高等數(shù)學(xué)課件：5-1不定積分的概念

1、首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 一、原函數(shù)二、不定積分三、不定積分的幾何意義5.1 不定積分的概念首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 一、原函數(shù) 例1 如果已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為sf(t) 則此物體的速度是距離s對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) 一個(gè)相反問題是 已知物體運(yùn)動(dòng)的速度v是時(shí)間t的函數(shù)vv(t) 求物體的運(yùn)動(dòng)方程sf(t) 使它的導(dǎo)數(shù)f (t)等于已知函數(shù)v(t) 例2 如果已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量P是時(shí)間t的函數(shù)PP(t) 則該產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是產(chǎn)量對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)PP(t) 一個(gè)相反問題是 已知某產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t的函數(shù)P(t) 求該產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)P(t) 首頁上一頁下一頁結(jié)

2、束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 定義51(原函數(shù)) 設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù) 如果存在一個(gè)函數(shù)F(x) 對于該區(qū)間上每一點(diǎn)都滿足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx則稱函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù) 例3 在區(qū)間(, )內(nèi) 已知函數(shù)f(x)2x 由于函數(shù)F(x)x2滿足 F (x)(x2)2x 同理 x21 x2C(C是常數(shù))都是2x的原函數(shù) 所以F(x)x2是f(x)2x的一個(gè)原函數(shù)首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 21()2sgtgt 21()2gtCgt 因?yàn)?12sgt及212gtC(C 是常數(shù))滿足 例4 在0 T上 已知函

3、數(shù)vgt(g是常數(shù)) 定義51(原函數(shù)) 設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù) 如果存在一個(gè)函數(shù)F(x) 對于該區(qū)間上每一點(diǎn)都滿足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx則稱函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù) 所以212sgt和212gtC都是 gt 的原函數(shù) 問題：問題：(1)一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否存在？(2) 如果原函數(shù)存在如果原函數(shù)存在,是否唯一？首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù) .原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).唯一性？唯

4、一性？（1 1）若若)(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則對對任任何何常常數(shù)數(shù)C, , CxF )(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)； （2 2）設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則)(xf的的任任一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(xG與與)(xF最最多多相相差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù), ,即即CxFxG )()(. . )()( )()(xGxFxGxF 0)()( xfxf.)()(CxFxG 所以所以首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 其中記號稱為積分號 f(x)稱為被積函數(shù) f(x)dx 稱為被積表達(dá)式 x 稱為積分變量 ( )df xx 二

5、、不定積分 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分 記作 根據(jù)定義 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù) 則其中C是任意常數(shù) 稱為積分常數(shù) 定義52(不定積分) ( )d( )f xxF xC 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 所以 233dxxxC ( )d( )f xxF xC 二、不定積分 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù) 則f(x)的不定積分為定義52(不定積分) 解 例5 求函數(shù)f(x)3x2的不定積分 因?yàn)?(x3)3x2 其中C是任意常數(shù) 稱為積分常數(shù) ( )df xx 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第

6、三版) 教學(xué)課件 1dln| |xxCx(x0) 1dln()xxCx(x0) 1dlnxx Cx(x0) 解 解 當(dāng) x0 時(shí) xx1)(ln 當(dāng) x0 時(shí) xxx1) 1(1 )ln(合并上面兩式 得到 當(dāng) x0 時(shí) xxx1) 1(1 )ln(xxx1) 1(1 )ln( 所以 xxx1) 1(1 )ln( 所以 解 當(dāng) x0 時(shí) xx1)(ln 所以 xx1)(ln 所以 例 6 求函數(shù)xxf1)(的不定積分 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 由三、不定積分的幾何意義 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的原函數(shù)有無限多個(gè) 所以函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多條 函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線 而f(x)正是積分曲線的斜