同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第02章-導(dǎo)數(shù)與微分(2)

1、高等數(shù)學(xué)教案第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的：1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之 間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)

2、的求導(dǎo)法則；3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§2.1導(dǎo)數(shù)概念一、引例1 .直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為ss是t的函數(shù)s f(t)求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度 考慮比值s so f(t) f(to) t to t to 這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t to內(nèi)的平均速度 如果時(shí)間間隔選較短這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻 to的速度但這樣做是不精確的更確地應(yīng)當(dāng)這樣 令t to o取比值 f(to)的極

3、限 如果這個(gè)極限存在設(shè)為v即t to.f(t) f(to) v lim t t0t t0這時(shí)就把這個(gè)極限值 v稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t 0的速度2 .切線(xiàn)問(wèn)題設(shè)有曲線(xiàn)C及C上的一點(diǎn)M 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N作割線(xiàn)MN當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C 趨于點(diǎn)M時(shí) 如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置 MT直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C有點(diǎn)M處 的切線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C就是函數(shù)y f(x)的圖形 現(xiàn)在要確定曲線(xiàn)在點(diǎn)M(xo, yo)(yo f(xo)處的切線(xiàn)只要定出切線(xiàn)的斜率就行了為此在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, y)于是割線(xiàn)MN的斜率為y Vo f(x) f(x0)tan x xo x xo其中 為割線(xiàn)MN的傾角 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于點(diǎn)M時(shí)x

4、 xo如果當(dāng)x 0時(shí) 上式的極限存 在設(shè)為k即,f(x) f(xo)k lim X Xox xo存在 則此極限k是割線(xiàn)斜率的極限也就是切線(xiàn)的斜率這里k tan 其中 是切線(xiàn)MT的傾角 于是 通過(guò)點(diǎn)M(xo, f(xo)且以k為斜率的直線(xiàn) MT便是曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)二、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和切線(xiàn)的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極lim 33f(x) f (xo)0于是lim X xox x0X xox xo令 x x xo 則 y f(xox) f(xo) f(x) f(xo) x xo相當(dāng)于 x成為yf (xox) f (xo)lim 口或

5、 lim °Lx 0 x x 0x定義 設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量x在xo處取得增量 x(點(diǎn)xo x 仍在該鄰域內(nèi))時(shí)相應(yīng)地函數(shù)y取得增量y f(xo x) f(xo)如果y與x之比當(dāng)x 0時(shí)的極 限存在則稱(chēng)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù) y f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)記為y |x xo即yf (xox) f (xo)f (%) lim lim 201x o x x 0x也可記為y |x功曳或fx)x x x X0dx x x0dx x xo函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式常

6、見(jiàn)的有f (x h) f(x)f(xo) himo (x0h(x0)f (x0) lim f(x) f(xo) x xox Xo在實(shí)際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題 在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述如果極限lim *x-x) f(xo)不存在 就說(shuō)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)Xo處不可導(dǎo) x ox如果不可導(dǎo)的原因是由于lim fXo-X) f(xo)x ox也往往說(shuō)函數(shù) y f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大如果函數(shù)y f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo) 就稱(chēng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)這時(shí)對(duì) 于任一 x I都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值這

7、樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作y f(x) 立或空&dx dx導(dǎo)函數(shù)的定義式.f(x x) f (x) . f(x h) f(x)y lim - lim -x oxh o hf (xo)與f (x)之間的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (x)就是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x xo處的函數(shù)值 即f (xo) f (x) x xo導(dǎo)函數(shù)f (x)簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)而f (xo)是f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f (x)在xo處的值左右導(dǎo)數(shù)所列極限存在則定義f(x)在Xo的左導(dǎo)數(shù)f (xo)f(Xo h) f(Xo)f(x)在Xo的右導(dǎo)數(shù)f (xo) hlimo gf1

8、如果極限limf(xoh)f(xo)存在則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在xo的左導(dǎo)數(shù)h oh如果極限limf(Xoh)f(xo)存在則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在xo的右導(dǎo)數(shù)h oh導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f (xo) A f (Xo) f (Xo) A2 .求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x) C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)f(x h) f(x) C C 0解 f (x) limlim 三產(chǎn) 0h 0 hh 0 h即(C ) 0例2求f(x) 1的導(dǎo)數(shù) xf (x)lim f(x ? f(x) h 0 hh 0 h(x h)xlim h 0 (xh)x例3求f(x) 7x的導(dǎo)數(shù)f(x) lim f(x 2 f (x) lim x

9、hxh 0 hh 0 hhim0hh(、x h x)lim11x h x 2，x例2.求函數(shù)f(x) xn(n為正整數(shù))在x a處的導(dǎo)數(shù)解 f limf(x) f limxn-anlim(xn 1 axn2x a x ax ax ax a把以上結(jié)果中的a換成x得f (x) nxn 1即(xn) nxn 1(C) 0 (1)4 (、x) J (x ) x 1xx22 x更一般地有(x ) x 1其中為常數(shù)例3,求函數(shù)f(x) sin x的導(dǎo)數(shù)f(x h) f(x) sin(x h) sinx解 f (x) lim - limh 0 hh 0 han1)nan1lim 2 cos(x h 0 h)

10、sin22,sin h、2lim cos(x ) , cosx h 02 h2即 (sin x) cos x用類(lèi)似的方法 可求得 (cos x ) sin x例4.求函數(shù)f(x) a x(a>0 a 1)的導(dǎo)數(shù)解 f(x) him0Tf)ax h ax lim a-h 0 haxh叫中型Jax叫而M1ax axlna logae特別地有(ex) ex例5.求函數(shù)f(x) log ax (a>0 a 1)的導(dǎo)數(shù)解 f(x)同 f(x h) f iimloga(x h) logaxh 0 hh 0hlim.loga(4)1lim：loga(1 h 1lim loga(1 h日h 0 h

11、 x x h 0 hx xh 0x1 .1logae -xxlna解 f (x) lim 10ga(x ? 10gax lim lioga(l h)h 0hh 0 hx1lim loga(1 h)h -logae xh 0 "a' x， x xlna(log a x)1xln a1特殊地 (ln x) x11(logax)(ln x)xln ax3 .單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限lim f(x h) f(x)存在的充分必要條件是 h 0 hlim f(x h) f(x)及 lim f(x h) f(x) h 0hh 0h都存在且相等f(wàn)(x)在x0處的左導(dǎo)數(shù)f風(fēng)hli”f(x hhf(x)f(

12、x)在x0處的右導(dǎo)數(shù)f (x h) f (x)f (x0) lim -h 0h導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f (x0)和右導(dǎo)數(shù)f (x0)都存在且相等如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo) 且右導(dǎo)數(shù)f (a)和左導(dǎo)數(shù)f (b)都存在就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo)例6.求函數(shù)f(x) x|在x 0處的導(dǎo)數(shù)f(0)lim f(0 h) f(0) lim 回 h 0hh 0 hf (0) lim f(0 h) fh 0h因?yàn)閒 (0) f (0)所以函數(shù)f(x)岡在x 0處不可導(dǎo)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)在幾何

13、上表示曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)M(x°, f(x°)處的切線(xiàn)的斜率 即f (x 0) tan其中是切線(xiàn)的傾角如果y f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大這時(shí)曲線(xiàn)y f(x)的割線(xiàn)以垂直于x軸的直線(xiàn)x xO為極限位置 即曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)M(x0, f(x。)處具有垂直于 x軸的切線(xiàn)x x0由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可知曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)M(x0, y。)處的切線(xiàn)方程為y y0 f (x0)(x x。)過(guò)切點(diǎn)M(x0, y0)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)叫做曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)M處的法線(xiàn)如果f (x0) 0法線(xiàn)的斜率為- 從而法線(xiàn)方程為f (x0)1y V。7-(x x0)f (x0)例8求等邊雙

14、曲線(xiàn)y 1在點(diǎn)(1, 2)處的切線(xiàn)的斜率并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法x 2線(xiàn)方程解y 所求切線(xiàn)及法線(xiàn)的斜率分別為x2ki (晨14k2 工1x2 x 2ki 4所求切線(xiàn)方程為y 24(x 2)即4x y 4 0所求法線(xiàn)方程為y 2 1(x 1)即2x 8y 15 0例9求曲線(xiàn)y xv'x的通過(guò)點(diǎn)(04)的切線(xiàn)方程解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0則切線(xiàn)的斜率為33 13 Lf(X0)(x2) 2x2x x 24X0于是所求切線(xiàn)的方程可設(shè)為y xo 匹 2界(x xo)根據(jù)題目要求 點(diǎn)(0 4)在切線(xiàn)上 因此4 xo xo 2 , xo(o xo)解之得Xo 4于是所求切線(xiàn)的方程為y 474 2,4

15、(x 4)即 3x y 4 o四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo) 即lim f (沏)存在 則 x o xlimy limx lim limx f (xo)o ox o x o x x o x x o這就是說(shuō) 函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處是連續(xù)的 所以如果函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo) 則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)另一方面一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)例7.函數(shù)f (x) 3x在區(qū)間(，)內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x o處不可導(dǎo)這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x o處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 f (o h) f(o) 3h o lim lim h o hh o h§2 2函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、

16、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u u(x)及v v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù) 并且u(x) v(x) u (x) v(x)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)v(x)v2(x)證明(1)u(x) v(x) himou(x h) v(x h) u(x) v(x)lim u(x h) u(x) v(x h) v(x) h 0 hh法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為(u v) u v u(x h)v(x h) u(x)v(x)(2)u(x) v(x) him0 ，' h，u (x)

17、v (x)him。1hu(x h)v(x h) u(x)v(x h)u(x)v(x h) u(x)v(x)u(x h) u(x)v(x h) v(x)limv(x h) u(x)-h 0 hhu(x h) u(x)v(x h) v(x)limlim v(x h) u(x) limh 0 hh 0h 0 hu (x)v(x) u(x)v (x)其中l(wèi)im v(x h) v(x)是由于v (x)存在 故v(x)在點(diǎn)x連續(xù) h 0法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為(uv) u v uvu(x h) u(x)u(x) lim v(x h) v(x) lim u(x h)v(x) u(x)v(x h)v(x) h

18、 0 h h 0 v(x h)v(x)hlim u(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x)h 0v(x h)v(x)hlimh 0u(x h) u(x)v(x h) v(x)-v(x) u( x)h ' '' ' hv(x h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x)v2(x)法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為,u、 uv uv()2 一v v2(u v) u v (uv) u v uv 號(hào))u v uvv2定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形例如 設(shè)u u(x)、v v(x)、w w(x)均可導(dǎo)則有(u v w) u v

19、w(uvw) (uv)w (uv) w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即 (uvw) u vw uv w uvw在法則(2)中 如果v C(C為常數(shù))則有(Cu) Cu例 1 . y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 2 3x 7) (2x 3) 5x 2) 3x) 7) 2 (x 3)5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x 3 6x 2 10x 3f (x) x34cosx sin 2求 f (x)及 f (-2)解 f (x) (x3) (4cosx) (sin) 3x2 4sin x例 3. y ex(sin x c

20、os x)求 y解 y ex) (sin x cos x) ex(sin x cos x) ex(sin x cos x) e x (cos x sin x) 2excosx解 y (tanx)(皿)(sinx)cosx sinx(cosx) cosxcos2 xcos2 x sin2xcos2 x15 sec2x cos2x即 (tan x) secx例 5. y sec x 求 y解y際(表)(1) cosx 1 (cosx)cos2 xsin xcos2xsecx tan x即用類(lèi)似方法(cot x)(sec x) sec x tan x還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式csc2x(c

21、sc x) csc x cot x二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y) 0那么它的反函數(shù) y f 1(x)在對(duì) 應(yīng)區(qū)間Ix x|x f(y) y Iy內(nèi)也可導(dǎo)并且f 1(x),或 dy -f (x) f (y) dx dxdy簡(jiǎn)要證明由于x f(y)在I y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù))所以x f(y)的反函數(shù)y f 1(x)存在且f 1(x)在I x內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取x I x給x以增量x( x 0 x x I x)由yf 1(x)的單調(diào)性可知y f 1(x x) f 1(x) 0于是y 1x _xy因?yàn)閥 f 111(tan y)sec2 y 1 t

22、an2 y 1 x2（x）連續(xù)故lim y 0x 0從而f 1(x)lim lim 1 x 0 x y 0 x f (y)y上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)例6.設(shè)x sin y y 了，？為直接函數(shù)則y arcsin x是它的反函數(shù) 函數(shù)x sin y在尹區(qū)間（萬(wàn)，y）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且(sin y) cos y 0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則(arcsin x) 1 (sin y)類(lèi)似地有(arccosx)在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x (11cosy .1 sin2y1 1）內(nèi)有1J x2例7 .設(shè)x tan y y （,萬(wàn)）為直接函數(shù)則y arctan x是它的反函數(shù)函數(shù)x tan y在

23、區(qū)間（22'萬(wàn)）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且(tan y) sec2 y 0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix（）內(nèi)有(arctan x)類(lèi)似地有（arccot x）11 x2例8設(shè)x ay（a 0 a 1）為直接函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x （0）內(nèi)有則y logax是它的反函數(shù) 函數(shù)x ay在區(qū)間Iy （）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且（ay） ayln a 0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則(log a x)1(ay)11ayln a xln a到目前為止所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)lntan x、ex3、的導(dǎo)數(shù)怎樣求?雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則復(fù)合函數(shù)y f

24、g(x)在點(diǎn)x定理3如果u g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo) 函數(shù)y f(u)在點(diǎn)u g(x)可導(dǎo)可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)為dydxf (u) g 或 dxdy dudu dx結(jié)論自然成證明 當(dāng)u g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí)y=f (x)也是常數(shù)此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零立當(dāng)u g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí)u 0此時(shí)有y fg(x x) fg(x) fg(x x) fg(x) g(x x) g(x)xxg(x x) g(x)xf (u u) f (u) g(xux) g(x)xdy y f(uu) f(u) g(xx) g(x)lim lim - -lim -= f (u) g (x)dx x 0 x u 0ux 0x簡(jiǎn)要

25、證明dy y yuy ulim limlim lim f (u)g (x)dxx 0 xx 0 uxu 0 ux 0 x例 9 y ex3 求 dydx解 函數(shù)y ex3可看作是由y eu u x3復(fù)合而成的因此電色型 eu 3x2 3x2ex3 dx du dx例10 y sin汽？求dxx x因此函數(shù)y sin12x又正由y sin udy dy dudx du dxcosu2x .,u復(fù)合而成的2(1 x2) (2x)2 (1 x2)2就不必再寫(xiě)出中間變量對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后例 11. lnsin x 求 dy dx.dy11,解 (lnsinx) (sinx) cosx cotx

26、dxsin xsin x例12. y V1 2x2求或 dx4x33(1 2x2)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形例如 設(shè) y f(u) u (v) v (x)dydxdy du dy du dvdu dx du dv dx13. ylncos(ex)求 dxdy dxIn cos(ex)cos(ex)cos(ex)cos(ex)sin(ex) (ex)extan(ex)14.1 sin 一 y e x求dxdydxsin!(e x).1sin 1.e x (sin ) xsin1 11e x cos-x (x).1 sin 一1 x cos 例15設(shè)x 0證明募函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

27、(x ) x 1解因?yàn)閤(e 1n x)e ln x所以(x ) (e 1n x)e 1n x ( In x) eIn x四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(C) 0(2)(x ) x 1(3)(sin x) cos x(4)(cos x) sin x(5)(tan x) se(2x(6)(cot x) cscx(7)(sec x) sec xtan x(8)(csc x)csc x cot x(9)(a x) a x In a(10)(ex) ex(11) (logax)1xln a一 ，、1(12) (In x) 1 xdy1. 2.解 dX (1 2x2)3 1(1 2x2

28、尸(1 2x2)(13) (arcsin x)11 x2(14)(arccos x)1.1 x2(15)(arctan x)11 x2(16) (arccot x)11 x22 .函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u u(x) v v(x)都可導(dǎo) 則(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u vu v uvv23 .反函數(shù)的求導(dǎo)法則f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo)并設(shè)x f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y) 0則它的反函數(shù)y f 1(x)在Ixf 1(x)，或,十 f (y) dx dxdy4 .復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y f(x)而u g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo)則復(fù)

29、合函數(shù)y fg(x)的導(dǎo)數(shù)為案案那或y(x) f (u)g(x)例16求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)閟h x 1(ex e x)所以11(sh x) 1 (ex e x) 1 (ex e x) ch x即 (sh x) ch x類(lèi)似地有(ch x) sh x例17求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閠h x用所以ch x(th x)ch2x sh2xch2x1ch2x例18求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閍rsh x ln(x J x2)所以(arsh x)由 arch x ln(x Jx2 1) 可彳(arch x)1- x2 1,1 1 x _1由 arth x -ln y-x 可彳導(dǎo)(a

30、rth x) 廠(chǎng)x2類(lèi)似地可得(arch x)(arth x)11 x2例 19. y sin nx sinnx (n 為常數(shù))求 y解 y (sin nx) sin nx + sin nx (sin n x)ncos nx sin nx+sin nx n sin n 1 x (sin x )ncos nx sin nx+n sin n 1 x cos x n sinn 1 x sin(n+1)x§2. 3高階導(dǎo)數(shù)一般地 函數(shù)y f(x)的導(dǎo)數(shù)y f (x)仍然是x的函數(shù) 我們把y f (x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)記作y、f (x)或dydx2y (y) f (x) f

31、 (x)妝包也)dx2 dx dx相應(yīng)地 把y f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)叫做函數(shù)y f(x)的一階導(dǎo)數(shù)般地(n 1)類(lèi)似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)分別記作d nydxn函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n階階的導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù) y稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù)(4)y y yy都稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)例1. 解y 例2. 解saxy sincos2 .，sint例3.證明函數(shù)y2xx2滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng) 3y1 0證明因?yàn)閥2x2,2x x21 x

32、2x x2、2x x2 (1 x)2 2x2 2x-x22x x2 (1 x)22x x2(2x x2). (2x x2)111? my3(2x x2)2y所以y 3y 例4.解 般地1 0求函數(shù) ex yyexex的n階導(dǎo)數(shù)exy( 4) ex可得y( n) ex(ex嚴(yán) ex例5.求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)sin xcosx sin(x ) y(4) cos(x 3 ) sin(x 4 )cos(x 萬(wàn))sin(x - -2)sin(x 2-2)cos(x 2 ) sin(x 2 -2) sin(x 3-2)般地可得y sin(x n )即(sin x) sin(x n )用類(lèi)似方法可

33、得(cosx)cos(x n -2)例6.求對(duì)函數(shù)ln(1 x)的n階導(dǎo)數(shù)般地y ln(1 x) y (1 x)y ( 1)(可得2)(1 x) 3y(1)(2)( nln(1 x)(n)1 y (1 x) 2y(1)(1)(1 x) n(1)n 1 (n 1)! (1 x)n例6.求哥函數(shù)y x (是任意常數(shù)般地yy ( 4)可得y (n)1)x 21)(1)(2)x2)(3)x 42)( 3)(1 x) 4(1)n 1 (n 1)!''(1 x)n)的n階導(dǎo)數(shù)公式(x嚴(yán)n時(shí)得到(xn)(xn)( n 1)1)(: (1)(2)2)1)x n n 1)x n(1)(02)2

34、1 n!如果函數(shù)u u(x)及v v(x)都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)那么顯然函數(shù)u(x) v(x)也在點(diǎn)具有n階導(dǎo)數(shù)且(u v)(n) u(n) v(n)(uv) u v uv(uv) u v 2u v uv(uv) u v 3u v 3u v uv用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(uv)(n)Cnku(n k)v(k)k 0這一公式稱(chēng)為萊布尼茨公式例 8. y x2e2x 求 y(20)解設(shè)u e2x v x2則(u)(k) 2ke2x(k 1,2, 20),20)v 2x v 2 (v)(k) 0 (k 3, 4,C 201u(19)vC 202u(18) v代入萊布尼茨公式得y (20) (u v)(

35、20) u(20)v22%" x2 20219e2x 2x型9 218a2x 22! 2 e 2220e2x (x2 20x95)2 4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù) 形如y f(x)的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)例如y sin x y ln x +ex隱函數(shù) 由方程F(x y) 0所確定的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)例如方程x y3 1 0確定的隱函數(shù)為 y y 31x如果在方程F(xy)0中當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)相應(yīng)地總有滿(mǎn)足這方程的唯一的y值存在那么就說(shuō)方程F(x y) 0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化 數(shù)函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難

36、的 甚至是不可能的但在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此我們希望有一種方法隱函數(shù)能否顯化都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)例1.求由方程ey xy e 0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)解把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(ey) (xy) (e) (0)即 ey y y xy 0從而 y77 (x ey 0)x e，不管例2.求由方程y5 2yx 0處的導(dǎo)數(shù)y |x 0解把方程兩邊分別對(duì)5y y 2y 1 21x 6由此得 y 1 21x6y 5y4 2x 3x7 0所確定的隱函數(shù) y f(x)在x求導(dǎo)數(shù)得因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)從原方程得y 0所以1 21x611y lx 0 5y4 2 lx 0 2

37、3求橢圓史 亡1在(2, 373)處的切線(xiàn)方程 16 92把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo) 得-2y y 08 9從而9x y 116y23代人上式得所求切線(xiàn)的斜率k y lx 2、3V所求的切線(xiàn)方程為y 3-負(fù)x2) 即 3x 4y 8,3 0解 把橢圓方程的兩邊分別對(duì) x求導(dǎo) 得將x 2 y 3V3代入上式得2于是 k y |x 24所求的切線(xiàn)方程為y 3m3(x 2)即 J3x 4y 8V3 0i .例4.求由萬(wàn)程x y gsiny 0所確定的隱函數(shù) y 的二階導(dǎo)數(shù)解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1 dy Icosy dy 0 dx 2 dx于是 dy 一2一dx 2 cosy上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得d2y

38、2siny. 4sinydx2(2 cosy)2(2 cosy)3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法這種方法是先在y f(x)的兩邊取對(duì)數(shù)然后再求出y的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y f(x)兩邊取對(duì)數(shù)得ln y ln f(x) 兩邊對(duì)x求導(dǎo)得-y ln f(x) yy f(x) in f(x)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求哥指函數(shù)y u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)例5.求y x sin sinx(cosx in x snx)x解法二這種哥指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求y x sin x e sin x in x(x>0)的導(dǎo)數(shù) 解法一兩邊取對(duì)數(shù)得in y sin x in x 上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1.1y cosx in x s

39、in x yx于是 y y(cosx inx sin x ) xy esinxlnx(sin x ln x)xsinx(cosx In x -sinx)x例6求函數(shù)y .j(x 1)(x 2)的導(dǎo)數(shù) y (x 3)(x 4) 人解先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4)得ln y 2ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得11/1111 、y ()y 2x1x2x3x4于是y Y(，)2 x 1 x 2 x 3 x 4當(dāng)x<1時(shí)y超不)當(dāng)2<x<3時(shí)y用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果注 嚴(yán)格來(lái)說(shuō) 本題應(yīng)分x 4 x 1 2 x 3三種情況討論但

40、結(jié)果都是一樣的、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程x 確定的 則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參y (t)數(shù)方程所確定的函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)但從參數(shù)方程中消去參數(shù)有時(shí)會(huì)有困難因此我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)x(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t (x)且此反函數(shù)能與函數(shù)y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y (x)若乂 和y(t)都可導(dǎo)則dy dy dtdy 1_(t)dx dt dxdt dx (t)dtdy即 或_(t)或a dx (t) dx dxdt若x(t)和y (t)都可導(dǎo) 則dy (t)dx (t)例7求橢圓x acos

41、t在相應(yīng)于t 一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程 y bsint4解 dy (bsint) bcostbc0ttdx (acost) asint a所求切線(xiàn)的斜率為dy b dx K 4 a切點(diǎn)的坐標(biāo)為 xo acos a-22 y bsin b-切線(xiàn)方程為y b二b(x a士)2a 2即 bx ay 、2 ab 0x v1t例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為1 9y v2t .gt2求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向y v2t g t 2解先求速度的大小速度的水平分量與鉛直分量分別為x V1 y (t) V2 gt所以?huà)伾潴w在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為v x(t)2 y(t)2”12 (V2 gt)2再求速度

42、的方向設(shè)是切線(xiàn)的傾角則軌道的切線(xiàn)方向?yàn)? dy tan dx已知x (t), yy(t) v2 gtx (t)V1(t)如何求二階導(dǎo)數(shù)d2y dx2A(dy) & (_Q)包 dx'dx，dt' (t)'dx(t) (t)(t) 12(t)(t)(t) (t)(t)3(t)例9.計(jì)算由擺線(xiàn)的參數(shù)方程x a(t sint)所確定 y a(1 cost)的函數(shù)y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)解 dydx x(t)a(1 cost)a(t sint)asinta(1 cost)sint1 costcot (t 2n2 'n為整數(shù))1112sin21_ a（1 cost）

43、 a（1 cost）22（t 2n n為整數(shù)）三、相關(guān)變化率設(shè)x x（t）及y y（t）都是可導(dǎo)函數(shù)而變量x與y間存在某種關(guān)系從而變化率 去與當(dāng)間也存在一定關(guān)系這兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率例10一氣球從離開(kāi)觀(guān)察員 500f處離地面鉛直上升其速度為140m/min（分）當(dāng)氣球高度為500m時(shí) 觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t（秒）后其高度為h觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角為其中及h都是時(shí)間t的函數(shù)tanh500上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得sedd 1 dh-dT 500 dT已知墨140（米/秒）又當(dāng)h 500（米）時(shí)t

44、an1 sec2 2代入上式得所以ddt705000.14（弧度/秒）d dt1500140即觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加率是每秒0 14弧度2 5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響其邊長(zhǎng)由x0變到xo x問(wèn)此薄片的面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x面積為A則A是x的函數(shù) Ax2金屬薄片的面積改變量為A （xo x）2 （xo）2 2xo x （ x）2幾何意義2xo x表示兩個(gè)長(zhǎng)為xo寬為x的長(zhǎng)方形面積 （x）2表示邊長(zhǎng)為 x的正方形的面數(shù)學(xué)意義 當(dāng)x 0時(shí)（x）2是比x高階的無(wú)窮小即（x）2。（ x） 2xo x是x的線(xiàn)性函數(shù)是A的主要部分可

45、以近似地代替A定義 設(shè)函數(shù)y f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義xo及xo x在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量y f(xox) f(xo)可表不為y A x o( x)其中A是不依賴(lài)于x的常數(shù) 那么稱(chēng)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo是可微的而A x叫做函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量x的微分 記作dy即dy A x函數(shù)可微的條件 函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo) 且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微時(shí)其微分一一定是dy f (xo) x證明設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微則按定義有y A x o( x) 上式兩邊除以 x得，A o(_2) x x于是當(dāng)x o時(shí)由上式就得到A lim yf (x

46、o)x o x因此 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微 則f(x)在點(diǎn)xo也一定可導(dǎo) 且A f (xo) 反之 如果f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo) 即lxmoT f(xo)存在根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系上式可寫(xiě)成-xf (xo)x其中o(當(dāng)x o)且A f(xo)是常數(shù)x o( x)由此又有y f (xo) x x因且f (xo)不依賴(lài)于x故上式相當(dāng)于y A x o( x)所以f(x)在點(diǎn)xo也是可導(dǎo)的 簡(jiǎn)要證明一方面y A x o( x) A 0( x) lim f (沏)A xx x o x別一方面lim f (xo) f (xo)y f(%) x xx o xx以微分dy近似代替函數(shù)增量y的合理性當(dāng)f (x

47、o) o時(shí)有l(wèi)im y lim y 1 lim y 1x 0dyx 0 f (x0) x f (x0) x 0dxy dy o(dy)結(jié)論 在f (xo) 0的條件下 以微分dy f (xo) x近似代替增量y f(xox) f(xo)時(shí) 其誤差為o(dy)因此在| x|很小時(shí)有近似等式y(tǒng) dy函數(shù)y f(x)在任意點(diǎn)x的微分 稱(chēng)為函數(shù)的微分 記彳dy或df(x)即dy f (x) x例如 d cos x (cos x) x sin x x dex (ex) x ex x例1 求函數(shù)y x2在x 1和x 3處的微分解函數(shù)y x2在x 1處的微分為dy (x2) |x 1 x 2 x函數(shù)y x2

48、在x 3處的微分為dy (x2) |x 3 x 6 x例2.求函數(shù)y x3當(dāng)x 2 x 0. 02時(shí)的微分解先求函數(shù)在任意點(diǎn) x的微分dy (x3) x 3x2 x再求函數(shù)當(dāng)x 2 x 0. 02時(shí)的微分dy|x 2 x 0.02 3x2| x 2, x 0.02 3 22 0.02 0.24自變量的微分因?yàn)楫?dāng)y x時(shí)dy dx (x) x x所以通常把自變量x的增量x稱(chēng)為自變量的微分 記作dx即dx x于是函數(shù)y f(x)的微分又可記作dy f (x)dx從而有 dy f (x)dx這就是說(shuō)函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”二、微分的幾何意義當(dāng)y是曲線(xiàn)

49、y f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)dy就是曲線(xiàn)的切線(xiàn)上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)| x|很小時(shí)| y dy|比| x|小得多 因此在點(diǎn)M的鄰近 我們可以用切線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)段三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy f (x)dx可以看出要計(jì)算函數(shù)的微分只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分 因此可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則1基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式(x ) x 1微分公式d (x )x 1d x(sin x) cos xd (sin x)cos x d x(cos x) sin xd (cos x)sin x d x(tan x) sec2 xd (tan x)

50、sec2x d x(cot x)csc 2xd (cot x)csc 2x d x(sec x) sec x tan xd (sec x)sec x tan xd x(csc x) csc x cot xd (csc x)csc x cot x d x(ax ) axIn ad (ax ) aixln a d x(ex) exd (ex) e：xdx(log a x) 1.d(logax)dxaxln aa xln a(lnx) 1 x1 d(ln x) dx x(arCSinM11x21.d (arcsin x) dx1 x2,、1(arccosx) 1 x21.d (arccos x) d

51、x、1 x2，、1(arctanx)1 x21.d(arctanx) -dx1 x21(arccot x)''1 x21.d (arccot x)dx1 x22函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則微分法則(u v)uvd(u v)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(u v)u vuvd(u v)vduudv(u) vu vv2平(v 0)d(u) v網(wǎng)"vdx(v 0) v2證明乘積的微分法則根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式有d(uv) (uv) dx再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則有(uv) u v uv于是 d(uv) (u v uv )dx u vdx uv dx 由于 u dx du vdx d