2002考研數(shù)學(xué)一真題

1、2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 ) （1）exxdx2ln= _. （2）已知0162xxyey，則(0)y=_. （3）02yyy滿足初始條件21)0(,1)0(yy的特解是 _. （4）已知實二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型216 yf，則 a =_. （5）設(shè)隨機(jī)變量),(2nx，且二次方程042xyy無實根的概率為05，則 _. 二、單項選擇題(本題共 5小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15分 ) （1）考慮二元函數(shù)),(yxf的四條

2、性質(zhì)：),(yxf在點),(00yx處連續(xù)，),(yxf在點),(00yx處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，),(yxf在點),(00yx處可微，),(yxf在點),(00yx處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在則有：（）；（）；（）；（）（2）設(shè)0nu，且1limnnun，則級數(shù))11()1(11nnnuu(a)發(fā)散；(b)絕對收斂；(c)條件收斂；(d)收斂性不能判定（3）設(shè)函數(shù))(xf在r上有界且可導(dǎo)，則(a)當(dāng)0)(limxfx時，必有0)(limxfx；（）當(dāng))(limxfx存在時，必有0)(limxfx；(c) 當(dāng)0)(lim0 xfx時，必有0)(lim0 xfx；(d) 當(dāng))(lim0 xfx存在時，必有0)

3、(lim0 xfx（4）設(shè)有三張不同平面，其方程為iiiidzcybxa（3,2,1i）它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為，則這三張平面可能的位置關(guān)系為（5）設(shè) x和 y是相互獨立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密度函數(shù)分別為)( xfx和)( yfy，分布函數(shù)分別為)( xfx和)( yfy，則（）)(xfx)( yfy必為密度函數(shù)；(b) )( xfx)( yfy必為密度函數(shù)；（）)( xfx)( yfy必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)；(d) )(xfx)( yfy必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、 （本題滿分6 分）設(shè)函數(shù))( xf在 x 的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0)0()0(ff，

4、當(dāng)0h時，若)()0()2()(hofhbfhaf，試求ba,的值四、 （本題滿分分）已知兩曲線)( xfy與xtdteyarctan02在點（，）處的切線相同求此切線的方程，并求極限)2(limnnfn五、 （本題滿分分）計算二重積分dxdyedyx,max22，其中10,10|),(yxyxd六、 （本題滿分分）設(shè)函數(shù))(xf在r上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，l是上半平面（y）內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為（ba,） ，終點為（dc,） 記dyxyfyyxdxxyfyyi1)()(11222，（）證明曲線積分i與路徑l無關(guān)；（）當(dāng)cdab時，求i的值七、 （本題滿分7 分）驗證函數(shù)03)!3()(nn

5、nxxy（x）滿足微分方程xeyyy；求冪級數(shù)03)!3()(nnnxxy的和函數(shù)八、 （本題滿分分）設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy面，其底部所占的區(qū)域為75|),(22xyyxyxd，小山的高度函數(shù)為),(yxhxyyx2275（）設(shè)),(00yxm為區(qū)域d上一點，問),(yxh在該點沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大？若此方向的方向?qū)?shù)為),(00yxg，寫出),(00yxg的表達(dá)式（）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點作為攀登的起點也就是說要在d的邊界線上找出使（）中),(yxg達(dá)到最大值的點試確定攀登起點的位置九、 （本題滿分6 分） 已知四階方陣),(4321a，4321,均為四維列向量，其 中432,線 性 無 關(guān)，3212 若4321， 求 線 性方 程 組ax的通解十、 （本題滿分8 分） 設(shè) a，為同階方陣，若 a，相似，證明a，的特征多項式相等；舉一個二階方陣的例子說明的逆命題不成立；當(dāng) a，為實對稱矩陣時，證明的逆命題成立十一、 （本題滿分7 分） 設(shè)維隨機(jī)變量x 的概率密度為其他xxfx00cos)(221對 x獨立地重復(fù)觀察次，用表示觀察值大于3的次數(shù)，求2