開題報告-淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用

1、畢業(yè)論文開題報告信息與計算科學(xué)淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用一、選題的背景、意義1、選題的背景微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解. 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解. 后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 ?貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論. 微分方程的形成及發(fā)展與力學(xué)、天文學(xué)、 物理學(xué)、生物學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān) .在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進一步發(fā)展的需要， 有推動著其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展；相反， 常微分方程每一步進展

2、都離不開其他數(shù)學(xué)分支的支援 . 數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.當前計算機的發(fā)展更是為微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具 .時至今日，可以說微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等.只要能夠列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律.從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效. 2、選題的意義微分方程的理論逐步

3、完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法. 微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支. 總之， 力學(xué)、 天文學(xué)、 幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問題都導(dǎo)致微分方程. 在當代， 甚至許多社會科學(xué)的問題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等. 因而微分方程的研究是與人類社會密切相關(guān)的. 1“常微分方程” 是理學(xué)院數(shù)學(xué)系所有專業(yè)學(xué)生的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一，也是工科、 經(jīng)濟等專業(yè)必學(xué)內(nèi)容之一. 其重要性在于它是各種精確自然科學(xué)、社會科學(xué)中表述基本定律和各種問題的根本工具之一，換句話說， 只要根據(jù)實際背景，列出了相應(yīng)的微分方程，并且能（數(shù)值地或定性地）求出

4、這種方程的解，人們就可以預(yù)見到，在已知條件下這種或那種“運動”過程將怎樣進行，或者為了實現(xiàn)人們所希望的某種“運動” 應(yīng)該怎樣設(shè)計必要的裝置和條件等等 . 例如，我們要設(shè)計人造衛(wèi)星軌道，首先，根據(jù)力學(xué)原理，建立衛(wèi)星運動的微分方程，列出初始條件， 然后求出解， 即衛(wèi)星運行軌道. 隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛. 2從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展. 從這個角度說，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心. 3總之， 微分方程從它誕生起即日益成為人類認識并進而改造自然、社會的有力工具，成

5、為數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實際的主要途徑之一. 文章就常微分進行展開，對其數(shù)值解法進行簡單的闡述.二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題2.1 微分方程概念介紹2.1.1 微分方程概況由一元函數(shù)得到的方程. 即：稱含有自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式22( , ,.,)0nndy d yd yf x ydxdxdx. （1）為常微分方程 . 其中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階. 例如dydxx，dyydx，是一階常微分方程. 22sin0dgdtp是二階常微分方程. 設(shè))(xy定義于區(qū)間j上，有直到n階的導(dǎo)數(shù)，將它代入（1） ，使（ 1）變成關(guān)于x的恒等式，即( )( )( , ( ),.,)0

6、,nndxdxf xxxjdxdx. 就稱y( )x為（ 1）的一個定義于j上的解，并稱j為該解的定義區(qū)間. 4 如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程.2.2 微分方程產(chǎn)生的歷史背景微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解. 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 ?貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、

7、物理學(xué)， 以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的. 數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響， 當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具 . 5牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律 .后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置. 這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量 . 微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法. 微分方程

8、也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支. 總之， 力學(xué)、 天文學(xué)、 幾何學(xué)等領(lǐng)域的許多問題都導(dǎo)致微分方程. 在當代， 甚至許多社會科學(xué)的問題亦導(dǎo)致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等. 因而微分方程的研究是與人類社會密切相關(guān)的. 6 2.3 微分方程發(fā)展現(xiàn)狀及其基本功能在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進一步發(fā)展的需要， 有推動著其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展；相反，微分方程每一步進展都離不開其他數(shù)學(xué)分支的支援 . 數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓撲學(xué)等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響. 當前計算機的發(fā)展更是為微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具 . 時

9、至今日，可以說微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多社會科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如自動控制、 各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、 飛機和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等. 只要能夠列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律. 從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效. 72.4 常微分方程的數(shù)值求解方法2.4.1 euler 法euler法是最簡單的數(shù)值方法， , a b為求解良態(tài)初值問題( , )yf t y，0( )y ay的區(qū)間。實際上，下面的過程不是要找到滿足該初值問題的可微函

10、數(shù)，而是要生成點集(,)kkty，并且將這些點作為近似解，即( )kky ty。如何構(gòu)造 “近似滿足微方程”的“點集”呢？首先為這些點選擇橫坐標，為方便起見，將區(qū)間 , a b劃分為m個等距子區(qū)間，并選擇網(wǎng)絡(luò)點ktakh，k=0，1， ，m其中bahm（1）值h稱為步長。然后近似解( ,)yf t y在0 ,mtt上，00()y ty（2）設(shè)( )y t，( )y t和( )y t連續(xù)，； ；利用泰勒定理將( )y t在0tt處展開，對每個值t，存在一個0t和t之間的值1c，使得210000()()( )()()()2y ctty ty ty ttt（ 3）將00( )( ,( )y tf t

11、y t和10htt代人等式（ 3） ，得到1( )y t的表示：211000()( )( )( ,( )2y c hy ty thf ty t（4）如果步長h 足夠小，則可以忽略2 次項（包含2h的項），得到1000( ,)yyhf ty（5）這就是歐拉近似。重復(fù)該過程，就能得到近似解曲線( )yy t的一個點序列。歐拉方法的一般步驟是1kktth，1(,)kkkkyyhf ty其中k = 0，1， ，m-18（ 6）2.4.2 泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用，并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標準，它可設(shè)計為任意指定的精度。下面首先將泰勒定理用新的公式表示，使之適合于求解微分方程

12、。定理 9.5 （泰勒定理）設(shè)1( )ny tc0, tb，且( )y t在不動點0, ktttb處有 n 次泰勒級數(shù)展開：1()()(, ()()nkknkky thy thtty to h（1）其中，()11( )(, ( )!jnjknkkjyttty thj（2）( )1( )( , ( )jjytft y t表示函數(shù)f關(guān) t 的（1j）次全導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)公式可以遞歸地計算：(3)22(4)23232( )( )( )2()2()33()33()(33)(2)tytyttytyyyttytyyytytttyttyyttyyyyyyytttyttyytyyyyttytyyy tfy tff

13、yff fytff yf yfyffffffff fyffyfyf yf yfy yfyfffffffffffff23()()()tyytyyytyfffffffff f（3）并且一般有()(1)( )( , ( )nnytpf t y t（4）其中p為導(dǎo)數(shù)算子()pfty區(qū)間0 ,mtt上的初值問題( )( , )y tf t y的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間1,kktt上的公式（1）來推導(dǎo)。n次泰勒方法的一般步驟為323211.2!3!nnkkd hd hd hyyd hn（5）其中在各步0,1,.,1km有()(),1,2,.,jjkdytjn。n次泰勒方法的最終全局誤差是1()no h階的，

14、因此可選擇所需大小的n，使得誤差足夠小。如果n是固定，則理論上可以推導(dǎo)出步長h，使之滿足任意的最終全局誤差。然而在實際運算中，通常用h和/ 2h計算兩個近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果9。2.4.3 龍格庫塔方法泰勒方法的優(yōu)點是最終全局誤差的階為()no h， 并且可以通過選擇較大的 n 來得到較小的誤差。然而泰勒方法的缺點是，需要先確定 n ，并且要計算高階導(dǎo)數(shù)，它們可能十分復(fù)雜。每個龍格一庫塔（runge-kutta ）方法都由一個合適的泰勒方法推導(dǎo)而來，使得其最終全局誤差為()no h。一種折中方法是每步進行若干次函數(shù)求值，從而省去高階導(dǎo)數(shù)計算。這種方法可構(gòu)造任意 n 階精度的近似公式。最常用

15、的是n= 4 的龍格一庫塔方法，它適用于一般的應(yīng)用，因為它非常精確、穩(wěn)定，且易于編程。許多專家聲稱，沒有必要使用更高階的方法，因為提高的精度與增加的計算量相抵消。如果需要更高的精度， 則應(yīng)該使用更小的步長或某種自適應(yīng)方法。 4 階龍格一庫塔方法（ rk4 ）可模擬n=4 的泰勒方法的精度。它基于如下對1ky，的計算：111223344kkyyw kw kw kw k（1）其中1k，2k，3k和4k形如1211132213243415263( ,)(,)(,)(,)kkkkkkkkkhf tykhf ta h yb kkhf ta h yb kb kkhf ta h yb kb kb k（2）通

16、過與 n = 4 階的泰勒級數(shù)方法的系數(shù)匹配，使得局部誤差為5()o h，龍格和庫塔得出了如下方程組：112324563123421324322221324311213babbabbbawwwww aw aw aw aw aw a（3）33321324331 3415263123431 526222313415264136141()61()81()12124w aw aw aw a bwa ba bw a a bw aa ba bw a bwa ba bw a b b該方程組有11 個方程和13 個未知量， 必須補充兩個條件才可以求解。最有用的選擇是112a，20b（4）其余變量的解為2313

17、4561234111,1,0,0,12221111,6336aabbbbbwwww（5）將式（ 4）和（ 5）中的值代入式（2）和式（ 1） ，得到標準的4n階龍格庫塔方法，其描述如下。自初始點00( ,)ty開始，利用12341(22)6kkh ffffyy（6）生成近似值序列，其中10 1213243( ,)(,)22(,)22(,)kkkkkkkkff tyhhff tyfhhff tyfff th yhf（7）2.4.4 預(yù)報校正方法歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格一庫塔方法都稱為單步長方法，因為它們只利用前一個點的信息來計算下一個點，即計算11( ,)ty時只使用了初始點00(,

18、)ty。一般地，只有ky用來1ky。當計算出若干個點之后，就可以利用幾個已計算出的點來計算下一個點。以亞當斯一巴什福斯4 步法的推導(dǎo)為例，計算1ky需要3ky，2ky，1ky和ky。該方法不是自啟動的， 要生成點(,) :4kktyk， 必須先給出其4 個初始點00( ,)ty，11( ,)ty，22(,)ty，33(,)ty（可用前面各節(jié)中的方法完成）。多步法的一個優(yōu)點是，可以確定它的局部截斷誤差（local truncation error ，簡稱l.t.e. ） ，并可以包含一個校正項，用于在每一步計算中改善解的精確度。該方法還可以確定步長是否小到能得到1ky的精確值， 同時又大到能夠免

19、除不必要的和費時的計算。使用預(yù)報子和校正子的組合在每一步只需要進行兩次函數(shù)( , )f t y求值11。亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法（adams bashforthmoulton ）是由基本微積分定理推導(dǎo)出的多步法：11()( )( , ( )kktkkty ty tf t y tdt(1) 預(yù)報子使用基于點332211(,),(,),(,)kkkkkktftftf和(,)kktf的( ,( )f t y t的拉格朗日多項式逼近值，并在區(qū)間1,kktt上對式（ 1）積分，這個過程產(chǎn)生亞當斯一巴什福斯預(yù)報子：1321( 9375955)24kkkkkkh

20、pyffff（2）校 正 子 的 推 導(dǎo) 類 似 。 這 時 可 以 實 用 剛 剛 計 算 出 的 值1kp。 基 于 點22(,)kktf，11(,)kktf(,)kktf和新的點11111(,)(,(,)kkkkktftf tp構(gòu)造( , ( )f t y t的一個新的拉格朗日多項式逼近，然后在區(qū)間1,kktt上對該多項式積分，即可得到亞當斯一莫爾頓校正子12：1211(5199)24kkkkkkhyyffff（3） 米爾恩辛普森方法米爾恩辛普森方法是預(yù)報子基于區(qū)間31,kktt上的對( , ( )f t y t的積分：1313()()( , ( )kktkkty ty t

21、f t y tdt（4）預(yù)報子使用( ,( )f t y t基于332211(,),(,),(,)kkkkkktftftf和( ,)kktf的拉格朗日多項式逼近，在區(qū)間31,kktt上對它積分，得到米爾恩預(yù)報子：13214(22)3kkkkkhpyfff(5) 校 正 子 的 推 導(dǎo) 類 似 。 此 時 值1kp已 知 ， 基 于 點11(,)kktf，(,)kktf和 新 點11111(,)(,(,)kkkkktftf tp構(gòu)造( ,( )f t y t的新的拉格朗日多項式，然后在區(qū)間11,kktt上對該多項式積分，結(jié)果為大家所熟悉的辛普森公式13：1111(4)3kkkkkhyyfff（6

22、）三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標1研究內(nèi)容（1）闡述常微分方程研究的現(xiàn)狀，了解微分方程的形成，發(fā)展，以及微分方程在描述客觀世界中的作用；（2）掌握一些常見微分方程的數(shù)值求解方法；（3）理解如何用常微分方程解決實際問題，能夠做到將理論知識與實際問題相結(jié)合，利用常微分方程知識解決實際生活中遇到的幾個問題. 2研究方法及技術(shù)路線通過閱讀有關(guān)常微分方程方面的論著及文獻，了解常微分方程研究的現(xiàn)狀. 采取了從大量閱讀已有的數(shù)據(jù)資料然后對這些內(nèi)容進行總結(jié)最后運用相關(guān)知識進行分析. 3. 研究難點（1）常微分方程數(shù)值求解方法深入研究具有一定的難度；（2）由于論題比較廣泛，很難有獨創(chuàng)或新穎之

23、處；（3）常微分方程應(yīng)用領(lǐng)域太廣，很難研究到多方面. 4. 預(yù)期達到的目標了解常微分方程的形成，發(fā)展， 以及常微分方程在描述客觀世界中的作用，掌握一些常微分方程的數(shù)值求解方法，理解如何用常微分方程解決實際問題，能夠做到將理論知識與實際問題相結(jié)合 . 四、論文詳細工作進度和安排第一階段（ 2010 年 11 月 24 日 2010 年 12 月 11 日） ：熟悉畢業(yè)論文題目，查閱文獻，收集信息、材料并進行加工整理，完成畢業(yè)論文文獻檢索、開題報告、文獻綜述及外文文獻翻譯初稿. 第二階段（ 2010 年 12 月 12 日 2010 年 1 月 10 日） ：完成畢業(yè)論文開題報告、文獻檢索及外文文

24、獻翻譯，交指導(dǎo)老師. 第三階段（ 2011 年 1 月 11 日 2011 年 2 月 28 日） ：完成畢業(yè)論文的數(shù)據(jù)收集、論文初稿. 第四階段（ 2011 年 2 月 29 日 2011 年 5 月 3 日） ：1進入實習單位進行實習，對論文進行修改；2完成畢業(yè)實習返校，并遞交畢業(yè)實習報告，進一步完善畢業(yè)論文. 第五階段（ 2011 年 5 月 16 日 2011 年 5 月 23 日） ：準備畢業(yè)論文答辯. 五、主要參考文獻：1 張良勇 , 董曉芳 . 常微分方程的起源與發(fā)展j. 高等函授學(xué)報 ( 自然科學(xué)版 ),2006(3): 34-38. 2 黃賽 .常微分方程發(fā)展的主要歷史沿革j.教育與職業(yè) .2006(2):36-41. 3 黃煥福 . 常微分方程課程建設(shè)初探j(luò).教育與職業(yè) ,2007(14):146-148. 4 林建平 . 常微分方