一道浙江省高考數(shù)學(xué)題的競賽背景分析

1、    一道浙江省高考數(shù)學(xué)題的競賽背景分析    沈東蕓+王向東摘 要： 由于競賽數(shù)學(xué)和高考制度的改革，高考數(shù)學(xué)與競賽數(shù)學(xué)的聯(lián)系越來越緊密，出現(xiàn)了很多以競賽數(shù)學(xué)為背景命制的高考題.本文以2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷壓軸題數(shù)列問題為例，探究其競賽背景及二者的區(qū)別和聯(lián)系，以及給出數(shù)列這一模塊知識的教學(xué)啟示.關(guān)鍵詞： 高考題；競賽數(shù)學(xué)；數(shù)列一、 引言競賽數(shù)學(xué)是指主要研究imo試題、imo候選題和各國各類競賽題的體系，涉及幾何、數(shù)論、代數(shù)、組合這幾個模塊的知識，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.近年來，一些競賽試題已經(jīng)滲透到高中數(shù)學(xué)試題中，特別是高考數(shù)學(xué)題.例如，筆者在201

2、7年的數(shù)學(xué)高考卷中發(fā)現(xiàn)浙江卷文理科壓軸題就有濃厚的競賽數(shù)學(xué)背景.這道壓軸題是有關(guān)數(shù)列的問題，數(shù)列問題作為高中數(shù)學(xué)和競賽數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，筆者認(rèn)為有必要對高考題和競賽題中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究.因此，本文以2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷壓軸題為例，對其競賽數(shù)學(xué)背景進(jìn)行分析.二、 問題及其背景分析問題1 （2017·高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第22題） 已知數(shù)列an滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n n *）.證明：當(dāng)n n *時(shí)，（1）0<xn+1< p>（2）2xn+1-xn xnxn+1 2 ；（3） 1 2n-1 xn 1 2n-2 .解析： （1）用數(shù)學(xué)歸納

3、法證明.（2）略.（3）由2xn+1-xn xnxn+1 2 ，得 1 2n+1xn+1 1 2nxn - 1 2 n+2.將 1 2nxn 1 2n-1xn-1 - 1 2 n+1，.， 1 22x2 1 21x1 - 1 2 2累加，得 1 xn 2n-2+ 1 2 >2n-2，所以xn 1 2n-2 ，右邊得證.又因?yàn)閘n（1+xn+1）xn+1，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）2xn+1，即 xn+1 xn 1 2 ，因此 xn x1 = xn xn-1 · xn-1 xn-2 ·· x2 x1 1 2n-1 ，左邊得證。問題2 （2011&

4、#183;全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽） 已知數(shù)列an滿足：a1= 1 3 ，an+1=an+ a2n n2 ，n n *.證明：對一切n n *，有（1）an 1 2 - 1 4n .解析： （1）由題意易知，an>0，故an+1-an= a2n n2 >0，從而an+1=an+ a2n n2 - 1 n2 .當(dāng)n2時(shí)，將 1 an - 1 an-1 >- 1 （n-1）2 ， 1 a2 - 1 a1 >- 1 12 這（n-1）個式子相加，得1 an - 1 a1 >-2+ 1 n-1 ，從而 1 an >1+ 1 n-1 >1，因此an<1；

5、又a1= 1 3 <1，故an（2）略.比較以上問題1和問題2，從中可以看出兩道試題的問題主干結(jié)構(gòu)是一樣的，只是給出的條件類型不一樣；其中問題1的（1）、（3）小題就是取材于問題2的2個小題.雖然問題結(jié)構(gòu)很相似，但是解法有所不同.例如在問題1的第（1）題中用數(shù)學(xué)歸納法證明0<xn+1<xn，而在問題2中第（1）題利用單調(diào)性改良遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)，再進(jìn)行變形等證明an三、 教學(xué)啟示數(shù)列問題既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，題目靈活多變，而且很多數(shù)列高考題都具有競賽數(shù)學(xué)背景.近年來，浙江卷都是以數(shù)列問題作為壓軸題，題目難度不小.因此，對高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)列這一知識模塊的教學(xué)提出了更高的要求，筆者認(rèn)為：第一，高中教師要豐富自己的知識體系，要掌握競賽數(shù)學(xué)中數(shù)列問題的類型、解法以及所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，能將競賽中和高考中的數(shù)列問題建立聯(lián)系，也能看到他們的區(qū)別；第二，在教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)大綱允許的基礎(chǔ)上，在教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生對知識點(diǎn)的理解情況，立足基礎(chǔ)，逐漸滲透一些具有競賽數(shù)學(xué)背景的數(shù)列綜