2022年2022年不等式及不等式選講【概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)】

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載概念.方法.題型.易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)不等式及不等式選講（4-5 ）一不等式的性質(zhì) ：1同向不等式可以相加； 異向不等式變向相加 ：如 ab、cd , 就 acbd（如 ab、 cd ,就 acbd ）,但異向不等式不行以直接相加；同向不等式不行以相減；2 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 異向不等式取倒相乘,但不能精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載相除：如 ab0、 cd0 ,就 acbd （如 ab0、0cd ,就 a1b1 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3

2、 左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：如 ab0 ,就 a nbn 或 n an b ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 如ab0 , ab ,就 11 ；如 abab0 , ab ,就 11 ；如ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）對于實數(shù) a、 b、 c 中,給出以下命題：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ab、 就ac 2bc 2 ； 如ac2bc2 、就ab ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ab0、 就a 2abb 2 ； 如ab0、就 11 ；ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ab0、 就

3、 baa ； 如abb0、就 ab ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如caab0、 就cab； 如ab、 11 cbab,就 a0、 b0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中正確的命題為 （答：） ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）已知1xy1 ,1xy3 ,就 3xy 的取值范疇為 （答： 13xy7 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式.配方等手段判定差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性

4、；7查找中間量或放縮法；8圖象法； 其中比較法（作差.作商）為最基本的方法；如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）設(shè) a0且a1、 t0 ,比較1 loga2t和 log at1 的大小2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：當(dāng) a1時, 1 logtlogt1t1時取等號）；當(dāng) 0a1時, 1 logtlogt1t1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時取等號）；aa（22aa（22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）設(shè) a2, pa1, qa22 a24a 2 ,試比較p、 q 的大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答

5、： pq ）；（3）比較 1+ log x 3 與 2 log x2 x0且x1 的大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：當(dāng) 0x1或 x4時,1+ log3x 3 2log x 2 ；當(dāng)1x4時,1+ log x343 2log x 2 ；當(dāng) x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時, 1+ log x 3 2log x 2 ）三利用基本不等式求函數(shù)最值時,你為否留意到： “一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”這 17 字方針； 如（ 1）以下命題中正確選項精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a . yx12xb. yx的最小值為 23的最小值為

6、2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c. yd. yx223x23x24 x x4 x x0 的最大值為 2430 的最小值為 243（答： c）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如 x2y1 ,就 2x4y 的最小值為 （答： 22 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）正數(shù)x、 y 滿意 x2 y1,就 1x1 的最小值為 y（答： 322 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22 依據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用；11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）a

7、.b.cr, a 2b 2c2ababbcca （當(dāng)且僅當(dāng) abc 時,取等號 本質(zhì)就為排序不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載你看出來了嗎？ ）；（3）如 ab0、 m0 ,就 bbmaam（糖水的濃度問題） ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 假如正數(shù) a . b 滿意 abab3 ,就 ab 的取值范疇為 （答： 9、）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載五證明不等式的方法 ：比較法.分析法.綜合法和放縮法比較法的步驟為：作差（商）后通過分解因式.配方.通分等手段變形判定符號或與1 的大小,然后作出結(jié)論；.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

8、迎下載常用的放縮技巧有：1111111（ 裂項法 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn1nn1n2n n1n1n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k1k111kk1 （ 有理化）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k1k2kk1k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如（ 1）已知 abc ,求證：a 2 bb 2 cc2 aab 2bc 2ca 2；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2已知a、b、 cr ,求證：a 2b 2b 2 c 2c 2 a 2abc abc ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3） 已知 a、

9、b、 x、yr ,且 11 、 xy ,求證：xy；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abxayb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 如 a.b.c 為不全相等的正數(shù),求證：lg ab2lg bc 2lg ca 2lg alg blg c ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（5） 已知 a、 b、 cr ,求證：a 2b 2b 2c2c2 a2abc abc ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6 如 nn *,求證： n121n1n21n ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7 已知

10、| a | | b | ,求證： | a | b | a | b | ；| ab | ab |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（8）求證： 111l12 ；2232n2六簡潔的一元高次不等式的解法：根軸法：其步驟為： （ 1）分解成如干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根的右精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2上方依次通過每一點畫曲線；并留意奇穿偶不穿 ；（3）依據(jù)曲線顯現(xiàn)寫出不等式的解集； 如f x的符號變化規(guī)律,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）解不等式 x1x20 ；（答： x |

11、x1 或 x2 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）不等式 x2x22x30 的解集為 （答： x | x3 或 x1 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3） 設(shè)函數(shù)f x .g x的定義域都為r,且f x0 的解集為 x |1x2 , g x0 的解精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載集為,就不等式f xgg x0 的解集為 （答： 、1 u 2、 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）要使?jié)M意關(guān)于 x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空）的每一個x 的值至少滿意不等式精品學(xué)習(xí)

12、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 24 x30和x 26 x80 中的一個,就實數(shù)a 的取值范疇為 .（答：7、81 ） 8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載七分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路為先移項 使右邊為 0,再通分 并將分子分母分解因式, 并使每一個 因式中 最高次項 的系數(shù)為正 ,最終用根軸法求解；解分式不等式時,一般不能去分母,但 分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母 （或者說在已知條件給出的范疇內(nèi)分母符號可判定,也可去分母） ；如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）解不等式5x12x2x3（答： 1、1u 2、3 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

13、 - - - 歡迎下載（ 2 ） 關(guān)于 x 的不等式axb0 的解集為1、 ,就關(guān)于x 的不等式axbx20 的解集為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載八肯定值不等式的解法：（答： 、12、 ）.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1零點分段法（ 最終結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式 | 22利用肯定值的定義；3 x |42| x1 |2（答： xr）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3數(shù)形結(jié)合； 如解不等式 | x | x4兩邊平方： 如1|3（答： 、1 u 2、 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

14、下載如不等式 | 3x2 | | 2 xa |對 xr恒成立,就實數(shù) a 的取值范疇為 ；（答： 4 ）3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載九含參不等式的解法 ：求解的通法為“ 定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類爭論為關(guān)鍵”留意解完之后要寫上： “綜上,原不等式的解集為” ；留意：按參數(shù)爭論,最終應(yīng)按參數(shù)取值分 別說明其解集； 但如按未知數(shù)爭論, 最終應(yīng)求并集即 爭論變量一樣時先交后并, 否就不予交并 .如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（1）如 log a31 ,就 a 的取值范疇為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： a1 或0aax22 ）

15、；3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）解不等式ax1xar精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： a0 時, x | x0 ； a0 時, x | x1 或 x a0 ； a0 時, x | 1ax0 或 x0 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載提示：（1）解不等式為求不等式的解集,最終務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往為不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范疇的端點值；如關(guān)于 x 的不等式 axb0的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解集為 、1,就不等式x2axb0 的解集為 （答：（ 1、2）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

16、- - - 歡迎下載十含肯定值不等式的性質(zhì)：a.b 同號或有 0| ab | | a | b |a.b 異號或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ；| a | b | | ab | .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如設(shè) f xx2x13 ,實數(shù) a 滿意 | xa |1 ,求證： |f xf a |2| a |1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十一不等式的（恒成立.能成立.恰成立）等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分別變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住宅給不等式的結(jié)構(gòu)特點, 利用數(shù)形結(jié)合法）1). 恒成

17、立問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如不等式 fx如不等式 fxa 在區(qū)間 d 上恒成立 、 就等價于在區(qū)間 d 上b 在區(qū)間 d 上恒成立 、 就等價于在區(qū)間 d 上fx minafx maxb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如（ 1）設(shè)實數(shù)x、 y 滿意 x2 y121,當(dāng)xyc0 時, c 的取值范疇為 （答：21、）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）不等式 x4x3a 對一切實數(shù) x 恒成立,求實數(shù) a 的取值范疇 （答： a1 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）如不等

18、式 2x1mx21) 對滿意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范疇 7131（答：（、） ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載221 n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）如不等式 1 n a2對于任意正整數(shù) n 恒成立,就實數(shù) a 的取值范疇為 n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： 2、 3 ）；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（5）如不等式x22mx2m10 對0x1 的全部實數(shù) x 都成立,求 m 的取值范疇 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2). 能成立問題（答： m1 ）2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

19、料 - - - 歡迎下載如在區(qū)間 d 上存在實數(shù) x 使不等式 fxa 成立、 就等價于在區(qū)間 d 上 fxmaxa ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如在區(qū)間 d 上存在實數(shù) x 使不等式 fxb 成立、 就等價于在區(qū)間 d 上的fx minb . 如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知不等式x4x3a 在實數(shù)集 r 上的解集不為空集,求實數(shù)a 的取值范疇 （答： a1 ）3). 恰成立問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如不等式 fx如不等式 fxa 在區(qū)間 d 上恰成立 、就等價于不等式fxb 在區(qū)間 d 上恰成立 、就等價于不等式fxa 的解集

20、為 d ；b 的解集為 d .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十二二維柯西不等式1. 定理 1 （代數(shù)形式）：如 a.b.c. dr ,就 a2 b2 ·c2 d2 ac bd2（當(dāng)且僅當(dāng)adbc 時,等號成立）如 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值為 （答： 9 ） 20【析】 x2 y2 x2 y24 16× 1 1 x·2 y·42 9 .當(dāng)且僅當(dāng)4x 2y,即 y 2x,即 x 3 ,y3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載20202010 5時等號成立,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 定理 2 （向量形式）：設(shè) .為兩個向量,就|·| |（當(dāng)且僅當(dāng)為零向量或存在實數(shù)k,使 k時即 共線 ,等號成立）11223. 定理 3 （三角形式）：設(shè) x1, y1, x2, y2 r,那么x2 y2x2 y2x1 x2 2 y1 y2 2（ 當(dāng)且僅當(dāng)p1 x1, y1, p2x2, y2,o0、0三點共線且p1, p2 在 o 兩側(cè) 時,等號成立）例 已知 2x 4y 3,就 x2 y2 的最小值為 （答： 9 ） 20十三排序不等式1次序和.亂序和.反序和的概念設(shè) a1 a2 a