函數(shù)的連續(xù)性(1)實用教案

1、1漸漸 變變221gts tO0ts。mtO突突 變變)(tmm 0t。自由落體路程變化自由落體路程變化(binhu)模型模型火箭發(fā)射質(zhì)量火箭發(fā)射質(zhì)量(zhling)變化模變化模型型物理特征：一級火箭燒完脫殼時質(zhì)量發(fā)物理特征：一級火箭燒完脫殼時質(zhì)量發(fā)生生(fshng)突變突變物理特征：路程隨時間漸進性地增物理特征：路程隨時間漸進性地增加加幾何特征：曲線幾何特征：曲線在處間斷在處間斷( )mm t0t引例：引例：212sgt幾何特征：曲線連接不斷幾何特征：曲線連接不斷第1頁/共37頁第一頁，共38頁。21、函數(shù)的增量、函數(shù)的增量2、函數(shù)在一點處的連續(xù)、函數(shù)在一點處的連續(xù)(linx)定義定義3、區(qū)

2、間上的連續(xù)、區(qū)間上的連續(xù)(linx)函數(shù)函數(shù)一、函數(shù)一、函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性的連續(xù)性第2頁/共37頁第二頁，共38頁。3定義定義(dngy) 設變量設變量u從它的一個值從它的一個值u1變到另一個值變到另一個值u2 ，其，其差差 稱做變量稱做變量u的增量或改變量，記作的增量或改變量，記作 ，即，即增量增量 可以是正的，也可以是負的可以是正的，也可以是負的.當當 為正時，為正時，變量變量u從從u1變到變到 是增大的；當是增大的；當 為負時，變?yōu)樨摃r，變量量u從從 u1變到變到 是減少的是減少的.uuuuuu12uuu121 1、函數(shù)、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的增量的增量第3頁/共37頁第三

3、頁，共38頁。4第4頁/共37頁第四頁，共38頁。52、函數(shù)在一點、函數(shù)在一點(y din)處的處的連續(xù)定義連續(xù)定義定義定義1 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量當自變量的增量 趨向于零時，相應的函數(shù)趨向于零時，相應的函數(shù)增量增量 也趨于零，即也趨于零，即)x(f)xx(fy00 0 xxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(hnsh)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù).第5頁/共37頁第五頁，共38頁。6xO0 x斷斷 開開)(xfy y圖圖1: 1: 在處無定義在處無定義( )f x0 x圖圖2:2: 00lim( )lim( )xxxxf x

4、f xxOy斷斷 開開)(xfy 0 xAB第6頁/共37頁第六頁，共38頁。7圖圖4:4: 00lim( )()xxf xf x圖圖3:3: 00lim( )()xxf xf xxOy連連 續(xù)續(xù))(xfy 0 xAxOy斷斷 開開)(xfy 0 x0()f xAB第7頁/共37頁第七頁，共38頁。8可見可見(kjin) , 函數(shù)函數(shù)在點在點定義定義(dngy)2:在在的某鄰域的某鄰域(ln y)內(nèi)有內(nèi)有定義定義 , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(1) )(xf在點在點0 x即即(2) 極限極限(3)設函數(shù)設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在 ;第8頁/

5、共37頁第八頁，共38頁。9，00 ylimx證明(zhngmng)：第9頁/共37頁第九頁，共38頁。10.)()(.)()()()(lim.)()( 00000000要條件處連續(xù)的必在點時有極限，是在函數(shù)所以，可能無定義，也可能在點因為處連續(xù)的點，并不意味著限的區(qū)別時有極當處連續(xù)和函數(shù)在點函數(shù)xxfxxxfAxfxxfxxfAxfxxxfxxfxx注意：注意：第10頁/共37頁第十頁，共38頁。11 ),()(lim00 xfxfxx如果如果則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)在點在點x0右連續(xù)右連續(xù).如果如果定義定義3:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 它在它在 既左連續(xù)

6、，又右連續(xù)，則稱既左連續(xù)，又右連續(xù)，則稱.)(0連續(xù)在xxf 設函數(shù)設函數(shù)0 x左連續(xù)左連續(xù)(linx) (linx) 右連續(xù)右連續(xù)(linx)(linx),()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)在點在點x0左連續(xù)左連續(xù).如果第11頁/共37頁第十一頁，共38頁。12如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點內(nèi)的每一點(y din)都連續(xù)，則稱函數(shù)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)；內(nèi)連續(xù)；若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在(a,b)內(nèi)連續(xù)，并且在左端點內(nèi)連續(xù)，并且在左端點a處右連續(xù)，處右連續(xù)，右端點右端點b處左連續(xù)，則稱函數(shù)處左連續(xù)，則稱函數(shù)f

7、(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連上連續(xù)續(xù).函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間(q jin)I上連續(xù)，稱它是上連續(xù)，稱它是I上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).3、區(qū)間、區(qū)間(q jin)上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)第12頁/共37頁第十二頁，共38頁。13可以證明可以證明(zhngmng)：基本初等函數(shù)在其定義：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)域內(nèi)為連續(xù)函數(shù).函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處連續(xù)的幾何意義是：處連續(xù)的幾何意義是：f(x)的圖的圖形形(txng)在點在點(x0,f( x0) 處是聯(lián)結(jié)在一起的，沒有處是聯(lián)結(jié)在一起的，沒有斷隙斷隙.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)，其圖形上連續(xù)，其圖形(txng)是一是一條

8、連接不斷的曲線條連接不斷的曲線.第13頁/共37頁第十三頁，共38頁。14定義定義(dngy)二、函數(shù)二、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的間斷點及其的間斷點及其分類分類第14頁/共37頁第十四頁，共38頁。15第15頁/共37頁第十五頁，共38頁。16例例1 正切函數(shù)正切函數(shù)y=tan x在點在點 處無定處無定義義(dngy)，所以點，所以點 是函數(shù)是函數(shù)tan x的的間斷點間斷點.有定義，在函數(shù)0 0 , 0, 0 ,1sin)( xxxxxf但是極限但是極限 不存在，所以不存在，所以x=0是函數(shù)是函數(shù)f(x)的間斷點的間斷點.xx1sinlim0例例2例例3 函數(shù)函數(shù) 在在x=1處無定義，因

9、此處無定義，因此x=1是該是該函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點. 122xxxy第16頁/共37頁第十六頁，共38頁。17根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)(hnsh)f(x)在間斷點處單側(cè)極限的情況，在間斷點處單側(cè)極限的情況，常將間斷點分為兩類：常將間斷點分為兩類：(1)若若x0是是f(x)的間斷點，并且的間斷點，并且f(x)在點在點x0處的左極限處的左極限(jxin)、右極限右極限(jxin)都存在，則稱都存在，則稱x0是是f(x)的第一類間斷點；的第一類間斷點；(2)若若x0是是f(x)的間斷的間斷(jindun)點，但不是第一類間斷點，但不是第一類間斷(jindun)點，則稱點，則稱x0是是f(x)的第二類間斷

10、的第二類間斷(jindun)點點.間斷點的分類間斷點的分類:第17頁/共37頁第十七頁，共38頁。18(1) 當當與與均存在均存在(cnzi),但不但不相等時相等時,稱稱為為的跳躍的跳躍(tioyu)間斷點間斷點;(2) 當當存在存在(cnzi),但不等于但不等于 xf在在0 x處的處的函數(shù)值時函數(shù)值時,稱稱0 x為為 xf的可去間斷點的可去間斷點.第18頁/共37頁第十八頁，共38頁。19在在x=0是否為函數(shù)是否為函數(shù)(hnsh)f(x)的間的間斷點斷點.例例4解解, 0lim)(lim200 xxfxx即即x=0是函數(shù)是函數(shù)(hnsh)f(x)的間斷點的間斷點,且為可去間且為可去間斷點斷點

11、第19頁/共37頁第十九頁，共38頁。20在第一類間斷點中，如果左極限與右極限相等，即在第一類間斷點中，如果左極限與右極限相等，即 存在存在.則稱此間斷點為可去間斷點則稱此間斷點為可去間斷點.如例如例3中中x=1為為y的可去間的可去間斷點斷點.例例4中中x=0為為f(x)的可去間斷的可去間斷 點點.這是因為如果這是因為如果x0為為f(x)的的可去間斷點，我們可以補充定義可去間斷點，我們可以補充定義f(x0) 或者或者(huzh)修改修改f(x0) 的值，由的值，由f(x)構(gòu)造出一個在構(gòu)造出一個在x0處連續(xù)的函數(shù)處連續(xù)的函數(shù).如如第20頁/共37頁第二十頁，共38頁。21第21頁/共37頁第二十

12、一頁，共38頁。22在點x=0處的連續(xù)性.故x=0是函數(shù)f(x)的間斷(jindun)點,即為跳躍間斷(jindun)點.例5, 1) 1(lim)(lim00 xxfxx解第22頁/共37頁第二十二頁，共38頁。23,)(xf在第二類間斷點中，如果當 時， 可稱x0為f(x)的無窮間斷點.如例1中 為tan x的無窮間斷點.如果當 時，f(x)的極限不存在，呈無限振蕩情形，則稱x0為f(x)的振蕩間斷點.如例4中x=0為f(x)的振蕩間斷點.0 xx ), 1, 0(2 kkx0 xx 第23頁/共37頁第二十三頁，共38頁。24例例6),0(0lim)(lim00fxxfxx解所以(suy

13、) f(x)在x=0 點連續(xù).第24頁/共37頁第二十四頁，共38頁。25三、初等三、初等(chdng)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定理(dngl) 若函數(shù) f (x) 和 g (x) 均在 x0 處連續(xù)，則則 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在該點亦均連在該點亦均連續(xù)續(xù)(linx)，又若又若 g(x0) 0，)()(xgxf則則在在 x0 處也連續(xù)處也連續(xù).（一）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連（一）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性續(xù)性 第25頁/共37頁第二十五頁，共38頁。26（二）復合（二）復合(fh)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 定理定理 設

14、函數(shù)設函數(shù)(hnsh)y=f(u)在點在點u=u0處連處連續(xù)，續(xù)，函數(shù)函數(shù)(hnsh)u=(x)在點在點x=x0處連續(xù)處連續(xù),且且(x0) = u0，則復合函數(shù)則復合函數(shù)(hnsh)y=f(x)在點在點x=x0處處連續(xù)。連續(xù)。第26頁/共37頁第二十六頁，共38頁。27 復合復合(fh)(fh)函數(shù)求極限的方函數(shù)求極限的方法法第27頁/共37頁第二十七頁，共38頁。28第28頁/共37頁第二十八頁，共38頁。29解:第29頁/共37頁第二十九頁，共38頁。30（三）反函數(shù)的連續(xù)性（三）反函數(shù)的連續(xù)性定理定理 如果如果(rgu)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在區(qū)間區(qū)間Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）上單調(diào)增

15、加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=(y)也在對應的區(qū)間也在對應的區(qū)間Iy=y=f(x),x Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)連續(xù).第30頁/共37頁第三十頁，共38頁。311 1 初等初等(chdng)(chdng)函函數(shù)的連續(xù)性數(shù)的連續(xù)性定理定理 一切初等一切初等(chdng)(chdng)函數(shù)在其定義函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連區(qū)間內(nèi)都是連 續(xù)的續(xù)的 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)于分段于分段(fn dun)(fn dun)函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每

16、一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性 （四）初等函數(shù)的連續(xù)性（四）初等函數(shù)的連續(xù)性 第31頁/共37頁第三十一頁，共38頁。322 2 利用函數(shù)利用函數(shù)(hnsh)(hnsh)的連續(xù)的連續(xù)性求極限性求極限第32頁/共37頁第三十二頁，共38頁。33第33頁/共37頁第三十三頁，共38頁。34定理定理 閉區(qū)間閉區(qū)間(q jin)(q jin)上連續(xù)函數(shù)一定存上連續(xù)函數(shù)一定存在最大在最大 值和最小值值和最小值 四、四、 閉區(qū)間閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)第34頁/共37頁第三十四頁，共38頁。35第35頁/共37頁第三十五頁，共38頁。36第36頁/共37頁第三十六頁，共38頁。37感謝您的觀看(gunkn)！第37頁/共37頁第三十七頁，共38頁。