復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、復(fù)數(shù)【知識(shí)梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)i 叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i 可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；i 21；這樣方程x21 就有解了，解為 xi 或 xi2、復(fù)數(shù)的概念（ 1）定義： 形如 abi (a，b R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)， 其中 i 叫做虛數(shù)單位， a 叫做，b 叫做。全體復(fù)數(shù)所成的集合C 叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z 表示，即 zabi (a， b R)對(duì)于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點(diǎn)： zabi (a， b R)被稱(chēng)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中bi 表示 b 與虛數(shù)單位 i 相乘復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式（ 2）分類(lèi)：滿足條件 (a， b 為實(shí)數(shù) )abi 為實(shí)數(shù) ? b

2、0復(fù)數(shù)的分類(lèi)abi 為虛數(shù) ? b 0a bi 為純虛數(shù) ? a 0 且 b 0例題： 當(dāng)實(shí)數(shù) m 為何值時(shí)，復(fù)數(shù)( m5m6)(m23m)i 是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？二、復(fù)數(shù)相等abicdiac, bd (a,b, c,dR)也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等注意： 只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無(wú)法比較大小例題：已知(xy3)(x4)i0 求 x, y 的值三、共軛復(fù)數(shù)abi 與 c di 共軛ac, bd ( a, b, c, dR)_a2b2za bi 的共軛復(fù)數(shù)記作z abi ，且 z z四、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平

3、面叫做復(fù)平面，x 軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) zabi 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z (a,b) 及平面向量 OZ( a, b) (a,bR) 是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 （復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量）相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)例題：（ 1）當(dāng)實(shí)數(shù) m 為何值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z( m28m15)(m25m14)i 的點(diǎn)位于第三象限；位于直線yx 上（ 2）復(fù)平面內(nèi)AB( 2,6) ，已知 CD/ AB ，求 CD 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作z或a

4、bi，表示點(diǎn)(a, b)到原點(diǎn)的距離，即zabia2b2， zz若z1，c di，則z1 z2 表示 (a, b) 到 (c, d ) 的距離，即 z1 z2(a c)2(b d )2a bi z2例題： 已知 z2i ，求 z1i 的值五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算（ 1）運(yùn)算法則：設(shè)z1 a bi， z2c di， a， b， c， d R z1z2abicdi (a c)(bd)i z1z2(abi ) (cdi )(acbd )(bc ad )i z1(abi )(abi )(cdi )(acbd )(bc ad )iz2(c di )(c di ) (c di )c2d 2（ 2）幾何意義： 復(fù)數(shù)加

5、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1 ZZ2 可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即 OZ OZ 1OZ2， Z1Z2OZ2 OZ1.六、常用結(jié)論（ 1） i ， i 21， i 3i ， i 41求 i n ，只需將 n 除以 4 看余數(shù)是幾就是 i 的幾次例題： i 675（ 2） (1i) 22i ， (1i )22i（3）( 13 i )31， (13 i )312222【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1) 方程 x2 x 1 0 沒(méi)有解 .()(2) 復(fù)數(shù) z a bi(a， b R)中，虛部為bi.()(3)

6、 復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4) 原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5) 復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()【考點(diǎn)自測(cè)】1.(2015安·徽 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) (1 i)(1 2i) 等于 ()A.3 3iB. 1 3iC.3 iD. 1 i2.(2015課·標(biāo)全國(guó) )已知復(fù)數(shù)z滿足 (z 1)i 1 i，則 z 等于 ()A. 2iB. 2 iC.2 iD.2 i3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 6 5i， 2 3i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A， B.若 C 為線段 AB 的中點(diǎn)，則點(diǎn)C 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.

7、4 8iB.8 2iC.2 4iD.4 i4.已知 a， b R，i 是虛數(shù)單位 .若 a i 2bi，則 (a bi) 2 等于 ()A.3 4iB.3 4i C.4 3iD.4 3i5.已知 (1 2i) z 4 3i，則 z_.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例 1(1)設(shè) i 是虛數(shù)單位 .若復(fù)數(shù) z a 10a 的值為 ()3 i(a R)是純虛數(shù)，則A. 3B. 1C.1D.3(2) 已知 a R，復(fù)數(shù) z1 2 ai ， z2 1 2i，若 z1為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z1的虛部為 ()z2z22A.1B.iC.5D.0(3) 若 z1 (m2m 1)( m2 m 4)i( m R) ， z

8、2 3 2i，則“ m 1”是“ z1 z2 ”的 ()A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D. 既不充分又不必要條件引申探究1.對(duì)本例 (1)中的復(fù)數(shù)z，若 |z|10，求 a 的值 .z12.在本例 (2)中，若 z2 為實(shí)數(shù)，則a _.思維升華解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1) 復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程 (不等式 )組即可 .只需把復(fù)數(shù)化(2) 解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi( a，b R)的形式，以確定實(shí)部和虛部 .(1) 若復(fù)數(shù) z (x2 1) (x 1)i 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x

9、的值為 ()A. 1B.0C.1D.1 或1(2)(2014浙·江 ) 已知i 是虛數(shù)單位，a， bR ，則“a b 1”是“ (a bi) 2 2i”的 ()A. 充分不必要條件C.充分必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算命題點(diǎn) 1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例A.i2(1)(2015·北湖 )i 為虛數(shù)單位，B. iC.1i 607 的共軛復(fù)數(shù)為D.1()(2)(2015北·京 ) 復(fù)數(shù)i(2 i) 等于 ()A.1 2iB.1 2iC. 1 2iD. 1 2i命題點(diǎn) 2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算(1)(2015 湖·南 )已知 1i2例 3 1

10、 i(i 為虛數(shù)單位 ) ，則復(fù)數(shù) z 等于 ()zA.1 iB.1 iC.1 iD. 1i(2)(1 i)623i _.1 i32i命題點(diǎn) 3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問(wèn)題例 4 (1)(2015 天·津 )i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1 2i)( a i) 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的值為 _.(2)(20142江·蘇 ) 已知復(fù)數(shù) z(5 2i) (i 為虛數(shù)單位 )，則 z 的實(shí)部為 _.命題點(diǎn) 4復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算z例 5 (1)(2014 安·徽 )設(shè) i 是虛數(shù)單位，z 表示復(fù)數(shù)z 的共軛復(fù)數(shù) .若 z 1 i，則 i i ·z 等于 ()A. 2B.

11、2iC.2D.2i(2) 若復(fù)數(shù) z 滿足 (3 4i)z |4 3i|，則 z 的虛部為 ()44A. 4B. 5C.4D.5思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1) 復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i 的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i 的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可.(2) 復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i 的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.(3) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題， 先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)， 一般化為 a bi(a，bR )的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答 .(4) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題 .先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法

12、則化簡(jiǎn)， 一般化為 abi( a，b R )的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答 .(5) 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除， 后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.z(1)(2015·山東 )若復(fù)數(shù) z 滿足1i i，其中 i 為虛數(shù)單位，則z 等于 ()A.1 iB.1 iC. 1 iD. 1 i(2) 1 i 2 016 _.1i 2 3 i2 2016(3) _.123i1i題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例 6(1)(2014 ·慶重 )實(shí)部為 2，虛部為A. 第一象限B.第二象限C.第三象限1 的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的D.第四象限

13、()(2) ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1 ，z2， z3，若復(fù)數(shù) z 滿足 |z z1| |z z2| |z z3|，則 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABC的 ()A. 內(nèi)心B. 垂心C.重心D. 外心思維升華因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1) 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A 表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z 的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A. AB.BC.CD.D(2) 已知 z 是復(fù)數(shù)， z 2i 、 z 均為實(shí)數(shù) (i 為虛數(shù)單位 )，且復(fù)數(shù) (z ai) 2 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一2 i象限，求實(shí)數(shù)a

14、的取值范圍 .【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想典例已知 x， y 為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)2 3xyi 4 6i，求 x， y.思維點(diǎn)撥(1)x， y 為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)；(2) 利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題.溫馨提醒(1) 復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法.(2) 本題求解的關(guān)鍵是先把x、 y 用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法 .(3) 本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解.【方法與技巧】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實(shí)際上

15、是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程.2.復(fù)數(shù) z abi( a，b R )是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)z a bi(a， b R)，既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí).3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問(wèn)題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1.判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0 是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.2.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在abi(a， b R )中的實(shí)數(shù)b，即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù).【鞏固練習(xí)】1.(201

16、5 福·建 )若 (1 i) (2 3i) a bi(a， b R， i 是虛數(shù)單位 )，則 a，b 的值分別等于()A.3 ， 2B.3,2C.3， 3D. 1,412.設(shè) z i，則 |z|等于 ()123A. 2B. 2C. 2D.23.(2015 課·標(biāo)全國(guó) )若 a 為實(shí)數(shù)，且 (2 ai)(a 2i) 4i，則 a 等于 ()A. 1B.0C.1D.24.若 i 為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z 表示復(fù)數(shù) z，則表示復(fù)數(shù)z 的點(diǎn)是 ()1 iA. EB.FC.GD.H5.(2014江·西 ) z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，若z z 2， (z z )i 2(i為

17、虛數(shù)單位 )，則 z 等于 ()A.1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i6.(2015江·蘇 )設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 z2 3 4i(i 是虛數(shù)單位 )，則 z 的模為 _.7.若3 bi abi(a，b 為實(shí)數(shù)， i 為虛數(shù)單位 )，則 a b_.1 i8.復(fù)數(shù) (3 i)m (2 i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 _.9.計(jì)算： (1) 1 i 2 i1 2i2 3 1 i1 i21 i2； (4)1 3i2.i3；(2)； (3)1 i1 i3 i2i10.復(fù)數(shù) z13 (10 a2)i， z22 (2a 5)i，若 z 1 z2 是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的值 .a

18、51 a【能力提升】1， z2 滿足 z1 m (4 m22 2cos ( 3sin )i( m， ， R)，并且 z1 z2，則 的取11.復(fù)數(shù) z)i ，z值范圍是 ()A. 1,1B.9，1C. 9，7D. 9， 71616161 in1 in*12.設(shè) f(n) 1 i1 i(n N )，則集合 f(n) 中元素的個(gè)數(shù)為 ()A.1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)y13.已知復(fù)數(shù) z x yi，且 |z 2|3，則 x的最大值為 _.a1 ix y 0 上，則 a 的值為 _.14.設(shè) a R，若復(fù)數(shù) z1 i 2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線15.若 12i 是關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程x2 bxc 0 的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則b _， c _.【鞏固練習(xí)參考答案】21A.2.B.3.B. 4.D.5.D.6. 5.7.3.8.m<3. 1 i2 i3 i9.解 (1)3 i 1 3i.i(2)1 2i2 3 1 i 3 4i 3 3i ii2 i 1 2i.2i2 i2 i55 51i1 i1 i1 i1 i 1 i(3)1 i21 i2 2i 2i 2