五年級奧數(shù)題周期性問題A

1、八 周期性問題 (a) 年級班姓名得分一、填空題 1. 某年的二月份有五個星期日，這年六月一日是星期_. 2. 1989 年 12月 5 日是星期二 , 那么再過十年的12月 5 日是星期 _. 3. 按下面擺法擺 80 個三角形 , 有_個白色的 . 4節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈. 也就是說, 從第一盞白燈起 , 每一盞白燈后面都緊接著有3 盞彩燈 , 小明想第 73 盞燈是 _燈. 5. 時針現(xiàn)在表示的時間是14 時正, 那么分針旋轉(zhuǎn) 1991 周后, 時針表示的時間是 _. 6. 把自然數(shù) 1,2,3,4,5如表依次排列成5 列，那么數(shù)“

2、 1992”在_列. 第一列第二列第三列第四列第五列1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 7. 把分?jǐn)?shù)74化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第110 位上的數(shù)字是 _. 8. 循環(huán)小數(shù)7992511.0與74563.0. 這兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第_位, 首次同時出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是 7. 9. 一串?dāng)?shù) : 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, 共有 1991 個數(shù). (1)其中共有 _個 1,_個 9_個 4； (2)這些數(shù)字的總和是 _. 10. 777 7 所得積末位數(shù)是 _. 50 個二、解答題11. 緊接

3、著 1989后面一串?dāng)?shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù). 例如8 9=72,在 9 后面寫 2,92=18,在 2 后面寫 8, 得到一串?dāng)?shù)字 : 1 9 8 9 2 8 6這串?dāng)?shù)字從 1 開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么12. 1991 個 1990 相乘所得的積與 1990 個 1991 相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少13. 設(shè) n=2 2 2 2，那么 n 的末兩位數(shù)字是多少1991 個14在一根長 100厘米的木棍上，自左至右每隔6 厘米染一個紅點(diǎn)，同時自右至左每隔5 厘米也染一個紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開，那么長度是1 厘米的短木棍有多少根答案1.

4、二因?yàn)?7 4=28，由某年二月份有五個星期日，所以這年二月份應(yīng)是29 天，且 2 月 1 日與 2 月 29日均為星期日， 3 月 1 日是星期一，所以從這年3 月 1 日起到這年 6 月 1 日共經(jīng)過了 31+30+31+1=93(天). 因?yàn)?93 7=132，所以這年 6 月 1 日是星期二 . 2日依題意知，這十年中1992年、1996 年都是閏年，因此，這十年之中共有365 10+2=3652 （天）因?yàn)椋?3652+1）7=5216，所以再過十年的12月 5 日是星期日 . 注 上述兩題 ( 題 1題 2) 都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類問題主要依據(jù)每周

5、為七天循環(huán)的規(guī)律，運(yùn)用周期性解答. 在計(jì)算天數(shù)時 , 要根據(jù)“四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時，只要是4 的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時，必須是400 的倍數(shù)才是閏年. 3. 39 從圖中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白” 的規(guī)律重復(fù)排列， 也就是這一排列的周期為6，并且每一周期有 3 個白色三角形 . 因?yàn)?806=132， 而第十四期中前兩個三角形都是黑色的， 所以共有白色三角形13 3=39 （個） . 4. 白依題意知 , 電燈的安裝排列如下 : 白, 紅, 黃, 綠, 白, 紅, 黃, 綠, 白, 這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出

6、現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4. 由 734=181, 可知第 73 盞燈是白燈 . 5. 13時. 分針旋轉(zhuǎn)一周為1 小時, 旋轉(zhuǎn) 1991周為 1991小時. 一天 24 小時,199124=8223， 1991 小時共82 天又 23 小時. 現(xiàn)在是 14 時正, 經(jīng)過 82 天仍然是 14 時正, 再過 23 小時, 正好是 13 時. 注 在圓面上 , 沿著圓周把1 到 12 的整數(shù)等距排成一個圈, 再加上一根長針和一根短針, 就組成了我們天天見到的鐘面 . 鐘面雖然是那么的簡單平常, 但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問題, 周期現(xiàn)象就是其中的一個重要方面. 6. 3 仔細(xì)觀察題中數(shù)

7、表 . 1 2 3 4 5 (奇數(shù)排 ) 第一組98 7 6 (偶數(shù)排 ) 10 11 12 13 14 (奇數(shù)排 ) 第二組 18 17 16 15 (偶數(shù)排 ) 19 20 21 22 23 (奇數(shù)排 ) 第三組 27 26 25 24 (偶數(shù)排 ) 可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下 : (1) 連續(xù)自然數(shù)按每組9 個數(shù), 且奇數(shù)排自左往右五個數(shù), 偶數(shù)排自右往左四個數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；(2) 觀察第二組 , 第三組 , 發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9 除有如下規(guī)律 : 第 1 列用 9 除余數(shù)為 1, 第 2 列用 9 除余數(shù)為 2, ，第 5 列用 9 除余數(shù)為 5. (3)109=11，10 在 1+1組，第

8、1 列 199=21，19 在 2+1組，第 1 列因?yàn)?19929=2213，所以 1992應(yīng)排列在（ 221+1）=222組中奇數(shù)排第 3 列數(shù)的位置上 . 7. 7 74=0.它的循環(huán)周期是 6，具體地六個數(shù)依次是5，7，1，4，2，8 110 6=182 因?yàn)橛?2，第 110個數(shù)字是上面列出的六個數(shù)中的第2 個，就是 7. 8. 35 因?yàn)榈难h(huán)周期是7, 的循環(huán)周期為 5, 又 5 和 7 的最小公倍數(shù)是 35, 所以兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第 35 位, 首次同時出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都是7. 9. 853,570,568,8255. 不難看出 , 這串?dāng)?shù)每 7 個數(shù)即 1,9,9,1

9、,4,1,4為一個循環(huán) , 即周期為 7, 且每個周期中有 3 個 1,2個 9,2 個 4. 因?yàn)?1991 7=2843，所以這串?dāng)?shù)中有284 個周期，加上第 285 個周期中的前三個數(shù)1，9，9. 其中 1 的個數(shù)是 :3 284+1=853(個),9 的個數(shù)是 2 284+2=570(個),4 的個數(shù)是 2 284=568(個). 這些數(shù)字的總和為1 853+9 570+4 568=8255. 10. 9 先找出積的末位數(shù)的變化規(guī)律: 71末位數(shù)為 7,72末位數(shù)為 9,73末位數(shù)為 3, 74末位數(shù) 1； 75=74+1末位數(shù)為 7,76=74+2末位數(shù)為 9， 77=74+3末位數(shù)

10、為 3，78=247末位數(shù)為 1由此可見，積的末位依次為7，9，3，1，7，9，3，1，以 4 為周期循環(huán)出現(xiàn) . 因?yàn)?504=122，即 750=21247，所以 750與 72末位數(shù)相同，也就是積的末位數(shù)是9. 11. 依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字: 884可見 1989 后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)286884，每 6 個一組，即循環(huán)周期為6. 因?yàn)?1989-4)6=3305，所以所求數(shù)字是8. 12. 1991 個 1990相乘所得的積末兩位是0, 我們只需考察 1990個1991相乘的積末兩位數(shù)即可 .1個 1991 末兩位數(shù)是 91,2 個 1991 相乘的積末兩位數(shù)是81,3 個

11、 1991 相乘的積末兩位數(shù)是71,4 個至10 個 1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個 1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，由此可見，每10 個 1991 相乘的末兩位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，即周期為10. 因?yàn)?199010=199,所以 1990 個 1991 相乘積的末兩位數(shù)是01, 即所求結(jié)果是 01. 13. n 是 1991個 2的連乘積 , 可記為 n=21991, 首先從 2 的較低次冪入手尋找規(guī)律 , 列表如下 : nn 的十位數(shù)字n 的個位數(shù)字nn 的十位數(shù)字n 的個位數(shù)字210 2 212 9 6 220 4 2139 2 230 8

12、2148 4 241 6 2156 8 253 2 2163 6 266 4 2177 2 272 8 2184 4 . . . . 285 6 2198 8 291 2 2207 6 2102 4 2215 2 2114 8 2220 4 觀察上表 , 容易發(fā)現(xiàn)自 22開始每隔 20 個 2 的連乘積 , 末兩位數(shù)字就重復(fù)出現(xiàn) , 周期為 20. 因?yàn)?990 20=9910，所以 21991與 211的末兩位數(shù)字相同，由上表知211的十位數(shù)字是 4，個位數(shù)字是 8.所以, n 的末兩位數(shù)字是 48. 14. 因?yàn)?100 能被 5 整除, 所以自右至左染色也就是自左至右染色. 于是我們可以看作是從同一端點(diǎn)染色 . 6 與 5 的最小公倍數(shù)是 30, 即在 30 厘米的地方 , 同時染上紅色 , 這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán) , 每一周的長度是 30 厘米, 如下圖所示 . 由圖示可知長 1 厘米的短木棍 , 每一周期中有兩段 , 如第 1 周期中 ,6-5=1,55-64=1.