第講 柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系三重積分的計(jì)算學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第講第講 柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系三重柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系三重(sn zhn)積積分的計(jì)算分的計(jì)算第一頁，共30頁。 .,sin,coszzyx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)如圖，三坐標(biāo)(zubio)面分面分別為別為為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),( P zxyzo第1頁/共30頁第二頁，共30頁。 dvzyxf),(.),sin,cos( dzddzf drxyzodzdr rd柱坐標(biāo)系中的體積柱坐標(biāo)系中的體積(tj)元元素：素：,dzdddv d d第2頁/共30頁第三頁，共30頁。注注1

2、 1：2.適用范圍：積分域表面用柱面坐標(biāo)表適用范圍：積分域表面用柱面坐標(biāo)表示示(biosh)時(shí)方程簡單時(shí)方程簡單 ; 或被積函數(shù)用或被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示柱面坐標(biāo)表示(biosh)時(shí)變量互相分離時(shí)變量互相分離.1.積分積分(jfn)順序：先對順序：先對 ,再對再對 ，最，最后對后對 z 第3頁/共30頁第四頁，共30頁。其中(qzhng)為由zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍所圍及平面(pngmin)2axyzozvdddd cos202d dcos342032 a 20d azz0dzzddd2 原式原式298a 柱面柱面解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos2020a

3、z 0cos2成半圓柱體成半圓柱體.第4頁/共30頁第五頁，共30頁。解解由由 zzyx sincos, zz34222 ,3, 1 z知交知交(zhjio)線線為為第5頁/共30頁第六頁，共30頁。 23242030 zdzddI.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 ，z練習(xí)： 計(jì)算三重積分,1ddd22yxzyxzyx4221 z所圍成所圍成 .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面45ln54 答案：答案：第6頁/共30頁第七頁，共30頁。的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)

4、點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來確定，其中來確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(4. 利用球坐標(biāo)(zubio)計(jì)算三重積分第7頁/共30頁第八頁，共30頁。Pxyzo),(zyxMr zyxA,r 0.20 ,0 規(guī)定規(guī)定(gudng)：第8頁/共30頁第九頁，共30頁。如圖，三坐標(biāo)如圖，三坐標(biāo)(zubio)面分面分別為

5、別為為為常常數(shù)數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為為常常數(shù)數(shù) 圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面第9頁/共30頁第十頁，共30頁。 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)的關(guān)系為的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則第10頁/共30頁第十一頁，共30頁。 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球坐標(biāo)系中的體積球坐標(biāo)系中的體積(tj)(t

6、j)元元素素: :,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr第11頁/共30頁第十二頁，共30頁。注注2:2:2.適用范圍：積分域表面用球面坐標(biāo)適用范圍：積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單表示時(shí)方程簡單; 或被積函數(shù)或被積函數(shù)(hnsh)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.1.積分順序積分順序(shnx)：先對：先對 ,再對再對 ，最后對最后對 r 第12頁/共30頁第十三頁，共30頁。,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx所圍立體所圍立體(lt).其中(qzhng) 與球面與球面dddsind2rrv zyx

7、zyxddd)(222Rrr04d)22(515R40dsin20d解解: 在球面坐標(biāo)系下:40Rr 020 xyzo4Rr 第13頁/共30頁第十四頁，共30頁。解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar第14頁/共30頁第十五頁，共30頁。 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 第15頁/共30頁第十六頁，共30頁。解解 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2

8、54254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr第16頁/共30頁第十七頁，共30頁。 222:220)(zyxDazdxdyyxdzI zadddz02200 .105a dzza040|412 第17頁/共30頁第十八頁，共30頁。練習(xí)：練習(xí)：.,222222所所限限定定的的球球域域是是由由球球面面其其中中求求zzyxdxdydzzyxI .10 答案：答案：第18頁/共30頁第十九頁，共30頁。11例例 dzdydxzyxI2)(計(jì)算22yxz 是由拋物面2222 zyx和球面.所圍成的空間閉區(qū)域2)(zyx )(xzyzxyzyx 2222解,對稱關(guān)于坐

9、標(biāo)面0 yxyz0 dvyzxy)(所以,對稱關(guān)于坐標(biāo)面0 x0 dvxz所以第19頁/共30頁第二十頁，共30頁。xyz dzdydxzyxI2)(所以 dzdydxzyx222:用柱面坐標(biāo)22yxz 拋物面2rz 2rz 2222 zyx球面222 zrD 2rz 222 zr:的邊界方程得投影區(qū)域消去Dz1 rD 20 10 r 積分區(qū)域222rzr 222 zr第20頁/共30頁第二十一頁，共30頁。)(8929660 dzdydxzyx222ID 20 10 r 222rzr 222222010rrzdzrrdrd)( 106422232322322rdrrrrrr 思考：能否思考：

10、能否(nn fu)使用球坐使用球坐標(biāo)代換？標(biāo)代換？第21頁/共30頁第二十二頁，共30頁。343a 12例例推導(dǎo)球體積公式設(shè)球方程為解2222azyx ar0020 則 vdv ardrdd02020 sin33122a 第22頁/共30頁第二十三頁，共30頁。zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域(qy)多由坐標(biāo)面被積函數(shù)(hnsh)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成 ;第23頁/共30頁第二十四頁，共30頁。zddrdzrzyx ),(),( :的的換換算算公公式式不不同同坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中體體積積元元素素zdydxdvd ddrd

11、rzyx),(),( 直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系0 r行行列列式式柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的Jacobi),(),(zrzyx zrzrzrzzzyyyxxx 10000 cossinsincosrr 行行列列式式球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下的的Jacobi02 sinr),(),( rzyx zzzyyyxxxrrr 第24頁/共30頁第二十五頁，共30頁。xyz vd:球坐標(biāo)系下的體積元素 vd:柱坐標(biāo)系下的體積元素xyz d drdrzd drrdrsd素平面極坐標(biāo)下的面積元 dr drsinddrvdzddrdr ddrdr sin2vdsinrrd第25頁/共30頁第二十六頁，共30頁。z

12、dydxdzyxf),( zddrdrzrrf ),sin,cos(, zddrdrvd :在柱面坐標(biāo)系下:在球面坐標(biāo)系下,sin drddrvd2 ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2zdydxdzyxf),(!, 熟記熟記式式以上為三重積分換元公以上為三重積分換元公第26頁/共30頁第二十七頁，共30頁。提示提示(tsh):20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所六個(gè)平面圍成 ,:第27頁/共30頁第二十八頁，共30頁。zoxy222yxz和球面(qimin)4222zyx所圍成 , 計(jì)算(j sun).d)(2vzyxI提示提示(tsh):4利用對稱性利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) rr d420dsin4020