平面向量基本概念與運算法則(含基礎練習題)7頁

1、 平面向量11. 數量和向量的區(qū)別： 數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；向量有方向、大小，不能比較大小。2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母等表示；用有向線段的起點與終點字母表示：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|。3. 有向線段： 具有方向的線段叫做有向線段，三要素：起點、方向、長度。 向量與有向線段的區(qū)別： 向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量； 有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向，也是不同的有向線段。4. 零向量、單位向量概念： 長度為0的向量叫零向量，記作。 長度為1個單位長度的向量

2、，叫做單位向量。 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。5. 相等向量的定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：向量與相等，記作=； 零向量與零向量相等； 任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關。6. 平行向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行。說明：綜合才是平行向量的完整定義； 向量平行，記作。四邊形法則三角形法則2、 向量的運算法則 1.向量的加法某人從A到B，再從B到C，則兩次的位移和：；向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。三角形法則：四邊形法則：練習：化簡（1） （2） （3）2.向量的減法

3、相反向量：與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。 ； 任一向量與其相反向量的和是零向量，即：； 如果是互為相反的向量，則：。向量的減法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量減法法則：兩向量起點相同，則差向量就是連結兩向量終點，指向被減向量終點的向量。 注意：起點相同；指向被減向量的終點。練習：（1） （2） （3） （4）例1.平行四邊形ABCD中，用、表示向量。例2.已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為、，試用向量、表示。3. 向量的數乘運算 實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：；當>0時，的方向與的方向相同；當<0

4、時，的方向與的方向相反；特別的，當=0或=時，=。注意：實數與向量，可以做積，但不可以做加減法，即+，-是無意義的。 實數與向量的積的運算律：設、為任意向量，為任意實數，則有： ； 例1.計算； ； 例2.計算 (1). (2).結論：向量與非零向量共線，當且僅當有唯一一個實數，是的=。例3.向量是否共線？例4.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且,你能用表示嗎？2、 向量運算法則的應用向量的加法、減法、數乘運算統稱為響亮的線性運算，對任意實數，恒有。1. 有關向量共線問題例1.已知向量滿足，求證：向量共線。例2.已知,試判斷是否共線？定理的應用： (1).有關向量共線問題； (2).

5、證明三點共線：三點共線； (3).證明兩直線平行問題。 例3.已知任意兩個非零向量，試作，你能判斷三點間的位置關系嗎？為什么？ 例4 .在四邊形中，求證：四邊形為梯形。4高中數學必修4同步練習(2.1-2.2平面向量的概念及線性運算)姓名_班級_學號_一.選擇題(每題5分)1.設是的相反向量,則下列說法錯誤的是( )A.與的長度必相等 B.C.與一定不相等 D.是的相反向量2.已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為、,則向量等于( )A. B. C. D.3.(如圖)在平行四邊形中,下列正確的是( ).A. B.C. D.BDCA4.等于( )A. B. C. D.5.

6、化簡的結果等于( )A、 B、 C、 D、6.(如圖)在正六邊形ABCDEF中,點O為其中心,則下列判斷錯誤的是( )A B C D 7.下列等式中,正確的個數是( )A.5 B.4 C.3 D.28.在ABC中,如果,那么ABC一定是( ).A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形9.在中,則等于( )A. B. C. D.10.已知、是不共線的向量,(、),當且僅當( )時,、三點共線.二.填空題(每題5分)11.把平面上一切單位向量歸結到共同的始點,那么這些向量的終點所構成的圖形是_12.的兩條對角線相交于點,且,則_,_,_,_.13.已知向量和不共線,實數,滿足,則_

7、14.化簡:_;_;_15.化簡下列各式:(1)_;(2)_.16.在中,則_,_.17.在四邊形ABCD中有,則它的形狀一定是_18.已知四邊形中,且則四邊形的形狀是_.19.化簡:_.20.在ABC中,設,則=_三.解答題(每題10分)21.某人從點出發(fā)向西走了10m,到達點,然后改變方向按西偏北走了15m到達點,最后又向東走了10米到達點.(1)作出向量,(用1cm長線段代表10m長);(2)求5 522.如圖,在梯形中,對角線和交于點,、分別是和的中點,分別寫出(1)圖中與、共線的向量;(2)與相等的向量.23.在直角坐標系中,畫出下列向量:(1),的方向與軸正方向的夾角為,與軸正方向的夾角為;(2),的方向與軸正方向的夾角為,與軸正方向的夾角為;(3),的方向與軸正方向的夾角為,與軸正方向的夾角為.24.在所在平面上有一點,使得,試判斷點的位置.25.如圖所示,在平行四邊形中,點是邊中點,點在上且,求證:、三點共線.7 7參考答案一.選擇題(每題5分)1.C2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.A9.B10.D二.填空題(每題5分)11.圓12.,13.114.;15.(1) (2)16.,17.平行四邊形18.等腰梯形19.20.三.解答題