2012級高等數(shù)學(xué)期中考試試卷與答案

1、1 1.（10 分）求心形線)cos1(ar的全長。解：drrdx)sincos(，drrdy)cossin(，drrds22。故，aadadadss82sin82cos42cos2002020。2.（10 分）設(shè))(1xy，)(2xy為 2 階線性微分方程0)()( yxqyxpy的兩個(gè)解，令)()()()()()()()()(21212121xyxyxyxyxyxyxyxyxw，并稱之為)(1xy和)(2xy的 wronsky 行列式。試證明：（1）)(xw滿足方程0)(wxpw；（2）xxdttpexwxw0)(0)()(。解： （ 1）212 1 2121yyyyyyyyw=2 1 2

2、1yyyy，故0)()()()(21211 122 21yyyyxqyxpyyyxpyywxpw。（2） 由（ 1）可得dxxpwdw)(， 兩邊積分則有xxxxdttpxwxwwdw00)()()(ln0，從而可知xxdttpexwxw0)(0)()(。3. （10 分）設(shè)方程組2sin2cosyyvexyvexuxu確定了函數(shù)),(yxuu，),(yxvv。 求在點(diǎn)1x，1y，0u，4v處的du和dv。廈門大學(xué)高等數(shù)學(xué)期中考試答案試卷類型：（理工類 a卷）考試日期 2012.04.08 高等數(shù)學(xué) a 類教學(xué)組2 解：方法一：微分法。將yxvu,看成獨(dú)立變量，對原方程組取全微分得到相應(yīng)的線性

3、化方程：01cos1sin)22cos(sin01sin1cossin)22(cos2222dvyyveduxeyvdyyvyvedxxueyvdvyyveduxeyvdyyvyvedxxueyvxuxuxuxuxuxuxuxu在1x，1y，0u，4v處取值則有：02222)22422(0222242222dvdudydvdudydx容易解得：)(21dydxdu，dydydxdv4)(21。方法二：通過求偏導(dǎo)數(shù)來得到微分。21222222222202222),(),(),(),(vugfvxgfxu， 其中g(shù)f,為將方程組右端項(xiàng)移至左端所得到的隱函數(shù)。其余偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算從略。4. （10 分）

4、求曲線：2) 1(622222yxzyx在點(diǎn)（ 2, 1，1）處的對稱式切線方程。解：將方程組在（2, 1，1）處直接微分便得到在此處的一般式切線方程：0) 1(2)2(20)1(2)1(2)2(4yxzyx。于是，該切線的方向向量為：)1, 1, 1 (011112kjiv， 故切線的對稱式方程為：111112zyx。5. （10 分）給定三維空間內(nèi)一個(gè)平面以及平面外一點(diǎn)0p，再給定正實(shí)數(shù)e。 求到0p的距離和到的3 距離的比值為常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，從而說明上述軌跡所對應(yīng)的二次曲面的類型。解： 設(shè)的方程為：0dczbyax， 其中),(cba為的單位法向量；設(shè)),(0000

5、zyxp。則所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程為：22202020)()()()(dczbyaxezzyyxx。 mn 以為xoy平面，以0p到的垂線為z軸建立坐標(biāo)系，則上述方程化簡為：222022)(zezzyx。當(dāng)10e時(shí)，方程可整理為：202202202221)1)(1(zezezzeyx，動(dòng)點(diǎn)軌跡為中心在)1, 0,0(20ez的橢球面。當(dāng)1e時(shí)， 方程可整理為：)2(20022zzzyx， 動(dòng)點(diǎn)軌跡為頂點(diǎn)在)2,0,0(0z的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)1e時(shí)， 方程可整理為202202202221)1)(1(zezezzeyx, 動(dòng)點(diǎn)軌跡為中心在)1,0 ,0(20ez的雙葉雙曲面。6. （10 分）設(shè)u為定義

6、在平面上的二元函數(shù)，u在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的函數(shù)表達(dá)式分別為：),(),(rgyxfu。 設(shè)u關(guān)于),(r有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。試將二元函數(shù)xu和22xu表示成極坐標(biāo)),(r下所對應(yīng)的形式。解：因?yàn)闃O坐標(biāo)變換公式為：sincosryrx，xyacryxrtan22。故而：urruyxyurxruxuxrruxusincos22；)sin(cossin)sin(coscos)(sin)(cos22urrururrurxurxurxu4 )sincoscossin(sin)sinsin(coscos2222222ururrururrururru2222222222sin2sinsin2sincosu

7、rrurrururru。7 （10 分）在第一卦限內(nèi)做橢球面1222222czbyax的切平面使得該切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體體積最小。求此切平面與橢球的切點(diǎn)，并求此最小體積。解：設(shè)切點(diǎn)為),(0000zyxp， 則過0p的切平面方程為：0)()()(020020020zzczyybyxxax。因?yàn)?p在橢球面上，故上述方程可改寫為截距式方程：1020202zazybyxax。故所求四面體體積為：00022261zyxcbav。 欲使v最小，即求目標(biāo)函數(shù)xyzzyxl),(限制在橢球面上的最大值。 利用 lagrange 乘子，構(gòu)造新的無約束目標(biāo)函數(shù))1(),(222222czbyax

8、xyzzyxl。 原目標(biāo)函數(shù)的最大值點(diǎn)必滿足如下方程：1020202222222222czbyaxczxybyxzaxyz。由前三個(gè)方程可得到：2222zxycyxzbxyza； 從而有：222222czbyax。故，所求切點(diǎn)為)33,33,33(0cbap， 對應(yīng)的最小體積為abcv23。8. （ 10 分）設(shè)),(yxf為平面上二元函數(shù)，),(yxf在平面上任意一點(diǎn)),(yxp處的梯度向量為5 ),2(),(yxyxf。 給定)1 , 1(0p， 試求),(yxf的過0p點(diǎn)的等高線。（注：等高線即為),(yxf取值為給定數(shù)值的點(diǎn)的軌跡。）解：方法一：由等高線的定義cyxf),(可知，限制在

9、等高線上),(yxf的全微分為0。 故，),(yxf的過0p的等高線滿足如下微分方程：02ydyxdx。它的通解為：cyx222，rc。 帶入0p點(diǎn)坐標(biāo)，可知所求等高線為：3222yx。方法二：設(shè)所求等高線的方程為)(xyy，則在等高線上任意一點(diǎn)),(yxp處的切向量為),1 (y。由于等高線上任意一點(diǎn)的切向量和梯度向量垂直，故可得到如下微分方程：1) 1(02yyyx。從中易知所求等高線為：3222yx。9. （20 分）設(shè)有彈簧振子如右圖。設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為2kc，k為某正的常數(shù)，振子為單位質(zhì)量。將重物向下拉至距離平衡位置a處然后無初速度地松開，假定整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不考慮空氣等產(chǎn)生的阻力。建

10、立以平衡位置為原點(diǎn)，向下為正方向的坐標(biāo)軸，并設(shè)初始時(shí)刻為0t， 初始時(shí)刻振子恰好位于 a 處。試考察以下兩種情形下振子的運(yùn)動(dòng)情況。（1） 寫出振子不受外力影響下做簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并求解之。（2） 假設(shè)振子受到ptbfsin的周期外力影響，寫出此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)方程并求解之。解：（1）設(shè)在t時(shí)刻振子位于)(tx處，此時(shí)振子受到的彈性恢復(fù)力為：)()(2txktf。 由 newton 第二定律可知此時(shí)振子滿足的運(yùn)動(dòng)方程為：02 xkx，而初始條件為：0)0(,)0(xax。此二階常系數(shù)微分方程的通解為：ktdktctxsincos)(。帶入初值，可知振子的位移函數(shù)為：ktatxcos)(。（2）在

11、受周期外力影響下，同樣利用 newton 第二定律可得到振子滿足的運(yùn)動(dòng)方程為：6 ptbxkxsin2 ?？紤]對應(yīng)的復(fù)化的方程iptbexkx2 。下分兩種情況考慮：（a）kp. 令iktctetx)(， 帶入復(fù)化方程可得：iktiktbeikce2，從而kbiikbc22。故原方程的一個(gè)特解為：kttkbtxcos2)(。從而原方程通解為：ktdktckttkbtxsincoscos2)(。帶入初值，可知振子的位移函數(shù)為：kttkbktkbktatxcos2sin2cos)(2。（b）kp. 令iptcetx)(，帶入復(fù)化方程可得：iptiptbeepkc)(22， 從而22pkbc。故原方程的一個(gè)特解為：ptpkbtxsin)(22。從而原方程通解為：ktdktcptpkbtxsincossin)(22。帶入初值，可知振子的位移函數(shù)為：ptpkbktkpkpbktatxsinsincos)(2222。附加題：10. （10 分）設(shè)二元函數(shù)),(yxfz在開區(qū)域d內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)xf和yf均有界，試證明),(yxf在d連續(xù)。證明：設(shè)在d內(nèi)恒有myfmxf,， 其中m為某固定常數(shù)。取定d內(nèi)任意一