高等數(shù)學課件：2-8函數(shù)的連續(xù)性

1、首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 一、函數(shù)改變量三、函數(shù)的間斷點2.8 函數(shù)的連續(xù)性五、在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、連續(xù)函數(shù)的運算法則六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限二、連續(xù)函數(shù)的概念首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 一、函數(shù)改變量 定義211(函數(shù)的改變量) 設變量t從它的初值t1改變到終值t2 終值與初值之差t2t1 稱為變量t的改變量 記作tt2t1 設有函數(shù)yf(x) 當自變量x從x0改變到x0 x時 函數(shù)y相應的改變量為xyyf(x0 x)f(x0)首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 定義211(函數(shù)的改變量) 設變量t從它的初值t1改變到終

2、值t2 終值與初值之差t2t1 稱為變量t的改變量 記作tt2t1 設有函數(shù)yf(x) 當自變量x從x0改變到x0 x時 函數(shù)y相應的改變量為一、函數(shù)改變量 例如 正方形的邊長x產(chǎn)生一個x的改變量 面積的改變量為 y(xx)2x22xx(x)2 yf(x0 x)f(x0)xx2xy xxxxx當邊長由2m改變到2.05m,面積改變量為)(2025. 0)05. 0(05. 02222my當邊長由2m改變到1.95m,面積改變量為).(1975. 0)05. 0()05. 0(2222my2)( x首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 二、連續(xù)函數(shù)的概念 定義212(函數(shù)在一點的連續(xù)

3、性) 設函數(shù)yf(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義某個鄰域內(nèi)有定義 如果當自變量x在點x0處取得的改變量 x趨于趨于0時時 函數(shù)相應的改變量相應的改變量 y也趨也趨于于0 即0lim0yx 或?qū)懽鲃t稱函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù) 0lim0yx 或?qū)懽?)()(lim000 xfxxfx xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xx00 xx y )(xfy 00yx0lim0yx即0lim0yx即首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 二、連續(xù)函數(shù)的概念 定義212(函數(shù)在一點的連續(xù)性) 設函數(shù)yf(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義 如果0lim0yx 或?qū)懽?)()(lim0

4、00 xfxxfx 則稱函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù) 解 例1 證明函數(shù)yx2在給定點x0處連續(xù) 當x從x0處產(chǎn)生一個改變量x時 函數(shù)yx2的相應改變量為 y(x0 x)2x022x0 x(x)2 因為 0)(2limlim2000 xxxyxx 所以yx2在給定點x0處連續(xù) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 二、連續(xù)函數(shù)的概念 定義212(函數(shù)在一點的連續(xù)性) 設函數(shù)yf(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義 如果0lim0yx 或?qū)懽?)()(lim000 xfxxfx 則稱函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù) y f (x0 x)f (x0)f (x)f (x0) 因為所以).()(l

5、im0lim000 xfxfyxxx首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 二、連續(xù)函數(shù)的概念 定義212(函數(shù)在一點的連續(xù)性) 設函數(shù)yf(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義 如果0lim0yx 或?qū)懽?)()(lim000 xfxxfx 則稱函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù) 定義213(連續(xù)性的等價定義) )()(lim00 xfxfxx 設函數(shù)yf(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義 如果則稱函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù) 例1已證y=x2在x0連續(xù),故有.lim2020 xxxx首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 說說明明：)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)要要滿滿足足三三條條：

6、 （1 1）)(xf在在0 x處處有有定定義義, ,即即)(0 xf存存在在； )()(lim00 xfxfxx .0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例例2證證, 01sinlim0 xxx, 0)0(f又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在所所以以函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx)()(lim00 xfxfxx 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 定義214(函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上每一點都連續(xù) 則稱f(x)在a, b上連續(xù) 并稱a, b是f(x)的連續(xù)區(qū)間 說明 f(x)在左端點 a 連續(xù)是指滿

7、足)()(limafxfax f(x)在右端點 b 連續(xù)是指滿足)()(limbfxfbx 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 證 例3 證明ysin x在(, )內(nèi)連續(xù) 設x0是(, )內(nèi)任意一點 則有 )2cos(2sin2sin)sin(000 xxxxxxy)2cos(2sin2sin)sin(000 xxxxxxy 可見 當x0時 y是有界變量與無窮小量的積 也是無窮小量 即 0lim0yx 所以ysin x在點x0處連續(xù) 又因x0是(, )內(nèi)任意一點 所以ysin x在(, )內(nèi)連續(xù) 定義214(函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)性) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上每一點都連續(xù)

8、則稱f(x)在a, b上連續(xù) 并稱a, b是f(x)的連續(xù)區(qū)間 類似可證y=cosx在(, )內(nèi)連續(xù) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 2limsinxx2sin(lim )sin12xx 連續(xù)函數(shù)在求極限中的作用 求連續(xù)函數(shù)在某點的極限 只須求出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可 即即:對于連續(xù)函數(shù)對于連續(xù)函數(shù) 極限符號與函數(shù)符號可以交換極限符號與函數(shù)符號可以交換 如果函數(shù)在一點x0處連續(xù) 則 )lim()()(lim000 xfxfxfxxxx 例如 因為yx2在點x0處連續(xù) 故有 2020limxxxx 又如 因為ysin x在任意一點連續(xù) 所以有 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三

9、版) 教學課件 三、函數(shù)的間斷點 定義215(函數(shù)的間斷點) 如果函數(shù)f(x)在點x0處不滿足連續(xù)條件 則稱函數(shù)f(x)在點x0 處不連續(xù) 或者稱函數(shù)f(x)在點x0處間斷 點x0稱為f(x)的間斷點 間斷點的確定 如果函數(shù)f(x)在點x0處有下列三種情形之一 則點x0稱為f(x)的間斷點 (1)在點x x 0處 f (x) 沒有定義 (2)(lim0 xfxx不存在 (3)雖然 f(x0)有定義 )(lim0 xfxx存在 但)()(lim00 xfxfxx 不成立為間斷點)()(lim000 xfxfxxx首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 解 解 因為xy1在點 x0 處沒

10、有定義 所以xy1在點 x0 處間斷 例 3 考察xy1在點 x0 處的連續(xù)性 如果函數(shù)在間斷點處的極限為無窮大 則稱這種間斷點為無窮間斷點 4.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 解 f(x)在點x0處有定義1)(lim0 xfx 1)(lim0 xfx 1)(lim0 xfx f(x)在點x0處左右極限不相等)(lim0 xfx不存在 因此 f(x)在點x0處間斷 但是即極限 例 4 設0 10 00 1)(xxxxxxf 考察函數(shù) f(x)在點x0處的連續(xù)性 如果函數(shù)在間斷點的左、右極限存在但不相等 我們稱這種間斷點為跳躍間斷點 5.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版)

11、教學課件 例 5 設1 11 1)(xxxxf 考察函 數(shù)f(x)在點x1處的連續(xù)性 解 f(x)在點x1處有定義 但所以 f(x)在點x1處間斷 f(1)1 2) 1(lim)(lim11xxfxx ) 1 (2)(lim1fxfx 如果函數(shù)在間斷點的左、右極限存在并相等 只是不等于該點的函數(shù)值 那么我們稱這種間斷點為可去間斷點 6. 因為我們可以重新定義函數(shù)在該點的值,使得函數(shù)在該點連續(xù).例如本例中可重新定義f(1)=2.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 函數(shù)f(x)在點x0處沒有定義 所以f(x)在點x0處間斷 解 01limsinxx不存在 當 x0 時 1sinx在1

12、 與 1 之間振蕩 本例中的間斷點x0稱為振蕩間斷點 定義216(間斷點的類型) 如果函數(shù)f(x)在點xx0處的左、右極限都存在 但不全等于f(x0) 則稱點x0為f(x)的第一類間斷點 如果函數(shù)f(x)在點xx0處的左右極限至少有一個不存在 則稱點xx0為f(x)的第二類間斷點 例 6 設1(x) sinfx 函數(shù) f(x)在點x0 處的連續(xù)性 考察 7.xy1sin 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 解 在x0處 f(x)無定義 0lim( )xf x 所以點x0是f(x)的第二類間斷點 且為無窮間斷點 且 例 7 設 22110( )4122xxxf xxxxx且且 求函

13、數(shù)的間斷點 并判斷其類型 8.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 在x1處 f(1)1 但 2111lim( ) lim1xxf xx 11lim( ) lim( )xxf xf x 所以點x1是f(x)的第一類間斷點 且為跳躍間斷點 2111lim( ) lim1xxf xx2111lim( ) lim1xxf xx 2114lim( ) lim32xxxf xx2111lim( ) lim1xxf xx 2114lim( ) lim32xxxf xx2114lim( ) lim32xxxf xx2114lim( ) lim32xxxf xx 例 7 設 22110( )412

14、2xxxf xxxxx且且 求函數(shù)的間斷點 并判斷其類型 解 8.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 在x2處 f(x)無定義 但 22224lim( )lim( ) lim42xxxxf xf xx所以點x2是f(x)的第一類間斷點且為可去間斷點 補充函數(shù)在x2處的定義 即令f(2)4 則函數(shù)f(x)在x2處連續(xù) 22224lim( )lim( ) lim42xxxxf xf xx22224lim( )lim( ) lim42xxxxf xf xx 例 7 設 22110( )4122xxxf xxxxx且且 求函數(shù)的間斷點 并判斷其類型 解 8.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (

15、第三版) 教學課件 四、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理213 證 因為f(x)與g(x)在點x0處連續(xù) 所以有 )()(lim00 xfxfxx及)()(lim00 xgxgxx 因此 根據(jù)極限運算法則有 )()()(lim)(lim)()(lim00000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx所以 f(x)g(x)在點x0處連續(xù) 其他情形可類似地證明 )()()(lim)(lim)()(lim00000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx)()()(lim)(lim)()(lim00000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx 如果函數(shù)f(x)與g(x)在點x0處連續(xù) 則函數(shù) 在點x0處也連續(xù) )

16、()(xgxf )()(xgxf )0)( )()(0時當xgxgxf 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 四、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理213 如果函數(shù)f(x)與g(x)在點x0處連續(xù) 則函數(shù) 在點x0處也連續(xù) )()(xgxf )()(xgxf )0)( )()(0時當xgxgxf 結(jié)論 可以證明基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù) 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 利用此定理可證:(1)多項式函數(shù) y=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an在R內(nèi)連續(xù);(2)分式函數(shù)mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxay11101110在定義域內(nèi)連續(xù);(3)已證函數(shù)y=sinx在

17、R內(nèi)連續(xù),類似可證 y=cosx在R內(nèi)連續(xù);從而函數(shù) y=tanx, y=cotx在定義域內(nèi)連續(xù).首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 五、在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理214(有界性定理) 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù) 則f(x)在這個區(qū)間上有界 定理215(最大值與最小值定理) 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù) 則它在這個區(qū)間上一定有最大值與最小值 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 定理216(介值定理) 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù) m與M分別為f(x)在a, b上的最大值與最小值 則對介于m與M之間的任一實數(shù)c(即mcM) 至少

18、存在一點(a, b) 使得f()c 推論 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 則至少存在一點(a, b) 使得f()0 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 證 例9 利用介值定理證明方程x33x2x30在區(qū)間(2, 0) (0, 2) (2, 4)內(nèi)各有一個實根 根據(jù)介值定理推論可知存在1(2, 0) 2(0, 2) 3(2, 4) 設f(x) x33x2x3 可計算出f(2)=150 f(0)=30 f(2)=90 f(4)=150 由于三次方程只能有三個根 所以在各區(qū)間內(nèi)只存在一個實根 這表明1 2 3為給定方程的實根 使f(1)0 f(2)0

19、 f(3)0首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 解 20ecoslimarcsin(1)xxxx0e cos012arcsin12六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限 解 20ecoslimarcsin(1)xxxx0e cos012arcsin1220ecoslimarcsin(1)xxxx0e cos012arcsin1220ecoslimarcsin(1)xxxx0e cos012arcsin12 例 9 求22limsin(4) lg(8)xxx sin(x24)lg(x8)為初等函數(shù) 在x2處連續(xù) 所以 解 22222limsin(4) lg(8) sinlim(4) lgli

20、m(8)xxxxxxxsin0lg101 22222limsin(4) lg(8) sinlim(4) lglim(8)xxxxxxx 例 10 求20ecoslimarcsin(1)xxxx 10. 11利用函數(shù)連續(xù)性)()(lim00 xfxfxx 可以方便地求出初等函數(shù)的極限.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學課件 例 11 求0ln(1)limxxx 解 11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)lne 1xxxxxxxxx 解 11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)lne 1xxxxxxxxx11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)lne 1xxxxxxxxx11000ln(1)limlimln(1)lnlim