函數(shù)極限和連續(xù)

1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 : y=f(x), xD 定義域 : D(f), 值域 : Z(f). 2. 分段函數(shù) : 21)()(DxxgDxxfy3. 隱函數(shù) : F(x,y)= 0 4. 反函數(shù) : y=f(x) x= (y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理 : 如果函數(shù) : y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加( 或減少 )的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是嚴(yán)格單調(diào)增加( 或減少 ) 的。 函數(shù)的幾何特性1. 函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x

2、2D 當(dāng) x1x2時(shí), 若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x) 在 D內(nèi)單調(diào)增加 ( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)單調(diào)減少 ( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若 f(x1) f(x2), 則稱 f(x)在 D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2. 函數(shù)的奇偶性：D(f) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)： f(-x)=f(x) 奇函數(shù)： f(-x)=-f(x) 3. 函數(shù)的周期性：周期函數(shù)： f(x+T)=f(x), x(- ， +) 周期： T最小的正數(shù) 4. 函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x (a,b) 基本初等函數(shù)1. 常數(shù)函

3、數(shù)： y=c ， (c為常數(shù) ) 2. 冪函數(shù)： y=xn , (n為實(shí)數(shù) ) 3. 指數(shù)函數(shù)： y= ax , (a0、 a1) 4. 對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1) 5. 三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6. 反三角函數(shù)： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x) y=f (x) , xX 2. 初等函數(shù) : 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成

4、的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)1.2 極 限一、主要內(nèi)容極限的概念1.數(shù)列的極限 : Aynnlim稱數(shù)列ny以常數(shù) A 為極限 ; 或稱數(shù)列ny收斂于 A. 定理 : 若ny的極限存在ny必定有界 . 2. 函數(shù)的極限：當(dāng)x時(shí)，)(xf的極限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim當(dāng)0 xx時(shí)，)(xf的極限：Axfxx)(lim0左極限：Axfxx)(lim0右極限：Axfxx)(lim0函數(shù)極限存的充要條件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000無(wú)窮大量和無(wú)窮小量1無(wú)窮大量：)(limxf稱在該變化過(guò)程中)(xf為無(wú)窮大量。X 再某個(gè)變

5、化過(guò)程是指：,xxx000,xxxxxx2無(wú)窮小量：0)(limxf稱在該變化過(guò)程中)(xf為無(wú)窮小量。3無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：定理：)0)( ,)(1lim0)(limxfxfxf4無(wú)窮小量的比較：0lim,0lim若0lim,則稱 是比 較高階的無(wú)窮小量；若clim（c 為常數(shù)），則稱 與同階的無(wú)窮小量；若1lim，則稱 與是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作： ；若lim,則稱 是比 較低階的無(wú)窮小量。定理： 若：；，2211則：2121limlim兩面夾定理1數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：nnnzxy（n=1、2、3）且：azynnnnlimlim則：axnnlim2函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：對(duì)

6、于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn) x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00則：Axfxx)(lim0極限的運(yùn)算規(guī)則若：BxvAxu)(lim,)(lim則：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)( l i m xv推論：)()()(lim21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxucnnxuxu)(lim)(lim兩個(gè)重要極限 1 1sinlim0 xxx或1)()(si

7、nlim0)(xxx 2 exxx)11(limexxx10)1(l i m1.3 連續(xù)一、主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在0 x處連續(xù)：)(xf在0 x的鄰域內(nèi)有定義，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx2o)()(lim00 xfxfxx左連續(xù)：)()(lim00 xfxfxx右連續(xù)：)()(lim00 xfxfxx2.函數(shù)在0 x處連續(xù)的必要條件：定理：)(xf在0 x處連續(xù))(xf在0 x處極限存在3. 函數(shù)在0 x處連續(xù)的充要條件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx4.函數(shù)在ba,上連續(xù)：)(xf在ba,上每一點(diǎn)都

8、連續(xù)。在端點(diǎn)a和b連續(xù)是指：)()(limafxfax左端點(diǎn)右連續(xù)；)()(l i mbfxfbx右端點(diǎn)左連續(xù)。a+0 b-x 5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)：若)(xf在0 x處不連續(xù)，則0 x為)(xf的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況：1o) (xf在0 x處無(wú)定義；2o)(lim0 xfxx不存在；3o) (x f在0 x處有定義，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。兩類間斷點(diǎn)的判斷：1o第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在。可去間斷點(diǎn) ：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或) (x f在0 x處無(wú)定義。2o第

9、二類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一個(gè)為，或)(lim0 xfxx振蕩不存在。無(wú)窮間斷點(diǎn) ：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一個(gè)為函數(shù)在0 x處連續(xù)的性質(zhì)1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè))()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx0)(lim0 xgxx2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：)(),(),(xfyxuufy)()(lim),()(lim0)(000 xfufxxx

10、uxx則：)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx3.反函數(shù)的連續(xù)性：)(),(),(001xfyxfxxfy)()(l i m)()(l i m011000yfyfxfxfyyxx函數(shù)在,ba上連續(xù)的性質(zhì)1.最大值與最小值定理：)(xf在,ba上連續(xù))(xf在,ba上一定存在最大值與最小值。y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2.有界定理：)(xf在,ba上連續(xù))(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上連續(xù)在),(ba內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：cf)(，其中：Mcmy y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0

11、 a 12b x 推論：)(xf在,ba上連續(xù)，且)(af與)(bf異號(hào)在),(ba內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：0)(f。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)：)(xfy在0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，xxfxxfxyxx)()(l i ml i m000000)()(lim0 xxxfxfxx00)(0 xxxxdxdyxfy2左導(dǎo)數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右導(dǎo)數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx定理：)(xf在0 x的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；則：)(l

12、im)(00 xfxfxx（或：)(lim)(00 xfxfxx）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：定理：)(xf在0 x處可導(dǎo))(xf在0 x處連續(xù)4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.導(dǎo)函數(shù)：),(xfy),(bax)(xf在),(ba內(nèi)處處可導(dǎo)。y )(0 xf)(xf6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：y)(0 xf是曲線)(xfy上點(diǎn)x00, yxM處切線的斜率。o x0 x 求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：1ovuvu)（2ovuvuvu)（3o2vvuvuvu)0(v3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)(),(),(xfyxuufydxdududydx

13、dy，或)()()(xxfxf注意)(xf與)(xf的區(qū)別：)(xf表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x求導(dǎo)；)(xf表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量)(x求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)：)(),(),()3(xfxfxf或)4,3,2(, )()()1()(nxfxfnn函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)等于其n-1 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念1.微分：)(xf在x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，)()(xoxxAy其中：)(xA與x無(wú)關(guān)，)( xo是比x較高階的無(wú)窮小量，即：0)(lim0 xxox則稱)(xfy在x處可微，記作：xxAdy)(dxxAdy)()0( x2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：定理：)(xf在x處可微)(xf在x處可導(dǎo)，且：)()(xAx

14、f3.微分形式不變性：duufdy)(不論 u 是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分dy都具有相同的形式。2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理 : )(xf滿足條件 : .0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使 得存 在 一 點(diǎn)內(nèi) 至 少在內(nèi) 可 導(dǎo)在上 連 續(xù) ；在y )(f)(f)(xf)(xfa o b x a o b x 2.拉格朗日定理：)(xf滿足條件 : abafbffbababa)()()(),(),(2,100， 使 得 ：在 一 點(diǎn)內(nèi) 至 少 存在內(nèi) 可 導(dǎo) ；在上 連 續(xù) ，在羅必塔法則： （,00型未定式）定理

15、：)(xf和)(xg滿足條件：1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在點(diǎn) a 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax則：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax注意： 1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。即不是00型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。4o若)(xf和)(xg還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)

16、()()(5o若函數(shù)是,0型可采用代數(shù)變形，化成00或型；若是00,0,1型可采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成00或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：),(),(00yxMxfy切線方程：)(000 xxxfyy法線方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy2 曲線的單調(diào)性：),(0)(baxxf內(nèi)單調(diào)增加；在),()(baxf),(0)(baxxf內(nèi) 單 調(diào) 減 少在),()(baxf),(0)(baxxf內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；在),(ba),(0)(baxxf內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) 減 少在),(ba3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè))(xf在),(ba內(nèi)有定義，0 x是),(ba內(nèi)的一點(diǎn)；若

17、對(duì)于0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)0 xx，都有：)()()()(00 xfxfxfxf或則稱)(0 xf是)(xf的一個(gè)極大值（或極小值），稱0 x為)(xf的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。極值存在的必要條件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在極值0 x稱為)(xf的駐點(diǎn)極值存在的充分條件：定理一：是極值點(diǎn)。是極值；時(shí)變號(hào)。過(guò)不存在；或處連續(xù)；在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf當(dāng)x漸增通過(guò)0 x時(shí)，)(xf由（ +）變（ -） ；則)(0 xf為極大值；當(dāng)x漸增通過(guò)0 x時(shí)，)(xf由（ -）變（ +） ；則)(0 xf

18、為極小值。定理二：是極值點(diǎn)。是極值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf若0)(0 xf，則)(0 xf為極大值；若0)(0 xf，則)(0 xf為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。 4 曲線的凹向及拐點(diǎn)：若baxxf,0)(； 則)(xf在),(ba內(nèi)是上凹的 （或凹的），（） ；若baxxf, 0)(；則)(xf在),(ba內(nèi)是下凹的（或凸的） ， （） ；的拐點(diǎn)。為稱時(shí)變號(hào)。過(guò)，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf5。曲線的漸近線：水平漸近線：的 水 平 漸 近 線 。是或若)()(l i m)(l i mxfAyAxf

19、Axfxx鉛直漸近線：的鉛直漸近線。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx第三章一元函數(shù)積分學(xué)3.1 不定積分一、主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)：DxxFxf),(),(若：)()(xfxF則稱)( xF是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，并稱CxF)(是)( xf的所有原函數(shù) , 其中 C 是任意常數(shù)。2不定積分：函數(shù))( xf的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù))(xf的不定積分；記作：CxFdxxf)()(其中：)(xf稱為被積函數(shù)；dxxf)(稱為被積表達(dá)式；x稱為積分變量。3. 不定積分的性質(zhì)：)()(xfdxxf或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxd

20、f)()(dxxfxfxfn)()()(21dxxfdxxfdxxfn)()()(21分項(xiàng)積分法dxxfkdxxkf)()(k 為非零常數(shù) ) 4.基本積分公式：換元積分法：第一換元法： （又稱“湊微元”法）dxxxf)()()()(xdxf湊 微 元CtFdttfxt)()()(令CxFxt)()(回代常用的湊微元函數(shù)有：1o )(1)(1baxdaaxdadx)0,(aba為 常 數(shù) ，2o )()1(11111baxdmadxmdxxmmm為常數(shù)）（m3o )(1)(baedaeddxexxx)1, 0(),(ln1aaadadxaxx4o )(ln1xddxx5o)(sincos)(c

21、ossinxdxdxxddx)( co tcsc)( t a ns e c22xdxdxxdxdx6o)(arccos)(arcsin112xdxddxx)o t()( a r ct a n112xa r cdxddxx2.第二換元法：)()()()(tdtfdxxftx令CtFdxtft)()()(CxFxt)(1)(1反 代第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1o0,tntxn為偶數(shù)時(shí)(當(dāng)被積函數(shù)中有nx時(shí)) 2o20),cos(,sintxaxtax或(當(dāng)被積函數(shù)中有22xa時(shí)) 3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或(當(dāng)被

22、積函數(shù)中有22xa時(shí)) 4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或(當(dāng)被積函數(shù)中有22ax時(shí) ) 分部積分法：1. 分部積分公式：vd xuvudxvuvduvuudv2.分部積分法主要針對(duì)的類型：xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)(xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin其中：nnnaxaxaxP110)(（多項(xiàng)式）3.選 u 規(guī)律：在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令uxP)(，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選多” 。在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令ux

23、P)(，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多選多” 。在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令uxln，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)” 。在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為 u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反” 。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為 u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選” 。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：1. 有理函數(shù)：)()()(xQxPxf其中)()(xQxP和是多項(xiàng)式。2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf)()()(bxaxxPxfbaxxPxf2)()()(3.2 定積分f(x) 一主要內(nèi)容（一） .重要概念與性質(zhì)1.定積分的定義：O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1

24、 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x 軸，曲線y=f(x), 直線 x=a,x=b 之間各部分面積的代數(shù)和。x 軸上方的面積取正號(hào)，y x 軸下方的面積取負(fù)號(hào)。+ + a 0 - b x 2.定積分存在定理：baxxfy,)(設(shè)：若： f(x) 滿足下列條件之一: ;,)(.2;,)(.1點(diǎn)上有有限個(gè)第一類間斷在連續(xù)，baxfbaxxf上可積。在則：上單調(diào)有界在baxfbaxf,)(;,)(.3若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：上 任 意 選 取 ?？?以 在的 選 取 無(wú) 關(guān) ， 即與 點(diǎn)可

25、 以 任 意 劃 分上 的 劃 分 無(wú) 關(guān) ， 即與 在即與 積 分 變 量 形 式 無(wú) 關(guān) ，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,2;)()(1有關(guān)。與區(qū)間積分值僅與被積函數(shù),)(baxf3.牛頓萊布尼茲公式：)()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba則：上的任意一個(gè)原函數(shù)：在是連續(xù)函數(shù)若*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問(wèn)題。4.原函數(shù)存在定理：)()()(,)()(,)()(,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且 ：上 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ，在是則

26、：連 續(xù) ，若5.定積分的性質(zhì)：上 可 積 ， 則在設(shè),)(),(baxgxfbabadxxfkdxxkf)()(1abbadxxfdxxf)()(20)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa)()()()(5bcadxxfdxxfxfbccabaabdxba16y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7則上 的 最 小 值 和 最 大 值 。在分 別 為其 中估 值 定 理 ：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8y y

27、 M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x )()()(,)(9abfdxxfbabaxxfba使則 ： 必 存 在 一 點(diǎn)連 續(xù)若積 分 中 值 定 理 ：（二）定積分的計(jì)算：1.換元積分)(,)(txbaxxf，連續(xù)，設(shè),)(tt 連續(xù)，若,)(,)(,)(babatt變到單 調(diào) 地 從時(shí)，變到從且當(dāng)dtttfdxxfba)()()(則：2.分部積分bababavd uvuu d v3.廣義積分00)()()(dxxfdxxfdxxf4.定積分的導(dǎo)數(shù)公式)()(1xfdttfxax（)()()(2)(xxfdttfxxa)()()()()(31122)()(21xxfxx

28、fdttfxxx(三)定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積: )(,0)(1babxaxxfy由與 x 軸所圍成的圖形的面積y f(x) badxxfs)()(),(),(221gfxgyxfy由dxxgxfsbxaxba)()(,所圍成的圖形的面積與)(),(),(321yxyx由dyyysdycydc)()(,所圍成的圖形的面積與：求平面圖形面積的步驟.4.求出曲線的交點(diǎn)，畫(huà)出草圖；.確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；.應(yīng)用公式寫(xiě)出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。2.旋轉(zhuǎn)體的體積bxaxxfy,0)(1與曲線及 x 軸所圍圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：dxxfVbax)(20 a b x dycyyx

29、,0)(2與由曲線及 y軸所圍成圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：dyyVdcy)(2第四章多元函數(shù)微積分初步 4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：.多元函數(shù)的概念3.二元函數(shù)的定義：Dyxyxfz),(),()( fD定義域：4.二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1.極限定義：設(shè)z=f(x,y) 滿足條件：的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。在點(diǎn)),(100yx可 除 外 ）（點(diǎn)),(00yxAyxfyyxx),(lim200。極限存在，且等于在則稱Ayxyxfz),(),(002.連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y) 滿足條件：的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。在點(diǎn)

30、),(100yx),(),(lim20000yxfyxfyyxx處連續(xù)。在則稱),(),(00yxyxfz.偏導(dǎo)數(shù)：點(diǎn)在定義),(),(:00yxyxfxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000的偏導(dǎo)數(shù)。處對(duì)在分別為函數(shù)yxyxyxfyxfyxfyx,),(),(),(),(000000處的偏導(dǎo)數(shù)記為：內(nèi)任意點(diǎn)在),(),(yxDyxfzxxzxzxyxfyxf),(),(yyzyzyyxfyxf),(),(.全微分：1.定義： z=f(x,y) ),(),(yxfyyxxfz若)(oyBxA）是比（無(wú)關(guān)，、與、其中，oyxBA較 高 階 的 無(wú) 窮 小 量 。22yxyBxAyxdfdz),(:則),(yxfz是在點(diǎn) (x,y) 處的全微分。3.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.),(),(),(Dyxyxfyxfyx連續(xù)，定理：若處可微且在點(diǎn)則：),(),(yxyxfzdyyxfdxyxfdzyx),(),(.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.),(),(),(yxvvyxuuvufz設(shè)：),(),(yxvyxufzxvvzxuuz