2014屆高考數(shù)學(xué)（理科）專(zhuān)題教學(xué)案：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（含答案）

1、?？紗?wèn)題5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用真題感悟(2013·江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)lnxax，g(x)exax，其中a為實(shí)數(shù)(1)若f(x)在(1，)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范圍；(2)若g(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解(1)令f(x)a<0，考慮到f(x)的定義域?yàn)?0，)，故a>0，進(jìn)而解得x>a1，即f(x)在(a1，)上是單調(diào)減函數(shù)同理，f(x)在(0，a1)上是單調(diào)增函數(shù)由于f(x)在(1，)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，)(a1，)，從而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a當(dāng)x<ln

2、 a時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>ln a時(shí)，g(x)>0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.綜上，有a(e，)(2)當(dāng)a0時(shí)，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)exa>0，解得a<ex，即x>ln a，因?yàn)間(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，類(lèi)似(1)有l(wèi)n a1，即0<ae1.結(jié)合上述兩種情況，有ae1.()當(dāng)a0時(shí)，由f(1)0以及f(x)>0，得f(x)存在唯一的零點(diǎn)；()當(dāng)a<0時(shí)，由于f(ea)aaeaa(1ea)<0，f(1)a>0，且函數(shù)f(x)在ea,1上的圖象不

3、間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn)另外，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)a>0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)()當(dāng)0<ae1時(shí)，令f(x)a0，解得xa1.當(dāng)0<x<a1時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x>a1時(shí)，f(x)<0，所以，xa1是f(x)的最大值點(diǎn)，且最大值為f(a1)ln a1.當(dāng)ln a10，即ae1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)xe.當(dāng)ln a1>0，即0<a<e1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)際上，對(duì)于0<a<e1，由于f(e1)1ae1<0，f(a1)>0，且函數(shù)f(x)在e1，a

4、1上的圖象不間斷，所以f(x)在(e1，a1)上存在零點(diǎn)另外，當(dāng)x(0，a1)時(shí)，f(x)a>0，故f(x)在(0，a1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0，a1)上只有一個(gè)零點(diǎn)下面考慮f(x)在(a1，)上的情況先證f(ea1)a(a2ea1)<0.為此，我們要證明：當(dāng)x>e時(shí)，ex>x2.設(shè)h(x)exx2，則h(x)ex2x，再設(shè)l(x)h(x)ex2x，則l(x)ex2.當(dāng)x>1時(shí)，l(x)ex2>e2>0，所以l(x)h(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)1 / 8x>2時(shí)，h(x)ex2x>h(2)e24>0，從而h(x)在

5、(2，)上是單調(diào)增函數(shù)進(jìn)而當(dāng)x>e時(shí)，h(x)exx2>h(e)eee2>0.即當(dāng)x>e時(shí)，ex>x2.當(dāng)0<a<e1，即a1>e時(shí)，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)<0，又f(a1)>0，且函數(shù)f(x)在a1，ea1上的圖象不間斷，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零點(diǎn)又當(dāng)x>a1時(shí)，f(x)a<0，故f(x)在(a1，)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a1，)上只有一個(gè)零點(diǎn)綜合()，()，()，當(dāng)a0或ae1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.考題分析高考對(duì)本內(nèi)容

6、的考查主要有：(1)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用為函數(shù)應(yīng)用題注入了新鮮的血液，使應(yīng)用題涉及到的函數(shù)模型更加寬廣，要求是B級(jí)；(2)導(dǎo)數(shù)還經(jīng)常作為高考的壓軸題，能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱作為導(dǎo)數(shù)綜合題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題【例1】 時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位：千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/套)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)4

7、(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù))，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大(保留一位小數(shù))解(1)因?yàn)閤4時(shí)，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷(xiāo)售量y4(x6)2，所以每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)(x2)4(x6)24x356x2240x278(2<x<6)，從而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f(x)0

8、，得x，且在上，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f(x) <0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大規(guī)律方法 在利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，不僅要注意函數(shù)模型中的定義域，還要注意實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合的解要舍去【訓(xùn)練1】 (2011·江蘇卷)請(qǐng)你給某廠商設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)

9、點(diǎn)重合于點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)若廠商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒的體積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值解設(shè)包裝盒的高為h(cm), 底面邊長(zhǎng)為a(cm)由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800.所以當(dāng)x15時(shí)，S取得最大值即當(dāng)包裝盒的側(cè)面積S最大時(shí)，x的值為15.(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或20.當(dāng)x(

10、0,20)時(shí)，V>0；當(dāng)x(20,30)時(shí)，V<0.所以當(dāng)x20時(shí)，V取得極大值，也是最大值，此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的有關(guān)問(wèn)題【例2】 (2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)因?yàn)榍€yf(x)和曲線yg(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2)，所以bd2；因?yàn)閒(x)2xa，故f(0)a4；g(x)ex(cxdc)，故g(0)2c4，故c2.

11、從而a4，b2，c2，d2.(2)令F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)(kex1)(2x4)，由題設(shè)可得F(0)0，故k1，令F(x)0得x1ln k，x22，若1k<e2，則2<x10，從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)>0，即F(x)在2，)上最小值為F(x1)2x12x4x12x1(x12)0，此時(shí)f(x)kg(x)恒成立；若ke2，F(xiàn)(x)(ex21)(2x4)，故F(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因?yàn)镕(2)0，所以f(x)kg(x)恒成立；若k>e2，則F(2)2ke222e2(ke2)<0

12、，從而當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上所述k的取值范圍是1，e2規(guī)律方法 涉及不等式證明或恒成立問(wèn)題，常依據(jù)題目特征，恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、極值問(wèn)題在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，一定要注意等價(jià)性，對(duì)于含參數(shù)的不等式，注意分離參數(shù)與分類(lèi)討論；必要時(shí)，可作出函數(shù)圖象草圖，借助幾何直觀分析轉(zhuǎn)化【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)aln xax3(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：在(1，)上，f(x)2>0；(3)求證：····<(n 2，nN*)(1)解根據(jù)題意知，f(x)(x>0)，當(dāng)a

13、>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1；當(dāng)a0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)(2)證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>f(1)即f(x)>2，所以f(x)2>0.(3)證明由(2)得ln xx32>0，即ln xx1>0，所以ln x<x1對(duì)一切x(1，)恒成立n2，nN*，則有0<ln n<n1，0<<，··

14、83;·< ····(n2，nN*)熱點(diǎn)三函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題【例3】 (2013·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)c(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，cR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值(2)討論關(guān)于x的方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)解(1)f(x)，由f(x)>0得x<，由f(x)<0得x>.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)，令g(x)|ln x|，yc.當(dāng)x(1，)時(shí)，ln x>0，則g(x)ln x

15、.所以g(x)>0.所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(0,1)時(shí)，ln x<0，則g(x)ln x.所以g(x).因?yàn)閑2x(1，e2)，e2x>1>x>0，所以<1，而2x1<1.所以g(x)<0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減由可知，當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)g(1).由數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)c<時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)c時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)c>時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為2.規(guī)律方法 (1)本題第(1)問(wèn)，利用了函數(shù)單調(diào)的充分條件：“若f(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，若f

16、(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減”；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而對(duì)于函數(shù)的最值需謹(jǐn)記函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值，在開(kāi)區(qū)間上函數(shù)不一定存在最值，若存在，一定是極值(2)本題第(2)問(wèn)，借助轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，把方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用極值解決問(wèn)題【訓(xùn)練3】 (2013·南京、鹽城模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0，)上，f(1)0，導(dǎo)函數(shù)f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題設(shè)易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)1.(2)gln xx，設(shè)h(x)g(x)g2ln xx，則h(x)，當(dāng)x1時(shí)，h(1)0，