組合數(shù)學習題解答實用教案

1、會計學1組合數(shù)學習題組合數(shù)學習題(xt)解答解答第一頁，共40頁。1.5,求3000到8000之間的奇整數(shù)的數(shù)目(shm)，而且沒有相同的數(shù)字。 解： C(5,1)C(10,1)C(10,1)C(5,1)=2500 1.6,計算(j sun)11!+22!+33!+nn! 解： (n+1)!-1,迭代(di di)。 1.7,試證(n+1)(n+2).(2n)能被2n除盡。 解： =(2n)!(2n-1)!/n!=2nn!(2n-1)!/n! =2n(2n-1)! C(3,1)C(4,1)C(8,1)C(7,1)+ C(2,1)C(5,1)C(8,1)C(7,1) =672+560=1232第

2、1頁/共40頁第二頁，共40頁。 1.8、求1040和2030的公因數(shù)數(shù)目(shm)。 解： 等價(dngji)于求(25)40和(225)30 的公因數(shù)數(shù)目。 C(40,1)+C(40,1)C(30,1)+C(30,1)+1=40+1200+30=1271 C(41,1)C(31,1)=1271 1.9、試證n2的整除(zhngch)數(shù)的數(shù)目是奇數(shù)。ammaapppn.2211ammaapppn22221212.所有的組合數(shù)都是偶數(shù)，最后再加上1，偶數(shù)加1是奇數(shù)第2頁/共40頁第三頁，共40頁。1.10 證明任一正整數(shù)n可惟一(wiy)地表示成：111,0, !iiiaiian先證可表示性：

3、當n=0,1時，命題成立。假設對小于n的非負整數(shù)(zhngsh)，命題成立。對于n,設k!n(k+1)!,即0n-k!kk!由假設對n-k!,命題成立，設n-k!=aii!，其中akk-1,n=aii!+k!，命題成立。第3頁/共40頁第四頁，共40頁。再證表示(biosh)的唯一性：設n=aii!=bii!,。bajbjajibiabaijjjjjjiijiiii矛盾也就是得余數(shù)兩邊同時除以令, !,)!1(!min第4頁/共40頁第五頁，共40頁。1.11 證明(zhngmng)下式，并給出組合解釋) 1,() 1(), 1(rnCrrnnC組合(zh)意義： 從n個不同的球中取出的r+1

4、個，要求指定第一個球，有兩種方式： 1、等式左邊：n個不同的球，先任取出1個，再從余下的n-1個中取r個； 2、等式右邊：n個不同球中任意取出r+1個，并指定其中任意一個為第一個。 顯然兩種方案數(shù)相同。第5頁/共40頁第六頁，共40頁。1.12 試證等式(dngsh)：nknnknkC112),(用多項式(1+x)n證明(zhngmng)，求導第6頁/共40頁第七頁，共40頁。 1.13、有n個不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求(yoqi)第1組的最小數(shù)大于另一組的最大數(shù)。設取的第一組數(shù)有a個,第二組有b個,而要求第一組數(shù)中最小數(shù)大于第二組中最大的，即只要取出一組m個數(shù)(設m=a+b),從大到小

5、取a個作為第一組,剩余的為第二組。此時方案數(shù)為 C(n,m)。從m個數(shù)中取第一組數(shù)共有(n yu)m-1中取法。總的方案數(shù)為nmnnmnCm2112),()1(第7頁/共40頁第八頁，共40頁。 習題：1.14六個引擎分列兩排，要求引擎的點火的次序兩排交錯(jiocu)開來，試求從一特定引擎開始點火有多少種方案。 第1步從特定(tdng)引擎對面的3個中取1個有C(3,1)種取法；第2步從特定引擎(ynqng)一邊的2個中取1個有C(2,1)種取法； 第3步從特定引擎對面的2個中取1個有C(2,1)中取法；剩下的每邊1個取法固定。所以共有C(3,1)C(2,1)C(2,1)=12種方案。 解：

6、 第8頁/共40頁第九頁，共40頁。習題(xt)：1.15試求從1到1000000的整數(shù)中，0出現(xiàn)的次數(shù)。 解：先將1到999999的整數(shù)都看作6位數(shù),例如(lr)2就看作是 000002，這樣從000000到999999。0出現(xiàn)了多少次呢？6105，某一位取0，其它(qt)各位任取。0出現(xiàn)在最前面的次數(shù)應該從中去掉000000到999999中最左1位的0出現(xiàn)了105次，000000到099999中左數(shù)第2位的0出現(xiàn)了104次，000000到009999左數(shù)第3位的0出現(xiàn)了103次,000000到000999左數(shù)第4位的0出現(xiàn)了102次,000000到000099左數(shù)第5位的0出現(xiàn)了10次,0

7、00000到000009左數(shù)第6位的0出現(xiàn)了1次。 因此不合法的0的個數(shù)為105+104+103+102+101+1=111111，不合法的應該去掉，再加整數(shù)1000000中的6個0，這樣，從1到1000000的整數(shù)中0出現(xiàn)的次數(shù)為6105-111111+6=488895。 問題：在去掉多余的零的過程中，多減去了一部分，例如：000000這種情況在每次減的過程中都出現(xiàn)。第9頁/共40頁第十頁，共40頁。 1.16、n個完全一樣的球放到r個有標志的盒中，無一空盒，試問(shwn)有多少種方案？ 取r個球每盒放一個，然后n-r個放入r個不同盒中，同充許空盒的放法。 C(r+n-r-1,n-r)=C

8、(n-1,n-r)=C(n-1,r-1)第10頁/共40頁第十一頁，共40頁。 1.18、8個盒子排成一列，5個有標志的球放到盒子中，每盒最多放一個球，要求空盒不相鄰(xin ln)，問有多少種排列方案？ 5!654 1.19、n+m位由m個0，n個1組成的符號串，其中(qzhng)nm+1,試問不存在兩個1相鄰的符號串的數(shù)目？ (m+1)*m*.*(m-n+2)/n!=C(m+1,n) 1.20、甲單位有10個男同志，4個女同志，乙單位有15個男同志，10個女同志，由他們產(chǎn)生一個7人的代表團，要求其中(qzhng)甲單位占4人，面且7人中男同志5位，試問有多少種方案？ 按甲單位： C(10,

9、4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3)第11頁/共40頁第十二頁，共40頁。 1.20、甲單位有10個男同志，4個女同志，乙單位有15個男同志，10個女同志，由他們產(chǎn)生一個(y )7人的代表團，要求其中甲單位占4人，面且7人中男同志5位，試問有多少種方案？ 按甲單位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3) 1.22、(a)C(5,2)C(8,3),(b) C(5,2)C(7,3), (c)C(5,

10、2)C(4,1)C(4,2),(d)C(13,5)- C(5,2)C(7,3)第12頁/共40頁第十三頁，共40頁。 1.23、令s=1,2,.,n+1,n2,nknCnCkTzyzxszyxzyxT12)3, 1(2)2, 1(:,),(試證 1、z可選2,3,4,.,n+1,相對(xingdu)應的x,y都有1,2,3,.,n種選擇，因此共有：nkkT12 2、可分成x與y相同與不相同兩種情況來處理(chl) a、相同時與從n+1中選2個，大的作為z,小的作為x與y, b、不相同時與從n+1個中選3個，最大的作為z兩個小的排列作為x與y,排列數(shù)為2，兩種方式結(jié)果相同：nknCnCkT12)

11、3, 1(2)2, 1(第13頁/共40頁第十四頁，共40頁。 1.24、50,90,),(bazbabaA(a)求x,y平面(pngmin)上以A作頂點的長方形的數(shù)目。(b)求x,y平面(pngmin)上以A作頂點的正方形的數(shù)目。第14頁/共40頁第十五頁，共40頁。 1.25、平面上有15個點p1,p2,.,p15,其中(qzhng)p1,p2,.,p5,共線，此外不存在三點共線。 1、求至少過15個點中兩點的直線的數(shù)目。 2、求由15個點中3點組成的三角形的數(shù)目。 1、C(10,2)+(10,1)C(5,1)+1 2、C(10,3)+C(10,2)C(5,1)+C(10,1)C(5,2)

12、第15頁/共40頁第十六頁，共40頁。 1.26 S=1,2,.,1000,a,bS,使ab=0mod5,求數(shù)偶a,b的數(shù)目(shm)。 解：偶數(shù)有500個，200個5的倍數(shù)，100個10的倍數(shù)。 單獨是5的倍數(shù)不是(b shi)10的倍數(shù)有100個，偶數(shù)中除去10的倍數(shù)有400個， C(100,1)C(400,1)+C(100,1)(900,1) 1.27 6位男賓，5位女賓圍一圓桌而坐。 女賓不相鄰有多少種方案(fng n)？ 所有女賓在一起有多少種方案(fng n)？ 一女賓A和兩位男賓相鄰又有多少種方案(fng n)？第16頁/共40頁第十七頁，共40頁。 5!*6*5*4*3*2 6

13、!5! P(6,2)8! 1.28 k和n都是正整數(shù)，kn位來賓(libn)圍著k張桌子而坐，試求其方案數(shù)。 1.29 從n個對象(duxing)中取r個作圓排列，求其方案數(shù)。C(n,r)(r-1)!),(.),(),()!1(nnCnnknCnknCnk第17頁/共40頁第十八頁，共40頁。 1.30 試證下列(xili)等式nrrnCrnrnCa1),1, 1(),()()1, 1()!1()!()!1( )!1()!()!1(!)!(!),(rnCrnrrnnrnrrrnnnrrnnrnCnrrnCrrnrnCb1),1,(1),()()1,()!1()!1(!1 )!1()!)(1(!

14、)1(!)!(!),(rnCrnrrnnrrnrrrnrnnrnrrnnrnC第18頁/共40頁第十九頁，共40頁。nrrnCrnrnCc1),1, 1(),()(), 1(!)!1()!1( !)!1)()!1(!)!(!),(rnCrnnrrnnrnnrrnrnnnrrnnrnC第19頁/共40頁第二十頁，共40頁。 1.31 試證任意(rny)r個相鄰數(shù)的連乘 (n+1)(n+2).(n+r)=(n+r)!/n!被r!除盡。從n+r個元素(yun s)中取r個的組合數(shù)，C(n+r,r)=(n+r)!/n!r! 1.32 在a,b,c,d,e,f,x,x,x,y,y的排列中，要求(yoqi

15、)y必須夾在兩個x之間，問這樣的排列數(shù)等于多少？7！把xyxyx看作一個元素來看待。 1.33 已知r,n,k都是正整數(shù)，rnk,將r個無區(qū)別的球放在n個有標志的盒子里，每盒至少k個球，試問有多少種方案？C(n+r-nk-1,r-nk)第20頁/共40頁第二十一頁，共40頁。 1.34 在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列(pili)中，求y居x和z中間的排列(pili)數(shù)。 解：2*7！ 1.35 凸十邊形的任意三條對角線不共點，試求這凸十邊形的對角線交于多少個點（交點指內(nèi)部交點，頂點及外部(wib)交點除外）。任意(rny)4點的兩條對角線有一個交點，C（10，4）第21頁/共40頁

16、第二十二頁，共40頁。 1.36 試證一整數(shù)是另一整數(shù)的平方的必要條件(b yo tio jin)是除盡它的數(shù)的數(shù)目是整(奇)數(shù)。 解：如果一個數(shù)能寫成另一個整數(shù)(zhngsh)的平方的形式。則hhhhkkkkkkkm222212212.).(2121 除盡m的數(shù)的個數(shù)是:是奇數(shù))12).(12)(12(21h第22頁/共40頁第二十三頁，共40頁。1.37 給出下式的組合(zh)意義), 1(),()0 ,(.)2 , 2()2, 2() 1 , 1() 1, 1()0 ,(),(mrnCmmrCmnCrCmnCrCmnCrCmnC路徑(ljng)問題第23頁/共40頁第二十四頁，共40頁。

17、1.38 給出下式的組合(zh)意義) 1, 1(),(.), 2(), 1(),(rnCrnCrrCrrCrrC解：解：C(n+1,r+1)是指從是指從n+1個元素個元素a1, a2,an+1中任取中任取r+1個個進行進行(jnxng)組合的方案數(shù)。左邊：若一定要選組合的方案數(shù)。左邊：若一定要選an+1,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(n,r).若不選若不選an+1,一定要選一定要選an,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(n-1,r).若不選若不選an+1,an,ar+2,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(r,r). 所有這些可能性相加就得到了總方案數(shù)。所有這些可能性相加就得到了總方案數(shù)。第24頁/共40頁第二十五頁，

18、共40頁。1.39 證明(zhngmng),(2) 0 ,(),(.) 1, 1() 1 ,(),() 0 ,(nmCnmCnmCnmCmCnmCmCn證：組合意義證：組合意義,右邊：右邊：m個球個球,從中取從中取n個個,放入兩個盒子放入兩個盒子,n個球中個球中每個球都有兩種放法每個球都有兩種放法,得到可能的方案得到可能的方案(fng n)數(shù)。左邊：第數(shù)。左邊：第i項的意義是項的意義是一個盒子中放一個盒子中放i個個,另一個盒子放另一個盒子放n-i個個,所有的方案所有的方案(fng n)數(shù)相加應該等數(shù)相加應該等于右邊。于右邊。ninnininininmCinCnmCnmCinininnmninm

19、innmimiimminimCimC00000),(2),(),(),()!( !)!)(!)!)()!(!)(!),(),(左邊第25頁/共40頁第二十六頁，共40頁。1.40 從n個人中選(zhng xun)r個圍成一個圓圈，問有多少種不同的排列。解：C(n,r)(r-1)!第26頁/共40頁第二十七頁，共40頁。1.43 對于(duy)給定的正整數(shù)n，證明，當k滿足下式時，C(n,k)是取大值。是偶數(shù)若是奇數(shù)若或nnnnnk,2,2121證：取證：取C(n,k)和和C(n,k-1)進行進行(jnxng)比較。比較。C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k。要使要使C(n,k)C

20、(n,k-1)，必須，必須k(n+1)/2取取C(n,k)和和C(n,k+1)進行進行(jnxng)比較。比較。C(n,k)/C(n,k-1)=(k+1)/(n-k)。要使要使C(n,k)C(n,k+1)，必須，必須k(n-1)/2因此(ync)，當(n-1)/2k(n+1)/2時取最大值。第27頁/共40頁第二十八頁，共40頁。1.44 (a)用組合方式證明下列(xili)式子都是整數(shù)。nnnnn32)!3(2)!2(和(a)設有2n個不同球放入n個不同的盒子里，每盒兩個，這個方案數(shù)應該是整數(shù)。對2n個球進行排列得到方案數(shù)為(2n)!。而把2個球放入同一個盒子里不計順序，應該把全排列數(shù)除掉這

21、些重復計算的次數(shù)(csh)，n個盒子內(nèi)部的排列共重復計算了2n次。得到2n個不同球放入n個不同的盒子里，每盒兩個的方案數(shù)(2n)!/2n若有3n個不同的球,放入n個不同盒子,故同理得(3n)!/(3!)n是整數(shù)。第28頁/共40頁第二十九頁，共40頁。1.44 (b)用組合方式證明(zhngmng)下列式子都是整數(shù)。12)!()!(nnn有n個不同的球，放入n個相同的盒子(h zi)里，每盒n個，求方案數(shù)，方案數(shù)應該是一個整數(shù)。按前面(a)的方法，應該得到(n2)!/(n!)n是整數(shù)。另外由于n個盒子(h zi)相同，放入不同的盒子(h zi)是沒有區(qū)別的，應該把n個盒子(h zi)的排列數(shù)n

22、!除去。因此得到(n2)!/(n!)n+1是整數(shù)。第29頁/共40頁第三十頁，共40頁。 1.45 (a)在2n個球中，有n個相同。求從這2n個球中選取(xunq)n個的方案數(shù)。 (b)在3n+1個球中，有n個相同。求從這3n+1個球中選取(xunq)n個的方案數(shù)。 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+.+C(n,n)=2n C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2)+.+C(2n+1,n)(a)相當于從n個不同的小球中分別取出m個小球(0mn)，(b)再從n個相同(xin tn)的小球中取出n-m個小球。共有方案：(c)C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2n種。

23、(d)(b)相當于從2n+1個不同的小球中分別取出m個小球(0mn)，(e)再從n個相同(xin tn)的小球中取出n-m個小球。共有方案：(f)C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+C(2n+1,n)種。第30頁/共40頁第三十一頁，共40頁。1.46證明(zhngmng)在由字母表0,1,2生成的長度為n的字符串中.(a)0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(3n+1)/2個22,2132),(.2)2 ,(2)0 ,()(2nqqnCnCnCbnqnnn其中證：證：(a)歸納法：歸納法：當當n=1時時,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(30+1)/2=2個個(即即1,2),成立。成立。假設

24、當假設當n=k時時,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(3k+1)/2種。總的字符串種?？偟淖址杏?k種。種。0出現(xiàn)奇數(shù)次的字符串有出現(xiàn)奇數(shù)次的字符串有(3k-1)/2種。當種。當n=k+1時，時，0出出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串包括兩部分：現(xiàn)偶數(shù)次的字符串包括兩部分：n=k時時,0出現(xiàn)偶數(shù)次再增加一位出現(xiàn)偶數(shù)次再增加一位不是不是0的，共有的，共有2(3k+1)/2種，種，0出現(xiàn)奇數(shù)次再增加一位出現(xiàn)奇數(shù)次再增加一位0,共有共有(3k1)/2種。所以種。所以(suy)共有共有2(3k+1)/2+(3k1)/2=(3k+1+1)/2種，種，證畢。證畢。(b)等式左邊第等式左邊第m項是項是0出現(xiàn)出

25、現(xiàn)m次的字符串數(shù)，總和就是次的字符串數(shù)，總和就是0出現(xiàn)偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串數(shù)，右邊由次的字符串數(shù)，右邊由(a)得是得是0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串數(shù)，出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串數(shù)，兩邊顯然相等。兩邊顯然相等。第31頁/共40頁第三十二頁，共40頁。 1.47 5臺教學機器m個學生使用，使用第1臺和第2臺的人數(shù)相等(xingdng)，有多少種分配方案？ 解：當使用第1臺機器的學生(xu sheng)為n個時，使用第2臺機器的學生(xu sheng)也為n,從m個學生(xu sheng)中選出2n個使用這兩臺機器，剩余的學生(xu sheng)可以任意使用剩下的機器的組合數(shù)為C(m,2n)C(2n,n)3(m-

26、2n)。所以qnnmnnnmC023),2)(2,(2mq第32頁/共40頁第三十三頁，共40頁。1.49 在1到n的自然數(shù)中選取不同(b tn)且互不相鄰的k個數(shù)，有多少種選取方案？C(n-k+1,k)第33頁/共40頁第三十四頁，共40頁。1.50 (a)在由5個0，4個1組成(z chn)的字符串中，出現(xiàn)01或10的總次數(shù)為4的字符串，有多少個？ (b)在由m個0，n個1組成(z chn)的字符串中，出現(xiàn)01或10的總次數(shù)為k的字符串，有多少個？(a),先將5個0排成一列：00000，1若插在兩個0中間，“010”，則出現(xiàn)2個“01”或“10”;若插在兩端，則出現(xiàn)1個“01”或“10”;要使出現(xiàn)“01”,“10”總次數(shù)為4，有兩種辦法：(1)把兩個1插入0的空當內(nèi)，剩下(shn xi)的1插入1的前面。(2)把1個1插入0得空當內(nèi)，再取兩個1分別插入兩端，剩下(shn xi)的1插入1的前面。故總方案數(shù)為C(4,2)3+C(4,1)3=36.第34頁/共40頁第三十五頁，共40頁。1.50 (b)在由m個0，n個1組成的字符串中，出現(xiàn)(chxin)01或10的總次數(shù)為k的字符串，有多少個？解：m個0產(chǎn)生m-1個空檔，或k為奇數(shù)(j sh)，則必有且只有1個“1”插入頭或尾