a 和 a 為端點的線段后剩下的兩條射線，|x|a 的解集是 (，a) (a， )3解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解例題：例如：分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例 1： 解不等式125xx。分析 : 由01x，02x，得1x和2x。2和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即2x，12x，1x，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。5 / 14 解: 當

8、 x-2 時，得2(1)(2)5xxx，解得：23x當-2 x1 時，得21,(1)(2)5xxx，解得：12x當1x時，得1,(1)(2)5.xxx，解得：21x綜上，原不等式的解集為23xx。例 2：解不等式 |2x4|3x 9|2 時，原不等式可化為x2，（ 2x4）（ 3x9）2.當 3x 2 時，原不等式可化為 3x2，（ 2x4）（ 3x9）1，解得65x2.當 x 3 時，原不等式可化為x3，（ 2x4）（ 3x9）1，解得 x 12.綜上所述，原不等式的解集為x|x656 / 14 第二講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法1作差比較法 (簡稱比

9、差法 ) (1)作差比較法的證明依據是：ab? a b0；ab? ab0；ab? ab0 時，ab1? ab；ab1? ab；ab1? ab 時，一定要注意b0 這個前提條件 若 b0，abb，ab 1? ab，ab1? a a122；1n21n（n1）(nn*)；1n2nn1；當 ab0， m0 時，baambm等第三講柯西不等式與排序不等式1二維形式的柯西不等式若 a，b， c，d 都是實數(shù)，則(a2 b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當ad bc 時，等號成立2柯西不等式的向量形式設 ，是兩個向量，則| | | |，當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使 k時，等號成立3二維形式的三角

10、不等式設 x1，y1，x2，y2r，那么x21y21x22y22（x1x2）2（ y1y2）2. 注意：1二維柯西不等式的三種形式與其關系10 / 14 定理 1 是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2 是柯西不等式的向量形式，定理3 是柯西不等式的三角形式根據向量的意義與其坐標表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式與二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標表示2理解并記憶三種形式取“”的條件(1)代數(shù)形式中當且僅當adbc 時取等號(2)向量形式中當存在實數(shù)k， k或 0 時取等號(3)三角形式中當p1，p2，o 三點共線且p1，p2在原點 o 兩旁時取等號3掌握二維柯西不等式的常用變式(

11、1) a2 b2c2d2|acbd|. (2) a2 b2c2d2|ac| |bd|. (3) a2 b2c2d2acbd. (4)(ab)(cd)(acbd)2. 4基本不等式與二維柯西不等式的對比(1)基本不等式是兩個正數(shù)之間形成的不等關系二維柯西不等式是四個實數(shù)之間形成的不等關系，從這個意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當和(或積 )為定值時，可求積(或和 )的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效二一般形式的柯西不等式1三維形式的柯西不等式設 a1，

12、a2，a3，b1， b2，b3是實數(shù)，則 (a21a22a23)(b21b22b23) (a1b1a2b2a3b3)2，當且僅當bi0(i1，2，3)或存在一個數(shù)k，使得 aikbi(i1，2，3)時，等號成立2一般形式的柯西不等式設 a1， a2， a3， an，b1，b2，b3， bn是實數(shù)，則 (a21a22 a2n)(b21b22 b2n)(a1b1a2b2anbn)2，當且僅當bi0(i1，2， n)或存在一個數(shù)k，使得 aikbi(i1，2， n)時，等號成立注意：1對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比

13、二維形式的柯西不等式來總結，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方運用時的關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式11 / 14 2關于柯西不等式的證明：對于函數(shù)f(x)(a1x b1)2(a2xb2)2 (anxbn)2，顯然 f(x)0 時 xr 恒成立，即 f(x)(a21 a22 a2n)x22(a1b1a2b2 anbn)x(b21b22 b2n)0 對 xr 恒成立，4(a1b1a2b2 anbn)24(a21a22 a2n)(b21b22 b2n)0，除以 4 得(a21a22 a2n) (b21b22 b2n) (a1b1a2b2 anbn)2. 3一般形式柯西不等式成立的條件：由柯

14、西不等式的證明過程可知0? f(x)min0? a1xb1a2xb2 anxbn0? b1b2 bn0，或a1b1a2b2anbn. 4柯西不等式的幾種常見變形：(1)設 a21a22 a2nb21b22 b2n1，則 1 a1b1 a2b2 anbn1；(2)設 air( i1，2， 3， n)，則a1a2 anna21a22 a2nn；(3)設 air，bi0(i1，2，3， n)，則a21b1a22b2a2nbn（a1a2 an）2b1b2 bn；(4)設 aibi0(i1，2， 3， n)，則a1b1a2b2anbn（a1a2 an）2a1b1a2b2 anbn. 三排序不等式1亂序和

15、、反序和、順序和設 a1a2 an，b1b2 bn為兩組實數(shù)，c1， c2， cn為 b1， b2， bn的任一排列，稱a1c1a2c2 a3c3 ancn為亂序和， a1bna2bn1a3bn2 anb1為反序和， a1b1a2b2a3b3 anbn為順序和2排序不等式 (又稱排序原理 ) 設 a1a2 an，b1b2 bn為兩組實數(shù)， c1，c2， cn是 b1，b2，bn的任一排列，那么a1bn a2bn1 anb1a1c1a2c2 ancna1b1a2b2 anbn，當且僅當a1 a2 an或 b1b2 bn時，反序和等于順序和3排序原理的簡記反序和亂序和順序和第四講用數(shù)學歸納法證明不

16、等式一數(shù)學歸納法12 / 14 1數(shù)學歸納法的定義一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n 都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當 n n0時命題成立(2)假設當 n k(kn且 kn0)時命題成立，證明當nk1 時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法2數(shù)學歸納法的適用圍適用于證明一個與無限多個正整數(shù)有關的命題3數(shù)學歸納法的步驟(1)(歸納奠基 )驗證當 nn0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立；(2)(歸納遞推 )假設當 nk(k n，且 kn0)時命題成立，推導nk1 時命題也成立(3)結論

17、：由 (1)(2)可知，命題對一切n n0的自然數(shù)都成立注意：用數(shù)學歸納法證明，關鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三點：(1)驗證是基礎數(shù)學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個 n0就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定就是“1”，因此“找準起點，奠基要穩(wěn)”是正確運用數(shù)學歸納法要注意的第一個問題(2)遞推是關鍵數(shù)學歸納法的實質在于遞推，所以從“ k” 到“ k1”的過程，必須把歸納假設“nk”時命題成立作為條件來導出“nk 1”時命題成立，在推導過程中，要把歸納假設用上一次或幾次，沒有用上歸納假設的證明不是

18、數(shù)學歸納法(3)正確尋求遞推關系數(shù)學歸納法的第二步遞推是至關重要的，那么如何尋找遞推關系呢？在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關系是有幫助的；探求數(shù)列的通項公式時，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n 處在哪個位置；在書寫f(k1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例1數(shù)學歸納法證明不等式(1)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的不等式的步驟證明：當n 取第一個值n0時結論成立；假設當nk(kn，且 kn0)時結論成立，證明當n k1 時結論也成立由可知命題對從n0開始的所有正整數(shù)n 都成立13 / 14 (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的重點用數(shù)學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在)，即假設f(k)g(k)成立，證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義：如果x 是實數(shù)，且x1，x0， n 為大于 1 的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx(2)作用：在數(shù)學研究中經常用貝努利不等式把二項式的乘方(1x)n縮小為簡單的1 nx 的形式，這在數(shù)值估計和放縮法證明不等式中有重要應用例如：當x 是實數(shù)，且x 1，x0 時，由貝努利不等式不難得到不等式1x1xn1nx1