泰勒公式及其應(yīng)用典型例題

1、泰勒公式及其應(yīng)用常用近似公式- r I亠： Tn； - '：-二一 '1，將復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單 的一次多項(xiàng)式函數(shù)近似地表示，這是一個(gè)進(jìn)步。當(dāng)然這種近似表示式還 較粗糙（尤其當(dāng)1引較大時(shí)），從下圖可看出。上述近似表達(dá)式至少可在下述兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：1、提高近似程度，其可能的途徑是 提高多項(xiàng)式的次數(shù)。2、 任何一種近似，應(yīng)告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個(gè)想法作進(jìn)一步地?cái)?shù)學(xué)化：對(duì)復(fù)雜函數(shù)一 5）,想找多項(xiàng)式來近似表示它。自然地， 我們 希望1盡可能多地反映出函數(shù)所具有的性態(tài) 一一女口：在某點(diǎn) 處的值與導(dǎo)數(shù)值；我們還關(guān)心1的形式如何確定；M近似門-1所 產(chǎn)生的誤差 一y入

2、）?！締栴}一】設(shè)）在含；的開區(qū)間內(nèi)具有直到1階的導(dǎo)數(shù)，能否找出一個(gè)關(guān) 于'；丨的'次多項(xiàng)式Pn（）= +創(chuàng)（X 觀）+遢忌+務(wù)（工心0）且對(duì)険）二嚴(yán)筑） = 0丄加 近似_ d）?【問題二】若問題一的解存在，其誤差1 : I"-,：）的表達(dá)式是什么？一、【求解問題一】問題一的求解就是確定多項(xiàng)式的系數(shù)、入（X）二你+ z（x-心）+比（工-心尸+ 5（兀-牝廣-O = PM: = p（M p：（x） = 2q+32% （兀一陽(yáng)）+ 4,光4 ©-嘶丫 +斤（熬一1）叫-坷嚴(yán)-2l® = P；（x（）£=$21 色+43 2q（X-島）+54

3、3色©-話+井（”-1）（用-2）4©倉(cāng)嚴(yán)- 321 兮p；%）上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出:% =幾（工D）= f（X0） 131= P；（XO） = /f（X0）2 1 = Pn（.Xn ） = f f （Xo ）3-2 1-幻=P誤帀）=廠氣6）一般地，有矗(上 一 I)舗 一 2)21 0 二 p?(x0) = /CM(x0) 從祈，得到系數(shù)計(jì)算公式：= /(兀口) 廣(磯)戸/氣衍)dy 2 !廠J)C* = 0,1,2,a于是，所求的多項(xiàng)式為:（2）二、【解決問題二】泰勒(Tayler)中值定理若函數(shù)')在含有：的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到1階導(dǎo)數(shù)

4、, 則當(dāng):三i-h時(shí)，.I可以表示成/(x) = pn(x)+(x)=/(x0)+ £0糾(X -叼)b + t 計(jì)(X - XO)B+1k=i 七！(n + 1)!這里】是T與；之間的某個(gè)值。先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路:/（X）= pn（x） + Rn（x）O /（X）- pnW = J（x -磯嚴(yán)】（遇十1）!c Ra _/5小（$）（JT- x0）B+1 （溝+ 1）!注意到：於巧（尙）二嚴(yán)可（心）一處可（必2 0 （M2/） q（t） = （£-心嚴(yán)心司（X。） = 0 （k = 0,1,2”/）, 外“）三0+1）!（因曲）是關(guān)于上的幷+ 1次多項(xiàng)式

5、） 以01"）= 0 （因久（f）是關(guān)于d的丹次多項(xiàng)式） 取心=/一久.則 =嚴(yán)C懇（砂-凡（巧）二氏孑心g（R乳心） q'+J（f） t=?這表明：只要對(duì)函數(shù) 吐）=幾）- M） 及9（亡）=（1心）""在工與勺之間 反復(fù)使用n+1次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作?！咀C明】Vxe（tf,6）"叼以*0與工為端點(diǎn)的區(qū)間bo，x或x/。記為,Ic（o,b）o 函數(shù) 蟲）=他-以） 在了上具有直至 力+1階的導(dǎo)數(shù)， 且呂（叼）=心（兀0）=氏©0）="=總"（兀0）=。宙+%）=嚴(yán)）山函數(shù)?（f） = （f-x

6、0）n+在J上有直至"+ 1階的非零導(dǎo)數(shù)，且 gg）=g'（xo）=g"（x（）=“=g（%o）=og（?1+1）（t） = （w+l）!于是，對(duì)函數(shù) 臥）及曲）在j上反復(fù)使用«+1次柯西中值定理，有3在礎(chǔ)與X之間場(chǎng)在必與©之間在可與之間1心討在心與人之間& （x）二瓦-二瓦（如O g（盂）一（町）于（4）襯©）-襯（心）©"©）*©）-于（可） Qg）_ R；（R：（Q -琦）©） WU） 嚴(yán)（鼻）有（?。?！記$ = 4«+i ? 4在礎(chǔ)與兀之間5+1)0+1)! +

7、 1)1三、幾個(gè)概念了=佝）+£氣糾©-如行弓需 W-叼嚴(yán) 1、此式稱為函數(shù)J按.1的幕次展開到'階的泰勒公式；''階泰勒展開式。或者稱之為函數(shù)-門）在點(diǎn)處的 當(dāng).-（J時(shí)，泰勒公式變?yōu)閞(0+l)z£/d（叼）+這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項(xiàng)。恥戶皿（嚴(yán)為拉格朗日余項(xiàng)。< M a<x<bI嚴(yán)臨）2、對(duì)固定的'，若|fi（x）|< M - x-x0E 71 W + l）!0此式可用作誤差界的估計(jì)O出(兀)丿 M、(x-x0)w (燈 + 1)0故二-忙 llI表明：誤差(*是當(dāng)二

8、三花時(shí)較 鋰-冷; 高階無(wú)窮小， 這一余項(xiàng)表達(dá)式稱之為皮亞諾余項(xiàng)。3、若"，則在U與.；.之間，它表示成形式泰勒公式有較簡(jiǎn)單的形式麥克勞林公式心曲+爭(zhēng)j警V+儲(chǔ)n近似公式f(» jW+ ' x + 了 O x" + + X* (0 < 3 < 1)1! 2! «1誤差估計(jì)式|W|<?i+i(ri +1)!麥克勞林展開式是一種特殊形武的泰勒展開式容 易求。因此求函數(shù)/(工)在任意點(diǎn)x = x0處的泰 勒展開式時(shí).可通過變量替換x-x0=：tt歸到這 一情況律令 X - x0 = t則 /(x) = /<t+Jc0>=

9、F(t)對(duì)函數(shù)F(f)作竟克勞林展開?！纠?】求的麥克勞林公式。解:/(0) = r(0) =廣(0)=嚴(yán))(0) = e°=l，嚴(yán)+1)(加)=0于是有近似公式 X X2疋 £酬£ =1 + -+ + *+ +1!2!nl （月 + 1）!J , X x2xne 対 1 + + + + 1! 2!nlex其誤差的界為我們有函數(shù)的一些近似表達(dá)式。（3）、在matlab中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實(shí)在逐漸逼近指數(shù)函數(shù)?！纠?】求的階麥克勞林公式。解："葉r（o）=ojr（o）=if（o）二 a 嚴(yán)（o）=-1/業(yè)）二 3它們的值依次取四個(gè)數(shù)值1 1

10、OX3 A5# w一 1 /曲sin x x +*十（） + 地（天）355!（2m-1）!兒其中:2iw（x）=sin從兀+（2也+ 1）一2（0<5<1）同樣，我們也可給出曲線“川：的近似曲線如下，并用 matlab作出它們的圖象。嚴(yán)-1F +丄P1 6 120（2m+1）!【例3】求1 的麥克勞林展開式的前四項(xiàng)，并給出皮亞諾余項(xiàng)。解:-2 cosx （-sinr）cos4x2sinxcos3xz w cosx - cosJ x - sinr 3cos2 x （- sin x） 2cosJx + 6sin2x 如=2亦-=一云L孫 I i=o °,（倉(cāng)兒“二 h （妙 yl x-o" °,（體）"說二 2“終極武利用泰勒展開式求函數(shù)的極限，可以說是求極限方法中的 器”，使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。.f?x-anx limk【例4】利用泰勒展開式再求極限，1 33sinx = x-r +o(jc )6X-X3 +o(x3)66= r+ -x3 +o(x3):解：，tgx-nxx + -x 3 + o(x3)-)+ (o(x3)-o(x3)lx3 血燮學(xué)=向J 心01XTOx3r 2X十如)1ttO XX 2(龍一策)+ (X【注解】 現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯(cuò)誤之處 因?yàn)閤-x-sinx S