圓的概念-公式及推導(dǎo)(完整版)

1、幾何說(shuō)： 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 定點(diǎn)稱為 圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。軌跡說(shuō)： 平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心， 一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱圓。集合說(shuō)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。圓的相關(guān)量圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比叫做圓周率，值是3.149323846，通常用冗表示，計(jì)算中常取3.1416為它的近似值。圓弧和弦： 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧， 簡(jiǎn)稱弧。 大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直 徑。圓心角和圓周角： 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。 頂點(diǎn)在圓周上， 且它的兩邊 分別與圓有

2、另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。內(nèi)心和外心： 過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓， 其圓心叫做三角形的外心。 和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓， 其圓心稱為內(nèi)心。扇形： 在圓上， 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。 圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。圓和圓的相關(guān)量字母表示方法圓一O半徑一r弧一c 直徑一d扇形弧長(zhǎng)圓錐母線 l 周長(zhǎng) C 面積 S圓和其他圖形的位置關(guān)系圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn) P 與圓 O 的為例（設(shè)P 是一點(diǎn)，則 PO 是點(diǎn)到圓心的距離），P 在。外，PO>r； P 在。上，PO = r； P 在。內(nèi)，PO<r。直線與圓有3 種位

3、置關(guān)系： 無(wú)公共點(diǎn)為相離； 有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交； 圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切， 這條直線叫做圓的切線， 這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。 以直線AB與圓O為例（設(shè)OP XAB于P,則PO是AB到圓心的距離）：AB與 。相離，PO>r； AB 與。相切，PO = r； AB 與。相交，PO<r。兩圓之間有5 種位置關(guān)系： 無(wú)公共點(diǎn)的， 一圓在另一圓之外叫外離， 在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R>r, 圓心距為P:外離P>R+r；外切P=R+r；相交 R-r<

4、P<R+r；內(nèi)切P=R-r;內(nèi) 含 P<R-r?！緢A的平面幾何性質(zhì)和定理】有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓的對(duì)稱性質(zhì)： 圓是軸對(duì)稱圖形， 其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。 圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。 90 度的圓

5、周角所對(duì)的弦是直徑。有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。 外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)， 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等； 內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。有關(guān)切線的性質(zhì)和定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑； 經(jīng)過(guò)直徑的一端， 并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（ 1 ）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（ 2 ）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線的長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等。K有關(guān)圓的計(jì)算

6、公式11.圓的周長(zhǎng)C=2兀r=冗d 2.圓的面積S=tt r23.扇形弧長(zhǎng)l=n兀r/1804.扇形面積S=n：t360=rl/25.圓錐側(cè)面積S=tt rl弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如右圖所示， 直線PT切圓。于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦，則有/ PCA=/PBC（/ PCA為弦切角）。圖示弦切角定理弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為O,連接 0（ / TCB=90- / 0CB. / BOC=180-2 / 0CB 一 1C, 0B,連接BA并延長(zhǎng)交直線 T于點(diǎn)P。 i弦切角定理： 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.（弦切角就是切線與弦所

7、夾的角）TCB此圖證明的是弦切角/ , / BOC=2 / TCA （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半） / BOC=2 / CAB （圓心角等于圓周角的兩倍）丁./ TCA= Z CAB （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知： AC是O O的弦，AB是。O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角/BAC所夾的弧.求證：（弦切角定理）證明：分三種情況：（1） 圓心O在/ BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切。于A , 弧 CmA=弧 CA 為半圓，丁./ CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)（2） 圓心O在/ BAC的內(nèi)部.過(guò)A作直徑AD交。于D,若在優(yōu)弧

8、m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E那么，連接 EC、ED、EA貝U有：/ CED= / CAD、/ DEA= / DAB/ CEA= / CAB（弦切角定理）（3） 圓心O在/ BAC的外部,過(guò)A作直徑AD交。于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90/ CDA= / CAB，（弦切角定理）弦切角推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等舉例：例1 :如圖，在中，/ C=90 ,以AB為弦的。O與AC相切于點(diǎn) A , / CBA=60 AB=a 求 BC 長(zhǎng).BAC=30BC=1/2a（ RT中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半）例1:如圖，在中，/C=90,以AB為

9、弦的。O與AC相切于點(diǎn) A, Z CBA=60 , AB=a 求BC長(zhǎng).解：連結(jié)OA , OB. 在中，/ C=90 ./ BAC=30BC=1/2a（ RT中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半）B D例2:如圖， AD是A ABC中/ BAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的。與BC切于點(diǎn) D,與AB , AC分別相交于巳F.求證：EF / BC.證明：連 DF.AD 是/ BAC 的平分線 / BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DAC。切 BC 于 D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF / BC例3:如圖， A ABC內(nèi)接于。O, AB是。O直徑，C

10、D ±AB于D, MN切。于C, 求證：AC平分/ MCD , BC平分/ NCD.證明：AB是。O直徑 ./ ACB=90CD ±AB/ ACD= / B , MN 切。O 于 C/ MCA= / B , ./ MCA= Z ACD ,即AC平分/ MCD , 同理：BC平分/ NCD.切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的 切線長(zhǎng) 相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長(zhǎng) AC=AB 。 / ABO= / ACO=90BO=CO=半徑AO=AO公共邊 . Rt AABO0 Rt AACO ( H.L )AB=AC/AOB= /AOC/ OAB=

11、/ OAC切線長(zhǎng)定理推論：圓的外接四邊形的兩組對(duì)邊的和相等切線長(zhǎng)的概念.如圖，P是。O外一點(diǎn)，PA, PB是。O的兩條切線，我們把線段PA, PB叫做點(diǎn) P到。O的切線長(zhǎng).引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外 一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn) 的連線平分兩條切線的夾角.推廣：連接 BC , BCXAO相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）相交弦說(shuō)明幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P則PA

12、 PB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P,則PCA2=PA PB （相交弦定理推論）編輯本段如何證明證明：連結(jié) AC , BD ,由圓周角定理 的推論，得/ A = /D,/C = /B°（圓周角 推論2:同（等）弧所對(duì)圓周角相等 .） ， PACA PDB，.二PA ： PD=PC ： PB, PA- PB =PC PD注：其 逆定理 可作為證明圓的 內(nèi)接三角形 的方法.P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具 一般性。»斯一，- E C* 二/JIX 所叫Mt Pb-K ：

13、W;I3r, -fa - PR .卞 ri'I I / 一 u 一制【交弦定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的 比例中項(xiàng)。是圓哥定理 的一種。幾何語(yǔ)言： PT切。于點(diǎn)T, PBA是。O的割線PT的平方=PA PB （切割線定理）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等幾何語(yǔ)言： PBA , PDC是。O的割線PD- PC=PA PB （切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT的平方=PA PB=PC PD證明切割線定理證明：PB設(shè)ABP是O O的一條割線，PT是。O的一條切線，切點(diǎn)為T,則PT&am

14、p;sup2;=PA證明：連接 AT, BTPTB= / PAT（弦切角定理）/P=/P（公共角）. PBT pta（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似 ）貝U PB: PT=PT : AP即：PT&sup2;=PB- PA相交弦定理（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）相交弦說(shuō)明幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P則PA PB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P,則PCA2=PA PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連

15、結(jié) AC , BD ,由圓周角定理 的推論，得/ A = /D,/C = /B°（圓周角 推論2:同（等）弧所對(duì)圓周角相等 .） ， PACA PDB，.二PA ： PD=PC ： PB, PA- PB =PC PD注：其 逆定理 可作為證明圓的內(nèi)接三角形 的方法.P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。翹萬(wàn)工耳=7a /|iHflGJU：P'j»rAPD«>A PfU K ： M相交弦定理從圓外一點(diǎn) P引兩條割線與圓分別交于 A.B.C.D 則有PA PB=PC PD。證明：如圖直線 ABP和CDP是自點(diǎn) P引的。O的兩條割線，則 PA PB=PC PD

16、 證明：連接AD、BCB二 一 文.一/A和/C都對(duì)弧BD 由圓周角定理，得 ZA= ZC又. / APD= / CPB . ADP s' cbp . AP:CP=DP:BP, 也就是 AP- BP=CP DP101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直 平分線107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線108到兩條平行線距

17、離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧111推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們

18、所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等116定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角121直線L和。相交dvr直線L和。O相切d=r直線L和。相離d>r122切線的判定定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑124推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)125推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心126切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩