數(shù)學建模模型PPT課件

1、動態(tài)動態(tài)模型模型 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程. 分析對象特征的變化規(guī)律. 預報對象特征的未來性態(tài). 研究控制對象特征的手段. 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù).微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設. 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.第1頁/共76頁5.1 傳染病模型傳染病模型 描述傳染病的傳播過程. 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律. 預報傳染病高潮到來的時刻. 預防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學角度分析各種傳染病的特殊機理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學模型.背景背景 與與問題問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本基本方法方法第2頁/共76頁 已感

2、染人數(shù) (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為 模型模型1假設假設ttititti)()()(若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?第3頁/共76頁sidtdi1)()(tits模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為 .)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為 , 且使接觸的健康人致病.建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日接觸率SI 模型模型第4頁/共76

3、頁teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻 (日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大第5頁/共76頁模型模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設增加假設SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為 日治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模 日接觸率1/ 感染期 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).0)0()1(iiiiidtdi)11 (ii / 第6頁/共76頁1,01,11)(i)11 (i

4、idtdi模型模型3i0i0接觸數(shù) =1 閾值1感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/ i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1, i01/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至01/ 閾值P3P4P2S0第12頁/共76頁ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛(wèi)生水平 (日治愈率) 醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計0ln1000sssis 降低 s0提高 r0 1000ris 提高閾值 1/ 降低 (

5、= / ) , 群體免疫忽略i0第13頁/共76頁模型模型4預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 降低日接觸率 提高日治愈率 提高移出比例r0 以最終未感染比例s 和病人比例最大值im為度量指標. 1/ s0i0s i 80.020.03980.3440.980.020.19650.1630.980.020.81220.020050.980.020.91720.020000.020.08400.1680.700.020.30560.050.700.02

6、0.65280.020050.700.020.67550.0200 , s0 (r0 )s , im s , im 第14頁/共76頁模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 經(jīng)濟增長的條件)1 (10120yfLyf11)1(000)1(1)(teKKfty 勞動力相對增長率第23頁/共76頁)()(000LKfyfLLyftZ0/100)1(00teKKdtdydtdZ0/0dtdZ0/, 1/000dtdZKK當每個勞動力的產(chǎn)

7、值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt03) 經(jīng)濟增長的條件dtdyyfdtdZ10勞動力增長率小于初始投資增長率第24頁/共76頁5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭.只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱.兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加.戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關.建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例.第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型. .第25頁/共76頁0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力. 每

8、方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比. 甲乙雙方的增援率為u(t), v(t).f, g 取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力模型模型假設假設模型模型第26頁/共76頁)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員 假設沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率， py 命中率第27頁/共76頁)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t), y(t)

9、而在相平面上討論 x 與 y 的關系.00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時平方律 模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝第28頁/共76頁游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員 假設沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率py 命中率py=sry /sxsx 甲方活動面積sry 乙方射擊有效面積第29頁/共76頁

10、)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律 模型甲方勝 0m平局 0mcddxdy第30頁/共76頁)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭模型混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須10倍于甲方的兵力!設 x0=100, rx/ry=1/2, p

11、x=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)第31頁/共76頁5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進入機體形成血藥濃度( (單位體積血液的藥物量).). 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設計. . 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動力學. . 建立房室模型藥物動力學的基本步驟. . 房室機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布( (血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉移. . 本節(jié)討論二室模型中心室( (心、肺、腎等) )和周邊室( (四肢、肌肉等).).第32頁/共76頁)()(02211131121tfxkxkxktx模型模型假設假設 中心室(1)

12、和周邊室(2), ,容積不變. . 藥物在房室間轉移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比. . 藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉移, , 從中心室排出體外. .模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktx 中心室周邊室給藥排除)(0tf12k21k13kc1(t), x1(t) V1c2(t), x2(t) V2轉移第33頁/共76頁tttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1)

13、,()(itcVtxiii線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立模型建立第34頁/共76頁)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射t=0 瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室, ,血藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率 f0(t) 和初始條件第35頁/共76頁1221131212122113121221321012222

14、1130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零0 t T 藥物以速率k0進入中心室第36頁/共76頁000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射相當于藥物( 劑量D0)先進入吸收室，吸收后進

15、入中心室.吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(210010 xkf )(0tx吸收室中心室D0第37頁/共76頁ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計參數(shù)估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射D0 , ,在ti(i=1,2,n)測得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設t ,由較大的 用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的 用最小

16、二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101第38頁/共76頁211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除第39頁/共76頁 建立房室模型, ,研究體內(nèi)血藥濃度變化過程, ,確定轉移速率、排除速率等參數(shù), ,為制訂給藥方案提供依據(jù). . 機理分析確定模型形式，測試分析估計模型參數(shù). .藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性( (一室) )模型12111)(ck

17、cktcc1較小時近似于線性 一級排除過程如c1較大時近似于常數(shù) 零級排除過程第40頁/共76頁 過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系? ? 人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中什么因素影響大，什么因素影響小什么因素影響大，什么因素影響小? ?模型模型分析分析 分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學模型煙過程的數(shù)學模型. . 設想一個設想一個“機器人機器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個過程中不變吸煙方式和外部環(huán)境在整個過程中不變. .問題問題

18、5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用第41頁/共76頁模型模型假設假設定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長，煙草長， l2過濾嘴長，過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l1 .2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=1.3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的毒物的(單位時間單位時間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 .4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度

19、是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v u.Q 吸一支煙毒物進入人體總量第42頁/共76頁)()(xxqxqlxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量w(x,t) 毒物密度1) 求q(x,0)=q(x)vx,)(,0,)(11lxlxqlxxbq流量守恒第43頁/共76頁),()(0tutuwtHHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetut

20、auwtlq21)(),(),(t 時刻，香煙燃至 x=ut1) 求q(x,0)=q(x)2) 求q(l,t)lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11)(),(1111lxlutlllxututxx第44頁/共76頁),(),(txwttxw3) 求w(ut,t)考察 t內(nèi)毒物密度的增量tvtxqb),(單位長度煙霧毒物被吸收部分)vutxbetaHtxq)()(),(),()(tutuwtH0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(0第45頁/共76頁

21、vabutvbutvlvblaeeeeaauw210uldttlqQ/01),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計算 Qvblavleebavaw1201Q 吸一支煙毒物進入人體總量第46頁/共76頁11vblar結果結果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 處的吸入量2) 過濾嘴因素， , l2 負指數(shù)作用vle2vlaMe2是毒物集中在x=l1 處

22、的吸入量3） (r) 煙草的吸收作用b, l1 線性作用第47頁/共76頁vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011帶過濾嘴不帶過濾嘴21QQb結果結果分析分析4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉.提高 -b 與加長l2，效果相同.第48頁/共76頁香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用 在基本合理的簡化假設下，用精確的數(shù)學工具解決一個看來不易下手的實際問題. 引入兩個基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運用物理學的守恒定律建立微分方程，構造動態(tài)模型. 對求解結果進行定性和定量

23、分析，得到合乎實際的結論.第49頁/共76頁背景背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長5.6 人口預測和控制人口預測和控制做出較準確的預報做出較準確的預報 建立人口數(shù)學模型建立人口數(shù)學模型 第50頁/共76頁指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯馬爾薩斯

24、1798年年提出提出常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻t的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口0)0(,xxrxdtdxtrextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長. 與常用公式的一致與常用公式的一致rtextx0)( ?第51頁/共76頁指數(shù)增長模型的應用及局限性指數(shù)增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合. 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代. 可用于短期人口增長預測. 不符合不符合1919世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世

25、紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律. . 不能預測較長期的人口增長過程不能預測較長期的人口增長過程. .1919世紀后人口數(shù)據(jù)世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )第52頁/共76頁阻滯增長模型阻滯增長模型邏輯斯蒂邏輯斯蒂( (Logistic) )模型模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設假設) 0,()(srsxrxrr固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是x的減函數(shù)mxrs 0)(mxr第53頁/共76頁rxdtdxxxrdt

26、dx)(dx/dtx0 xmxm/2x txxxemmrt( )()110tx0 x增加先快后慢xmx0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()(mxxrxr指數(shù)增長模型Logistic 模型的應用模型的應用 經(jīng)濟領域中的增長規(guī)律( (耐用消費品的售量).). 種群數(shù)量模型 (魚塘中的魚群, 森林中的樹木).S形曲線第54頁/共76頁參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm .模型的參數(shù)估計、檢驗和預報模型的參數(shù)估計、檢驗和預報 arty指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型rtextx0)(阻滯增長

27、模型阻滯增長模型)1 (mxxrxdtdxsxrymxrstxxxdtdxy,/0ln,lnxaxy由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用線性最小二乘法線性最小二乘法作參數(shù)估計作參數(shù)估計例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬) 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 tx第55頁/共76頁r =0.2022/10年，x0 =6.0450 模型的參數(shù)估計、檢驗和預報模型的參數(shù)估計、檢驗和預報 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型阻滯增長模型阻滯增長模型r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年實

28、際實際人口人口計算人口計算人口(指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型)計算人口計算人口 (阻滯增長模型阻滯增長模型)17903.96.03.918001960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型阻滯增長模型阻滯增長模型第56頁/共76頁模型檢驗模型檢驗用模型計算2000年美國人口/ )1990(1)1990()1990()1990()20

29、00(mxxrxxxxx誤差不到3%與實際數(shù)據(jù)(2000年281.4)比較=274.5模型的參數(shù)估計、檢驗和預報模型的參數(shù)估計、檢驗和預報 為做模型檢驗在參數(shù)估計時未用2000年實際數(shù)據(jù)模型應用模型應用加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0預報美國預報美國2010年的人口年的人口第57頁/共76頁考慮年齡結構和生育模式的人口模型考慮年齡結構和生育模式的人口模型)(),(,0),0(tNtrFtFm,),(rFtrp 年齡分布對于人口預測的重要性. 只考慮自然出生與死亡，不計遷移.人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程F(r,t)人口分布函數(shù)

30、(年齡r的人口)p(r,t)人口密度函數(shù)N(t)人口總數(shù)rm() 最高年齡rdstsptrF0),(),(第58頁/共76頁),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1第59頁/共76頁),(),(trptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程)(0rp)(tf0trrt rt rt )(),(

31、rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(0),()0 ,(0rrprp0),(), 0(ttftp定解條件已知函數(shù)(人口調(diào)查)生育率(控制手段)第60頁/共76頁21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率 f(t) 的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率

32、h生育模生育模式式)(),(rhtrh01r2rr第61頁/共76頁rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口控制系統(tǒng)人口控制系統(tǒng))(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp 正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大)(t輸入輸入輸出反饋第62頁/共76頁mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrp

33、tN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制 N(t)不過大控制 (t)不過高第63頁/共76頁5.7 煙霧的擴散與消失煙霧的擴散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題 炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形 成圓形不透光區(qū)域. 不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐 漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失. 建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分 析消失時間與各因素的關系.問題問題分析分析 無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程， 用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化. 觀察到的煙霧消失與煙霧對光線的吸收、 以及儀器對明暗的

34、靈敏程度有關.第64頁/共76頁Ckgradq模型模型假設假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風 的影響；擴散服從擴散定律.2）光線穿過煙霧時光強的相對減少與煙霧 濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強.3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分， 明暗界限由儀器靈敏度決定.模型模型建立建立1）煙霧濃度 的變化規(guī)律),(tzyxC擴散定律：擴散定律：單位時間通過單位法向單位時間通過單位法向面積的流量面積的流量q與濃度與濃度C的的梯度成正梯度成正比比. . 第65頁/共76頁)div(gradCktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdQnq1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改

35、變量sVdVdqnqdiv曲面積分奧氏公式1）煙霧濃度 的變化規(guī)律),(tzyxCVdVCk) div(grad12QQ的微分形式，并利用積分中值定理222222zCyCxCk第66頁/共76頁ktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件Q炮彈釋放的煙霧總量 單位強度的點源函數(shù) 對任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當 t, 對任意點(x,y,z), C01）煙霧濃度 的變化規(guī)律),(tzyxC第67頁/共76頁)()(lIlCdldI2）光強穿過煙霧時的變化規(guī)律假設2）光強的相對減少與煙霧濃度成正比.lldssCeIlI0)(0)(I(l) 沿l方向的光強， C(l) 沿l方向的煙霧強度記未進入煙霧(l l0)時光強為 I(l0)=I0第68頁/共76頁1),(dztzyxCe觀測結果為暗儀器