特殊平行四邊形典型例題解析題

1、、參考例題例1如下圖， ABC中，點(diǎn)0是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0作直線MN/ BC，設(shè)MN交/BCA的平分線于點(diǎn)E,交/ BCA的外角平分線于點(diǎn)F.求證：EO=FO 當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并說(shuō)明你的結(jié)論分析：（1）要證明OE=OF可借助第三條線段 0C即證：OE=OC OF=OC這 兩對(duì)線段又分別在兩個(gè)三角形中，所以只需證 OEC OCF是等腰三角形，由 已知條件即可證明 假設(shè)四邊形AECF是矩形，則對(duì)角線互相平分且相等，四個(gè)角都是直角由已知可得到：/ ECF=90°,由可證得OE=OF,所以要使四邊形AECF是 矩形，只需OA=OC證明：（1） tCE CF分別

2、是/ ACB / ACD的平分線./ ACZ BCE / ACf=Z DCF MN/ BC / OECZ ECB Z OFCZ FCDZ ACE：Z OECZ ACf=Z OFCOE=OC OF=OC OE=OF（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，即OA=OC又由（1）證得OE=OF四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）由（1）知：Z ECAZ ACf=- Z ACB丄 Z ACD：丄（Z ACBZ ACD=90°2 2 2即Z ECF=90°四邊形AECF是矩形因此：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.例2如下圖，已知矩形 ABCD勺對(duì)角

3、線AC BD相交于0, 0巳AD于F,0F=3 cm, AE丄BD于 E,且 BE： ED=1 : 3,求 AC的長(zhǎng).平分且相等；可導(dǎo)出BE=0E進(jìn)而得出AB=AQ即得出BE=0F=3 cm,求出BD的 長(zhǎng)，即AC的長(zhǎng).解：四邊形 ABCD是矩形.二 AGBD 0B=0D=0/=0C又 BE： ED=1 : 3 BE： BQ=1 : 2 二 BE=E0又 AE丄 B0 ABEA ADE AB=0Ag卩 AB=A0=0B / BAE=/ EA03O°,/ FA0=3O°ABEAA0FBE=0F=3 cm, BD=12 cm AC=BD=12 cm二、參考練習(xí)1. 如圖，有一矩

4、形紙片ABCD AB=6 cm,BC=8 cm,將紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B 與D重合，求折痕EF的長(zhǎng).解：連結(jié)BD BE DF由折疊的意義可知：EF丄BQ EF平分BD BE=ED BF=FD四邊形 ABCD為矩形 AB=CD AD=BC, / C=90° , AD/ BC / ED(=Z FB0點(diǎn) B 和 D 重合 BQ=D0 / B0=/ D0E BOFA DOE 二 ED=BF,. ED=BF=FD=BE四邊形 BFDE是菱形S菱形X BDX EF=BFX CD2/ BF=DF,a 可設(shè) BF=DF=x 則 FC=8 x在Rt FCD中，根據(jù)勾股定理得：x2=（8 x）2+62x

5、25 - 82 62 EF -25 6 EF=42、4因此，折痕EF的長(zhǎng)為7.5 cm.2. 當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件寸，它成為矩形（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可）.答案：/ BAC=90。或 AC=BD或 OA=OB或/ AB（+Z AD（=180° 或/ BADV BCD：180°等條件中的任一個(gè)即可.典型例題例1 如圖，在菱形ABC沖，E是AB的中點(diǎn)，且丄丄丄二，求:（1）-比 的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（3）菱形ABCD勺面積.分析（1）由E為AB的中點(diǎn)，二三一扛，可知DE是 AB的垂直平分線，從而一-亠，且 丄-亠上，則是等邊三角形，從而菱形中各角都可以

6、求出.（2）而丄，利用勾股定理可以求出AC （3）由菱形的g二J.甘匚.豆°對(duì)角線互相垂直，可知-解 （1）連結(jié)BD,:四邊形ABCD1菱形，二'三是AB的中點(diǎn)，且三三，-亠匚匸二是等邊三角形,=也是等邊三角形.(2)V四邊形ABCD是菱形， AC與BD互相垂直平分,O = -BD = -AB = -aoa/ab2-ob2 =E 二丄 ACBD = -a = ai(3)菱形ABCD勺面積說(shuō)明：本題中的菱形有一個(gè)內(nèi)角是 60°的特殊的菱形，這個(gè)菱形有許多特點(diǎn)，通過(guò)解題應(yīng)該逐步認(rèn)識(shí)這些特點(diǎn).已知：如圖，在菱形 ABC沖，匚E -工 于-于F.求證:分析要證明二三：匚匚，

7、可以先證明=匚G ,而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明-匚三-dF，從而可以證得本題的結(jié)論.證明四邊形ABCD是菱形，丄- -丄一丄 ，且ZBEC = ZDFC = 90°扛配E 三 EE = EF? * * ? * * ?AB = AD AB-BE = AD-DP AE = AF.例3已知：如圖，菱形ABCD中，E, F分別是BC, CD上的一點(diǎn),四邊形ABC助菱形,ZD = W= 1茁，求ZCEF 的度數(shù).解答：連結(jié)AC N養(yǎng)"三60。 A£ = BC=CD = AD一匸:與匚-L-為等邊三角形.AB 二 ACZB 二 £ACD 二 ZMC 二 60c丄三

8、壬=(:'J: _三諾三二二二盯丄二三三二:* ? * * * */. .43 = 7.乂曲戸二60。，.上曲F為等邊三角形.:EF = 60°亠二二£ 二三壬 二一£三F 二 60c,+lS° = 60°+ZCr CEF=說(shuō)明本題綜合考查菱形和等邊三角形的 性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連AC，證出呂E三4ACF例4 如圖，已知四邊形匸三二 和四邊形正三二 都是矩形，且亠4 匸圧求證：上匕垂直平分.分析由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角以及等腰三角形的“三線合一”可證明工三垂直平分證明：四邊形"匚匚、匸三二71都是矩

9、形血跡 血"CD ZDFH =ZBCD = B AD = BC* * ? ? ?四邊形是平行四邊形 1-'/' , IF 比在 n上和日匚中= ZBCH；£DHF = ZBHC.DF = ECDFE 望 BU円.DH 二曲,HF = HC.四邊形J是平行四邊形四邊形 m 是菱形m 平分三三匚上三平分三f - .4.工三垂直平分廠-.例5 如圖，-廣三匕中，二匸二：占三，丘、7在直線二匸上，且= CD = CF求證:BE _LAFHD分析 要證，關(guān)鍵是要證明四邊形上弓匕三是菱形，然后利用菱形 的性質(zhì)證明結(jié)論.證明四邊形二匚是平行四邊形加心，AU , ASEH

10、, aZ1 = Z5 CD=ED - AB 二 ED* ? * *N1二上丘Z2=Z3在血G和中廳二 ED £&望DEGAG=GD.衛(wèi) J 一遼.-1F-二 同理：一二僅三 H三上弓三£四邊形口三上匸是平行四邊形弓匚僅3E四邊形?是菱形.匸丘一三三.典型例題例1一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是它鄰角的 3倍，那么這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角各是多少度分析根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)可以求出四個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解 設(shè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 x，則它的鄰角的度數(shù)為3X，根據(jù)題意，得“九1 二，解得I- ,A - :?；這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 45°

11、, 135°，45°, 135°.例2 已知：如圖，夕BCD的周長(zhǎng)為60cm,對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O,工 的周長(zhǎng)比-三丁的周長(zhǎng)多8cm求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng).分析由平行四邊形對(duì)邊相等，可知S =平行四邊形周長(zhǎng)的一半二30cm又由一二、占的周長(zhǎng)比-r，- 的周長(zhǎng)多8cm,可知£ u = L cm由此兩式, 可求得各邊的長(zhǎng).解四邊形匸三二 為平行四邊形，亠 二一 J，-1'-AB-CD-ADBC = 60 ABBC = 30.AOABOB-(pBBC-OC) = 8 AS-BC = Z答：這個(gè)平行四邊形各邊長(zhǎng)分別為 19cm, 11cm 19c

12、m 11cm說(shuō)明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個(gè)結(jié)論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行 四邊形周長(zhǎng)的一半.（2）平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三 角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差.例3已知：如圖，在心中，上二交于點(diǎn)O,過(guò)O點(diǎn)作EF交ABCD于 E、F,那么OE OF是否相等，說(shuō)明理由.分析 觀察圖形，山月。三右捌用蘭加尢即，從而可證明在夕百BCD中，曲 BD交于o,. AO = 0C._ AB / CD N創(chuàng)0 二"UQZAEO 二 ZCFO， ? -L 、疋-寸* ? * * " *已知：如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD勺邊BC上，且一一，丄一丄，垂足為F。求證：=-J-分析 觀察

13、圖形，丄丄二二與二二 都是直角三角形，且銳角 一匚t 二二，斜邊工匸：二三，因此這兩個(gè)直角三角形全等。在這個(gè)圖形中, 若連結(jié)AE則一任三與丄壬全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明四邊形ABCD1矩形，'一-1，二，二丁.丄F - £'S亠二廠二-匸* * ?yADuDE 邊Dm ADCS AF-DC.例5 0是 ABCD寸角線的交點(diǎn)，-匚三的周長(zhǎng)為59,三門-門，二，則砒=,若氐。眈與OAB的周長(zhǎng)之差為15,則加二I口 ABCD的周長(zhǎng)=.OA=OC = -AC OB = OD = -BD解答：廠ABC沖，】,1=OB +CC + 5C = -BD-h-AC-hBC_，二'.T的周長(zhǎng)= 19 + 12+SC-59BC= 2S在ABCD中，序匚二勻D .-Z = 2E_<£?的周長(zhǎng) _ 二二 的周長(zhǎng)'1 " .' 1:' 1'.= BC-AB=15.ABCD勺周長(zhǎng) 上 - - - 一 _:二_ _ - 一一； I _ _：_說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與丄二三的周長(zhǎng)