第二章 解析函數(shù)

1、 第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù) 解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象1 1 介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念和求導(dǎo)法則介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念和求導(dǎo)法則2 2 講解解析函數(shù)的概念及其判別法，闡講解解析函數(shù)的概念及其判別法，闡明解析與可導(dǎo)的關(guān)系明解析與可導(dǎo)的關(guān)系3 3 介紹一些常用的初等函數(shù)，說(shuō)明它們介紹一些常用的初等函數(shù)，說(shuō)明它們的解析性。的解析性。2.1 2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f z在開區(qū)域在開區(qū)域d內(nèi)有定義內(nèi)有定義0zzz 是是d內(nèi)任一點(diǎn)，令內(nèi)任一點(diǎn)，令 00()()f zzf z

2、 如果如果 0000limlimzzfzzfzzz ( )f z在在0z處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，a 為為( )f z在在0z處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0fz或0z zddz0,zd定義定義1 1存在，記作存在，記作a稱稱記作：記作：即即(2.1)或?qū)懗晌⒎中问交驅(qū)懗晌⒎中问?(0)fzzozz 0000()()limzf zzf zfzz (2.2)00df zfzz 0f zz為在 處的微分故也稱 0f zz在 處可微。則稱則稱如果如果 f z在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)處處可導(dǎo)（可微），內(nèi)處處可導(dǎo)（可微）， f z在在d內(nèi)可導(dǎo)（可微）內(nèi)可導(dǎo)（可微）。例例1nzzf)(求函數(shù)求函數(shù)n（ 為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù)

3、。解解因?yàn)橐驗(yàn)?0limzf zzf zz 0limnnzzzzz 1201lim2!nnzn nnzzz 1nnz所以所以 1nfznz例例2( )ref zz證明證明在全平面處處不可導(dǎo)。在全平面處處不可導(dǎo)。證明證明0z因?yàn)閷?duì)任意一點(diǎn)因?yàn)閷?duì)任意一點(diǎn) 000000rereref zf zzzzzzzzzzz分別考慮直線分別考慮直線0rerezz及直線及直線0imimzz在前一直線上，上式恒等于在前一直線上，上式恒等于0； 在后一直線在后一直線上，上式恒等于上，上式恒等于1。0zz故當(dāng)故當(dāng)時(shí)，時(shí)，上式?jīng)]上式?jīng)]有極限，有極限，即即( )f z0z在在處沒有導(dǎo)數(shù)。處沒有導(dǎo)數(shù)。由于由于0z的任意性，的

4、任意性，( )f z在全平面處處沒有導(dǎo)數(shù)。在全平面處處沒有導(dǎo)數(shù)。2 可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù) 定理定理1證明證明( )f z在在0z處可導(dǎo)處可導(dǎo),則則( )f z在在0z處連續(xù)。處連續(xù)。若若( )f z在在0z處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，對(duì)于任意的對(duì)于任意的0,存在存在0,0z 使得當(dāng)使得當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有 000()f zzf zfzz 000f zzf zzfzz 令令0lim0zz 則則000f zzf zfzzzz 由由000limzf zzf z 有有即即( )f z在在0z處連續(xù)。處連續(xù)。3 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 1 0c(c為復(fù)常數(shù))2 cf zcfz(c為復(fù)常數(shù))3 f zg zfzgz4 f zg

5、zfz g zf z gz5 2f zfz g zf z gzg zgz( ( )0)g z 6 fg zfgzfg zgz( )g z7 f zzh當(dāng)與是兩個(gè)互為反函數(shù)的是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，單值函數(shù)， 0h且時(shí)， 1fzh例例3 (1)(1)利用法則利用法則6 6，得：，得： 12011( )(1)nnnfza nza nza例例4 32(1) 46,f zzz已知 0f 求； zf 求； (2) ,nf zz已知解解 2234624fzzzz利用法則利用法則1,2,31,2,3，得：，得： 20 03 64432zffz 從而(2) ( )znf z ,nzh的反函數(shù)為的反函數(shù)為

6、由法則由法則7 7，得：，得： 111111nnnnnfzzhnn z1011( )nnnnf za za zaza求的導(dǎo)函數(shù)。解解4 函數(shù)可導(dǎo)的條件函數(shù)可導(dǎo)的條件 定理定理2(cauchyriemann) ,f zu x yiv x y設(shè)設(shè)zxiyd且且在在在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則, ( , )( , ),uuvvu x yv x yx yxyxy在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且滿足方程且滿足方程uvxyuvyx 此時(shí)，此時(shí)，的導(dǎo)數(shù)可寫成的導(dǎo)數(shù)可寫成( )f zz在在點(diǎn)點(diǎn) uvvufziixxyyc-r(cauchyriemann)條件條件)(2.3)(2.4)證明：

7、證明：( )f zz由由于于在在點(diǎn)點(diǎn) 可可導(dǎo)導(dǎo)，則依任何方式則依任何方式 0z 都都有有 0limzfzz 其中其中,zxi y f zzf zui v ,uu xx yyu x y ,vv xx yyv x y z沿實(shí)軸趨于零，則沿實(shí)軸趨于零，則不妨先讓不妨先讓 0limzfzz 0000limlimxxyyuvixx uvixx0limzui vxi y uviyy z沿虛軸趨于零，則又有沿虛軸趨于零，則又有再讓再讓 0limzfzz 0limzui vxi y 0000limlimxxyyui vi yi y 比較上兩式，則得比較上兩式，則得 ,uvxyuvyx z且且在在點(diǎn)點(diǎn) 處處有有

8、 uvvufziixxyy注意注意 ：本定理表明，若函數(shù)本定理表明，若函數(shù)( )f zz在在點(diǎn)點(diǎn) 可可導(dǎo)導(dǎo)，（2.42.4）可求得點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）可求得點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)則依據(jù)公式則依據(jù)公式這比由導(dǎo)數(shù)定義求這比由導(dǎo)數(shù)定義求( )fz。導(dǎo)方便得多。導(dǎo)方便得多。 cr cr條件只是導(dǎo)數(shù)存在的一個(gè)必要條件條件只是導(dǎo)數(shù)存在的一個(gè)必要條件。 例例5 證明：函數(shù)證明：函數(shù)處處不可導(dǎo)。處處不可導(dǎo)。 證明證明 ,f zxiy,1uux vyx 即即從從而而，,uvxy因此，在復(fù)因此，在復(fù)1;vy 即即c-rc-r條件不成立，條件不成立，平面的任何點(diǎn)處，平面的任何點(diǎn)處， f zz不可導(dǎo)。不可導(dǎo)。 f zz0z 在在點(diǎn)點(diǎn)處的可導(dǎo)

9、性。處的可導(dǎo)性。 f zxy討論討論解解,u x yxy，,0v x y ，0z 在在點(diǎn)點(diǎn)處處有有0,000,00,0lim0 xuxuuxx ，0,00uy，0,00,00vvxy例例6 6即函數(shù)即函數(shù) f zxy0c-rz 在在點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足條條件件。但若讓但若讓 00limzfzfz 0zxi yyk x 沿沿射射線線趨趨于于 ，則則有有1kik 0limxy kxxyxi y 所以函數(shù)所以函數(shù) 0z 在在點(diǎn)點(diǎn)處的不可導(dǎo)。處的不可導(dǎo)。 f zxy定理定理3 (函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件) ,f zu x yiv x y函函數(shù)數(shù)dzxiy在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處處可導(dǎo)的充分

10、必要條件是可導(dǎo)的充分必要條件是uvxyuvyx , ( , )( , )u x yv x yx y在在點(diǎn)點(diǎn)處處(c-r條件條件)可微且滿足可微且滿足c-r條件條件證明：證明：“必要性必要性” 可導(dǎo)，可導(dǎo)，( )f zdzxiy設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)處處 則對(duì)充分小的則對(duì)充分小的22|()() ,zxy 有有 f zzf z 000f zzf zzfzz其中其中0lim0zz fzaib設(shè)設(shè)ui v 12a xb yi b xa yi fzzzz 且且則則12ua xb yvb xa y 比較上式的實(shí)部和虛部，即得比較上式的實(shí)部和虛部，即得 是關(guān)于是關(guān)于| z的高階無(wú)窮小。的高階無(wú)窮小。

11、1re,zz2imzz其中其中根據(jù)二元實(shí)函數(shù)的微分定義，根據(jù)二元實(shí)函數(shù)的微分定義，( , )( , )u x yv x y和和在在點(diǎn)點(diǎn)z可微，且有可微，且有=,uvaxy=uvbyx 即即crcr條件成立。條件成立。 “充分性充分性” , ( , )( , )u x yv x yx y由由在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微，有有1uuuxyxy 2vvvxyxy 其中，其中，2212()()zxy 、是是比比無(wú)窮小量。無(wú)窮小量。高階的高階的由由crcr條件，可令條件，可令uvaxy，uvbyx 則有則有12aibxi yi f zzf zui v 12a xb yi b xa y f zzf zaibz 即

12、即12iz(0)z 1212izz其中其中且且 0limzf zzf zaibz 所以所以 fzaib即即uvixxuuixyvuiyyvviyx0推論推論,u x yv x y若若函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),uvxy,vuxy在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y) 處處連續(xù)連續(xù)，且滿足，且滿足c-r條件，則復(fù)條件，則復(fù)變函數(shù)變函數(shù)( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy在處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。二、二、解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 1 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義定義定義2如果函數(shù)如果函數(shù)( )f zzz在在 及及 的的鄰鄰域域內(nèi)處處可導(dǎo)，內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱則稱( )f zz在在點(diǎn)點(diǎn) 處處解析；解析；

13、如果函數(shù)如果函數(shù)( )f zd在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)解析，則稱每一點(diǎn)解析，則稱( )f zd是是區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)的一個(gè)解析函數(shù)例例1 1：函數(shù)函數(shù)2( )f zz在復(fù)平面中每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，在復(fù)平面中每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，所以它們?cè)谡麄€(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解析。所以它們?cè)谡麄€(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解析。例例2 2：我們可以驗(yàn)證：我們可以驗(yàn)證2( )f zz在復(fù)平面內(nèi)處處在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。不解析。孤立奇點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)( )f zz在在點(diǎn)點(diǎn)處不解析，處不解析，( )zf z則則稱稱點(diǎn)點(diǎn) 為為的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)；特別地，特別地，若函數(shù)若函數(shù)( )f zz在在點(diǎn)點(diǎn)處不解析，處不解析，z而而在在 的的某某一去心鄰域內(nèi)處

14、處解析，一去心鄰域內(nèi)處處解析，( )zf z則則稱稱點(diǎn)點(diǎn) 為為的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)。例如例如 21,f zz函數(shù)函數(shù)0z 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，有有 22011limzzzzfzz 2202limzzzzzz 32z ( )f z沒有定義，導(dǎo)數(shù)當(dāng)然也不存在，沒有定義，導(dǎo)數(shù)當(dāng)然也不存在，所以，在復(fù)平面中除去所以，在復(fù)平面中除去0z 外外( )f z的導(dǎo)數(shù)處處存在，的導(dǎo)數(shù)處處存在，因而因而0z 的區(qū)域內(nèi)解析；的區(qū)域內(nèi)解析；在除去在除去( )f z但在但在0z 處，處，從而從而( )f z在在0z 處不解析，處不解析，0z 是是( )f z的奇點(diǎn)，的奇點(diǎn)， 也是的孤立奇點(diǎn)。也是的孤立奇點(diǎn)。注意注意函數(shù)的奇點(diǎn)并非

15、都是孤立奇點(diǎn)，以后我們討論函數(shù)的奇點(diǎn)并非都是孤立奇點(diǎn)，以后我們討論的奇點(diǎn)主要是孤立奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)主要是孤立奇點(diǎn)。函數(shù)在一點(diǎn)處解析與可導(dǎo)是兩個(gè)不等價(jià)的概念。函數(shù)在一點(diǎn)處解析與可導(dǎo)是兩個(gè)不等價(jià)的概念。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析與可導(dǎo)是等價(jià)的。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析與可導(dǎo)是等價(jià)的。2函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件 定理定理4 ,f zu x yiv x y函函數(shù)數(shù)d在在其其定定義義區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解析的充分必要條件是解析的充分必要條件是, ( , )du x yv x y 在在 內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)izxy處可微且滿足處可微且滿足c-r條件條件uvxyuvyx (c-r條件條件)運(yùn)算法則運(yùn)算法則 1在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析的

16、兩個(gè)函數(shù)內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)( )( )f zg z與與的和、差、的和、差、積、商（除去分母為零的點(diǎn)外）在積、商（除去分母為零的點(diǎn)外）在d內(nèi)解析；內(nèi)解析；2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) hg zz在在平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域d內(nèi)解析，內(nèi)解析， 函數(shù)函數(shù) f hh在在平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域g內(nèi)解析，內(nèi)解析，如果對(duì)如果對(duì)d內(nèi)內(nèi), z的每一個(gè)點(diǎn)的每一個(gè)點(diǎn)函數(shù)函數(shù) g z的對(duì)應(yīng)值的對(duì)應(yīng)值h都屬于都屬于g， 那么那么 fg z復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)在在d內(nèi)解析。內(nèi)解析。注：注：所有關(guān)于所有關(guān)于z的多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是處處解的多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的；析的； 任何一個(gè)關(guān)于任何一個(gè)關(guān)于z的有理分式函數(shù)的有理分式函數(shù) p

17、zq z在不在不含使分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，含使分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)， 使分母使分母為零的點(diǎn)是它的孤立奇點(diǎn)。為零的點(diǎn)是它的孤立奇點(diǎn)。( )e (cosisin )xf zyy33( )2i3f zxyc-r四四個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)且且滿滿足足條條件件例例7判斷下列函數(shù)是否解析：判斷下列函數(shù)是否解析：(1)(2)解解(1)e cos ,xuye cos ,xuyxe sin ,xvyx,uvuvxyyx ( )e (cosisin )xf zyy在復(fù)平面內(nèi)處處解析。在復(fù)平面內(nèi)處處解析。 所以所以e sin ,xvye sinxuyy ，e cos

18、xvyy，( )iuvfzxy(cosisin )exyy( )f z(2)332,3ux vy26,uxx0,uy0,vx29;vyy四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。但四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。但c-r條件只在條件只在2269xy即直線即直線230 xy和和230 xy上滿足。上滿足。 所以，所以，33( )2i3f zxy只在以上兩條只在以上兩條直線上可導(dǎo)，直線上可導(dǎo)， 從而處處不解析。從而處處不解析。例例8常數(shù)常數(shù), ,m n l取何值時(shí)，取何值時(shí)， 函數(shù)函數(shù)3232( )i()f zmynx yxlxy在復(fù)平面內(nèi)處處解析？在復(fù)平面內(nèi)處處解析？解解3232,umynx y vxlxy2,unxyx22

19、3umynxy223,vxlyx2vlxyy四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，因此只有當(dāng)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，因此只有當(dāng)222222,33nxylxyxlymynx1,3mnl 即當(dāng)即當(dāng)時(shí)，時(shí)， 函數(shù)函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)( )f z處處解析。處處解析。例例9證明：證明：若函數(shù)若函數(shù)( )f z在在e內(nèi)解析，內(nèi)解析，并滿足下列并滿足下列條件之一，條件之一，則則( )f z是常數(shù)。是常數(shù)。( )f z恒取實(shí)數(shù)；恒取實(shí)數(shù)；( )f z在在e內(nèi)解析；內(nèi)解析；( )f z在在e內(nèi)為非零常數(shù)；內(nèi)為非零常數(shù)；( )0fz 證證： ( )( , )f zu x y恒取實(shí)數(shù)；恒取實(shí)數(shù)；0,v ( )f z函數(shù)函數(shù)在在e內(nèi)解析，內(nèi)解析，0,uvxy所所以以0uvyx ，故故( , )ux y與與無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，( )( , )cf zu x y所以所以為常數(shù)。為常數(shù)。( )( , )( , )f zu x yiv x y由由與與( )( , )i ( , )f zu x yv x