信號(hào)與系統(tǒng)微分算子方程PPT

1、 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析1 微分算子和積分算子 1()tdpd tdp p p稱為微分算子微分算子，1/1/p p稱為微分逆算子或積分算子積分算子。系統(tǒng)系統(tǒng)的微分算子方程的微分算子方程1 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析例：2 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開(kāi)和因式分解。)()2)(2()()4()()65()() 3)(2(22tfpptfptypptypp設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式， 則 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)性質(zhì)2微分算子的運(yùn)算性質(zhì)3 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的

2、時(shí)域分析微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能隨便消去。)()(tpftpy不能隨意消去公因子p而得到y(tǒng)(t)=f(t)的結(jié)果。因?yàn)閥(t)與f(t)之間可以相差一個(gè)常數(shù)c。ctfty)()(也不能由方程 )()()()(tfaptyap通過(guò)直接消去方程兩邊的公因式(p+a)得到y(tǒng)(t)=f(t) 性質(zhì)性質(zhì)3 例如，方程 4 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 性質(zhì)性質(zhì)4設(shè)A(p),B(p)和D(p)均為p的正冪多項(xiàng)式A(p)A(p)D(p)( )=( )D(p)B(p)B(p)f tf tA(p)A(p)D(p) ( )( )B(p)D(p)B(p)f tf t但是5 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域

3、分析2 LTI系統(tǒng)的微分算子方程 對(duì)于LTI n階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性常系數(shù)n階微分方程。若系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)， 則可表示為 ( )(1)(2)(1)1210()(1)(2)(1)1210( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmytaytayta yta y tb ftbftbftb ftb f t121210121210( )( )nnnnnmmmmmmpapapa pay tb pbpbpb pbf t用微分算子P表示可寫(xiě)成或縮寫(xiě)為00( )( )nmijijija py tb pf t6 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

4、0( )niiiA pa p0( )mjjjB pb p( ) ( )( ) ( )A p y tB p f t( )( )( )( ) ( )( )B py tf tH p f tA p121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnb pbpbpb pbB pH pA ppapapa pa微分算子方程傳輸算子7 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 傳輸算子代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，或系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故稱H(p)為響應(yīng)y(t) 對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。 H(p)f (t)y(t)用H(p)表示的系統(tǒng)輸入輸出模型 ( )( )( )( ) ( )(

5、 )B py tf tH p f tA p8 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析例例 1：設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為 322( )234pH pppp寫(xiě)出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程( )( )( )( ) ( )( )B py tf tH p f tA p9 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析y(t)f (t) 5 324x(t)x (t)x (t)例例 2 ：已知系統(tǒng)框圖，求系統(tǒng)的傳輸算子 。 解解 設(shè)中間變量x(t)，左端加法器列方程 ( )( )3 ( )( )xtx tx tf t )(4)( 2)(txtxty右端加法器10 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析電路系統(tǒng)算子方程的建立 表 2.2

6、電路元件的算子模型 在電路分析中，獨(dú)立源信號(hào)代表系統(tǒng)激勵(lì)，待求解的電流或電壓為系統(tǒng)響應(yīng)。11 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析3：零輸入響應(yīng)算子方程01110111)()()(apapapbpbpbpbpApBpHnnnmmmm 設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)y(t)對(duì)輸入f(t)的傳輸算子為H(p)， 且 系統(tǒng)的特征系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式多項(xiàng)式y(tǒng)(t)和f(t)滿足的算子方程為 )()()()(tfpBtypA yx(t)滿足的算子方程為 0)()(typAx0t( )0A p 系統(tǒng)的特征方程：12 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)1 若若A(p)=p-，則，

7、則yx(t)=c0et 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單系統(tǒng)系統(tǒng)2 若若 A(p)=(p-)2，則，則 yx(t)=(c0+c1t)et。 13 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析例 某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。 解解 由題意知 A(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()() 1(ttxxxetccectytyty221201021)()()()(14 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為 2210

8、21202122102120221021212022102120( )2()(1 2 )2( )22(1 2 )24(1)4tttxttttttxttty tc ec ecc t ec et c ec ey tc ec et ccec etc ec e ttxxxetccectytyty221201021)()()()(令t=0-,并考慮到y(tǒng)(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13代入初始條件值并整理得1020101021202021102120(0 )3c =1(0 )26c =2c =-1(0 )4413xxxyccycccyccc ttxetety2)2()(0t15 第二章

9、連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第二步第二步，求出第i個(gè)根 對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)yxi(t)itririiiixiiietctctccty)(1)1(2210li,.,2 , 1 第三步第三步，將所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即lixixtyty1)()(0t 第四步第四步，由給定的零輸入響應(yīng)初始條件 或者0-系統(tǒng)的初始條件，確定常數(shù)確定常數(shù)) 1, 1 , 0)(0()(njyjx)., 2 , 1(, 1,)1(10liccciriiiliriippA1)()(第一步，將A（p）進(jìn)行因式分解，即一般n階LTI連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解步驟： 16 第二章 連續(xù)信號(hào)與

10、系統(tǒng)的時(shí)域分析4：基本信號(hào)(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 1. 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 一個(gè)初始狀態(tài)為零的LTI連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)輸入為單位沖激信號(hào)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)，記為h(t)， 如圖所示： LTI系統(tǒng)H(p)h(t) (t)x(0)017 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2. 沖激響應(yīng)的計(jì)算沖激響應(yīng)的計(jì)算 設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為H(p)，H(p) h(t)簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)1 pKpH)() )( () )( (tuKetht18 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng) 2 2)()(pKpH( )u( )th tKtet將上面的結(jié)果推廣到特征方程A(p)=

11、0在p=處有r 重根的情況( )( )( )( )( )( )()!()!()()rtrKKH ph tte u trp11簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)3 nKppH)( )( )( )nh tKt19 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析綜上所述綜上所述,可以得到系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般步驟是：可以得到系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般步驟是：第一步：確定系統(tǒng)的傳輸算子H(p);第二步：將H(p)進(jìn)行部分分式展開(kāi)寫(xiě)成如下形式：第三步：根據(jù)H(p)公式求解第四步：將所有 相加，得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)( (p p) )( (p p) )qliiirjijjKHK p11( (t t) )ih( (t t) )ih20 第二章 連續(xù)信號(hào)與

12、系統(tǒng)的時(shí)域分析例例 2.5-4 已知某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 )(3)( 2)(2)( 3)(tftftytyty若系統(tǒng)的初始條件y(0-)=y(0-)=1，輸入f(t)=e-t(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。 解解 21 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析(2) 求零狀態(tài)響應(yīng)(3) 完全響應(yīng)完全響應(yīng)( )( )( )xfy tytyt(t)(e)u(t)(t)(e)u(t)tthe2( ( ) )f f( (t t) ) * * h h( (t t) )u u( (t t) ) * * ( (e e) )u u( (t t) )u u( (t t) )( (e e) )u u( (t t) )tttfttty teetee22系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)22 第二章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析例例 : 描述某LT