微積分下冊知識點

1、微積分（下）知識點微積分下冊知識點第一章 空間解析幾何與向量代數(shù)（一） 向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數(shù)乘；3、 空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式；4、 利用坐標(biāo)做向量的運算：設(shè)，則 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個坐標(biāo)軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數(shù)量積，向量積1、 數(shù)量積：1）2）2、 向量積：大?。?，方向：符合右手規(guī)則1）2）運算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的

2、概念：2、 旋轉(zhuǎn)曲面：面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：3、 柱面：表示母線平行于軸，準(zhǔn)線為的柱面4、 二次曲面（不考）1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面：3） 單葉雙曲面：4） 雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：2、 參數(shù)方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（五） 平面及其方程1、 點法式方程： 法向量：，過點2、 一般式方程：截距式方程：3、 兩平面的夾角：， 4、 點到平面的距離：（六） 空間直線及其方程1、 一般式方程：2、

3、對稱式（點向式）方程： 方向向量：，過點3、 參數(shù)式方程：4、 兩直線的夾角：， 5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角， 第二章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數(shù)：，圖形：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導(dǎo)數(shù)：6、 方向?qū)?shù)： 其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設(shè)，則（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最

4、小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t 若，則 ，3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（三） 應(yīng)用1、 極值1） 無條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應(yīng)用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點（對應(yīng)參數(shù)為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點處的切平面方程為： 法線方程為：第三章 重積分（一） 二重積分（一般換元法不考）1、 定義：2、

5、 性質(zhì)：（6條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計算：1） 直角坐標(biāo)，2） 極坐標(biāo) （二） 三重積分1、 定義： 2、 性質(zhì)：3、 計算：1） 直角坐標(biāo) -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐標(biāo)，3） 球面坐標(biāo)（三） 應(yīng)用曲面的面積：第五章 曲線積分與曲面積分（一） 對弧長的曲線積分1、 定義：2、 性質(zhì)：1） 2） 3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長度)3、 計算：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（二） 對坐標(biāo)的曲線積分1、 定義：設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù)，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質(zhì)：

6、用表示的反向弧 , 則3、 計算：設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則4、 兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：，則.（三） 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有2、為一個單連通區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則 曲線積分 在內(nèi)與路徑無關(guān)曲線積分 在內(nèi)為某一個函數(shù)的全微分（四） 對面積的曲面積分1、 定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)是定義在上的一個有界函數(shù)，定義 2、 計算：“一投二換三代入”，則（五） 對坐標(biāo)的曲面積分1、 預(yù)備知識：曲面的側(cè)，曲面在平面

7、上的投影，流量2、 定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，定義 同理，3、 性質(zhì)：1），則2）表示與取相反側(cè)的有向曲面 , 則4、 計算：“一投二代三定號”，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則,為上側(cè)取“ + ”， 為下側(cè)取“ - ”.5、 兩類曲面積分之間的關(guān)系：其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有或（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G 的正向符合右手法則, 在包含å 在內(nèi)的一個空間域

8、內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨立的(即不可合并而使個數(shù)減少的)任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解.不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解.2、典型的一階微分方程可分離變量的微分方程：對于第1種形式，運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：2、 齊次微分方程：代入微分方程即可?？赏ㄟ^坐標(biāo)平移去掉常數(shù)項。3、 一階線性微分方程型如 稱為一階線性微分方程。其對應(yīng)的齊次線性微分方程的解為 利用常數(shù)變異法可得到非齊次的線性微分方程的通解4、 伯努利方程：于是U的通解為：5、 全微分方程：7、可降階的高階常微分方程（1）（2）（3）8、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）函數(shù)組的線性無關(guān)和線性相關(guān)（2）線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)疊加原理：二個齊次的特解的線性組合仍是其特解；二個線性無關(guān)齊次的特解的線性組合是其通解（3）劉維爾公式（4）二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)特解的求解過程主要是通過