浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的）1. （5 分）（2015?浙江）已知集合 P=x|x 2 - 2x 左, Q=x2vx<4,貝 U PAQ=（）A. 3, 4）B. （2, 3C. （T, 2）D. （T, 3考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.專題：集合.分析：求出集合P,然后求解交集即可.解答：解：集合 P=x|x 2 - 2xm=xx <- 1 或 x m,Q=x|2 <x<4,則 P AQ=x|3 蟲 V4=3 , 4）.故選：A .點(diǎn)評(píng)：本題考查二

2、次不等式的解法，集合的交集的求法，考查計(jì)算能力.則該幾何體的體積是（）2. （5分）（2015?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）主視圖惻視圖2俯視圖A . 8cm33B. 12cmC. 32即考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積.專題：空間位置關(guān)系與距離.分析:解答:判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求幾何體的體積即可.解：由三視圖可知幾何體是下部為棱長(zhǎng)為2的正方體，上部是底面為邊長(zhǎng) 2的正方形奧為2的正四棱錐，所求幾何體的體積為:23+±>2>2>2=3323 516故選：C.點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系的判斷，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力.3. （

3、5分）（2015?浙江）設(shè)a, b是實(shí)數(shù)，貝U a+b> 0”是ab>0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.專題：簡(jiǎn)易邏輯.分析：利用特例集合充要條件的判斷方法，判斷正確選項(xiàng)即可.解答：解：a, b是實(shí)數(shù)，如果a= - 1, b=2貝U a+b>0”,貝U ab>0”不成立. 如果a= - 1, b= - 2, ab>0,但是a+b>0不成立，所以設(shè)a, b是實(shí)數(shù)，則a+b>0”是ab>0”的既不充分也不必要條件. 故選：D.點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷與應(yīng)

4、用，基本知識(shí)的考查.4. （5分）（2015?浙江）設(shè) n3是兩個(gè)不同的平面，l, m是兩條不同的直線， 且1?鵬m?以（ ）A.若 1，&則 3 B.若 氏則 1±m C.若 1 / 氏則 all 3 D.若 all 3 則 1 / m考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離.分析：A根據(jù)線面垂直的判定定理得出A正確；B根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷 B錯(cuò)誤；C根據(jù)面面平行的判斷定理得出C錯(cuò)誤；D根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷 D錯(cuò)誤.解答：解：對(duì)于A, .11 3,且1?”,根據(jù)線面垂直的判定定理，得 3,，A正確；對(duì)于B,當(dāng)3, 1? % m? 3時(shí)，1與

5、m可能平行，也可能垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)1/ 3,且1? a時(shí)，a與3可能平行，也可能相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,當(dāng)all 3,且1? % m? 3時(shí)，1與m可能平行，也可能異面，D錯(cuò)誤.故選：A .點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用問 題，是基礎(chǔ)題目.cosx （-兀買wx用）的圖象可能為（5. (5分)(2015?浙江)函數(shù) f (x) = (x-)考點(diǎn)：函數(shù)的圖象.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.0, 1)上,分析：由條件可得函數(shù)f （x）為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；再根據(jù)在（ f （x） < 0,結(jié)合所給的選項(xiàng)，得出結(jié)論.解答.解：對(duì)于函數(shù)f

6、(x) = (x -1) cosx (-兀莢w皿xO),由于它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f ( - x) = x) cosx= - f (x),故函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故排除A、B.再根據(jù)在(0, 1)上，_1>x, cosx>0, f (x) = (x-_1) cosxv。，故排除 C,|x宜故選：D.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，奇函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的定義域和值域，屬于 中檔題.6. (5分)(2015?浙江)有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且 三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x, y

7、, z,且xvy<z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a, b, c,且avbvc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()A. ax+by+czB. az+by+cxC. ay+bz+cxD. ay+bx+cz考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：作差法逐個(gè)選項(xiàng)比較大小可得.解答：解：,.,*丫<2且2< bc,1- ax+by+cz - (az+by+cx)=a (x z) +c (z x)=(x z) (a c) >0, ax+by+cz > az+by+cx ;同理 ay+bz+cx - (ay+bx+cz)=b

8、(z x) +c (x z)=(z x) (b c) <0, ay+bz+cx < ay+bx+cz ;同理 az+by+cx - ( ay+bz+cx)=a (z- y) +b ( y- z)=(z- y) (a - b) < 0, az+by+cx < ay+bz+cx , 最低費(fèi)用為az+by+cx 故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，涉及作差法比較不等式的大小，屬中檔題.7. (5分)(2015?浙江)如圖，斜線段 AB與平面a所成的角為60°, B為斜足，平面 a上 的動(dòng)點(diǎn)P滿足/PAB=30°,則點(diǎn)P的軌跡是()C.橢圓D.雙曲線的一支考點(diǎn)

9、：圓錐曲線的軌跡問題.專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:解答:根據(jù)題意，/PAB=30。為定值，可得點(diǎn) P的軌跡為一以AB為軸線的圓錐側(cè)面與平面 a的交線，則答案可求.解：用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng) 平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線.此題中平面再由斜線段故可知?jiǎng)狱c(diǎn)a上的動(dòng)點(diǎn)P滿足/PAB=30°,可理解為P在以AB為軸的圓錐的側(cè)面上, AB與平面a所成的角為60°,可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義. P的軌跡是橢圓.點(diǎn)評(píng):故選：C.本題考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ).8.A .C.（5分）（20

10、15?浙江）設(shè)實(shí)數(shù)a, b 若t確定，則b2唯一確定若t確定，則sin上唯一確定2t 滿足 |a+1|=|sinb|=t.(B.若t確定，則a2+2a唯一確定D.若t確定，則a2+a唯一確定考點(diǎn)：四種命題.專題：開放型；簡(jiǎn)易邏輯.分析:解答:根據(jù)代數(shù)式得出a2+2a=t2 - 1sin2b=t2,運(yùn)用條件，結(jié)合三角函數(shù)可判斷答案.點(diǎn)評(píng):解：.實(shí)數(shù) a, b, t 滿足|a+1|二t,（a+1） 2=t2,a2+2a=t2 - 1,t確定，則t2- 1為定值.sin2b=t2,A, C不正確，若t確定，則a2+2a唯一確定，故選：B本題考查了命題的判斷真假，屬于容易題，關(guān)鍵是得出a2+2a=t2

11、_ 1,即可判斷.二、填空題（本大題共 7小題，多空題每題 6分,單空題每題4分，共36分）9. （6 分）（2015?浙江）計(jì)算：log考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可.解答：解:10g2-log 2 ;，：=12'故答案為：-,；點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查.10. （6分）（2015?浙江）已知an是等差數(shù)列，公差 d不為零，若a2, a3, a7成等比數(shù)列, 且 2ai+a2=l,貝U ai=, d= 一 1.考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì).專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

12、，計(jì)算可得枷，再由條件2ai+a2=1,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得到首項(xiàng)和公差.解答：解：由a2, a3, a7成等比數(shù)列，2貝U a3 =a2a7,即有（a+2d） 2= （a1+d） （a1+6d）,即 2d2+3a1d=0,由公差d不為零，則d=一上a12又 2a1+a2=1,即有 2a1+a1+d=1 ,即 3a1 a1=1 ,9解得 a1F，d= - 1.故答案為：2, T .3點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列首項(xiàng)和公差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列 和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.11. （6分）（2015?浙江）函數(shù)f （x） =sin2x+sinxcosx+1的最小正

13、周期是兀：最小值是_2 一考點(diǎn)：二倍角的余弦；三角函數(shù)的最值.專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).在，由正弦函數(shù)的圖 2分析：由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得f (x) =Hsin (2x-2L)24象和性質(zhì)即可求得最小正周期，最小值.解答：解：' f (x) =sin2x+sinxcosx+11 - cos2x 1 .門. =+sin2x+12 2=sin (2x 工)+-. 242最小正周期T"二兀，最小值為：2 -迄2222故答案為：兀，3M.2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查.12. (6分)(2015?浙江)已知函數(shù)

14、f (x)貝U f (f ( - 2) =_ -三f (x)的最小值是2/fi 6考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：由分段函數(shù)的特點(diǎn)易得f (f ( - 2)=的值；分別由二次函數(shù)和基本不等式可得各段 的最小值，比較可得.解答：解：由題意可得f (-2) = (-2) 2=4,crji f (f (- 2) =f (4) =4+-6=-;42當(dāng) xW 時(shí)，f (x) =x2,由二次函數(shù)可知當(dāng) x=0時(shí)，函數(shù)取最小值 0;當(dāng) x>1 時(shí)，f (x) =x+- 6,工由基本不等式可得f (x) =x+? - 6 NK 也6=2/6 - 6,當(dāng)且僅當(dāng)x=上即x&quo

15、t;另時(shí)取到等號(hào)，即此時(shí)函數(shù)取最小值2后-6;2遍-6<0,f (x)的最小值為 2m-6故答案為：-,；2、后-6 L-a點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，屬中檔題.t-lH4-* 1-*ei,e2是平面向量，且 封？亡2=1,若平衡向量b滿足2b?ei=b?T*=1,則 |b|= 久3 .e23 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律.專題：平面向量及應(yīng)用.分析：根據(jù)數(shù)量積得出ei, W夾角為60。，<b, ei> = <b, e2>=30。，運(yùn)用數(shù)量積的定義判斷求解即可.解答：一 ,斛：- ei, e2是平面單位向重，且 ei?e2=i

16、, £ei,修夾角為60°,一平衡向量匕滿足匕？6i=b?Ez=ib! ei, 7夾角相等，且為銳角,1- b應(yīng)該在ei, e2夾角的平分線上,即了,> =< b,4=30ppi >cos30 =i ,故答案為：；3點(diǎn)評(píng)：本題簡(jiǎn)單的考查了平面向量的運(yùn)算，數(shù)量積的定義，幾何圖形的運(yùn)用，屬于容易題, 關(guān)鍵是判斷夾角即可.i4. （4分）（20i5?浙江）已知實(shí)數(shù) x, y滿足x2+y2W,則|2x+y - 4|+|6 - x - 3y|的最大值是i5考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.專題：開放型；不等式的解法及應(yīng)用.分析：由題意可得2x+y-4V0, 6 - x - 3y

17、> 0,去絕對(duì)值后得到目標(biāo)函數(shù)z= - 3x- 4y+i0 ,然后結(jié)合圓心到直線的距離求得|2x+y - 4|+|6 - x - 3y|的最大值.解答：解：如圖,可得 2x+y-4v0, 6-x-3y>0,則 |2x+y 4|+|6 x 3y|= _ 2x y+4+6 x 3y= _ 3x 4y+10 ,令 z= 3x 4y+10,得要使z=-3x-4y+10最大，則直線 支-3二-在y軸上的截距最小，由 z= - 3x - 4y+10,得 3x+4y+z - 10=0 .貝即 z=15 或 z=5.51由題意可得z的最大值為15.故答案為：15.點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考

18、查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想 方法，是中檔題.15. (4分)(2015?浙江)橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)F (c, 0)關(guān)于直線y)x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是V2 2考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析：設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可.解答:Ti解：設(shè)Q （m, n）,由題意可得工上吐02-c 2 Ja b32 2 F 22 )I -a . a解得 e2 (4e44e2+i) +4e2=1, 可得，4e+e2 - 1=0 .即 4e6 2e4+2e4 e2+2e2 -1=0

19、, 可得(2e2- 1) (2e4+e2+i) =0 解得e盤.21故答案為：返2點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱知識(shí)以及計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16. （14分）（2015?浙江）在4ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,已知tan jr（一+a）=2.4（I）求孔。2A g的值; sinSA-hco s ATT（n ）若 B=, a=3,求 ABC 的面積.4考點(diǎn)：二倍角的余弦；兩角和與差的正切函數(shù).專題：解三角形.分析：（I ）由兩角和與差的正切函數(shù)公式及已知可得tanA,由倍角公式及同

20、角三角函數(shù)關(guān)系式即可得解.（n）由 tanA=, AC （0, %）,可得 sinA, cosA.又由正弦定理可得 b,由 sinC=sin 3（A+B） =sin （A+-）,可得sinC,利用三角形面積公式即可得解.解答：解：（I ）由 tan （工+A） =2.可得 tanA=1,43所以日in2A=工1 士.sinZA+s s2A 2tanA+l 5(n)由 tanA=l, AC (0,兀)，可得 sinA=, cosA=_12口.3 1010又由a=3, B=H及正弦定理&二b 可得b=3后4 sink sinE由 sinC=sin (A+B) =sin (A+-),可得 s

21、inC= 氐.45設(shè)ABC的面積為 S,貝U SyabsinC=9.2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)及其變換、正弦定理和余弦定理等基本知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)考 查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.17. (15 分)(2015硼江)已知數(shù)列an和bn滿足 ai=2, bi=1, an+i=2an (nN*), bi+b2+b3+- +bn=bn+i - 1 (nCN )23 n(I )求 an 與 bn;(n )記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.考點(diǎn)：數(shù)列的求和.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：(I )直接由ai=2, an+i=2an,可得數(shù)列an為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列an的通項(xiàng)公

22、式；再由 bi=i, bi+-j-b2+b3+ +-bn=bn+i - 1,取 n=1 求得 b2=2,當(dāng) n或時(shí)，得另一遞推 23 n式，作差得到 二b二b 一 b，整理得數(shù)列%為常數(shù)列，由此可得bn的通項(xiàng)公 n 仇 n+l nn式；(n)求出口小垃二口2、然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn.解答：解：(I )由 ai=2, an+i=2an,得%二產(chǎn)(nE )由題意知，當(dāng)n=1時(shí)，bi=b2- 1,故b2=2,當(dāng)n或時(shí)，bi+Ab2+±b3+-=bn_=bn-1,和原遞推式作差得,23 n -。口,。史1 %n+1 - nbn=n (nE N比)(n)由(i)知，己

23、小小口噸，因止匕1口=2+22工+32 $+-+門 2拉2Tn=22+2-23+3-2%-+n- 2+1，9 門 _兩式作差得：一， j -I 1_ 一,一，.,- 一一一 二il1 2心n- 1)力叫萬玳*)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)列 求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題.18.(15 分)(2015?浙江)如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，/BAC=90 °, AB=AC=2 ,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn).(I )證明：A1DX 平面 A1BC ；(n )求直線A1

24、B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定.專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角.分析：(I)連接AO, A1D,根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出 A1OXA1D, A1DXBC,利用直線平面 的垂直定理判斷.(II)利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量n=(折，0,1),根據(jù)與西數(shù)量積求解余弦值，即可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.解答：證明： AB=AC=2 , D是B1C1的中點(diǎn).A1DXB1C1, BC II B1C1, A1DXBC, A1OL面 ABC , A1D / AO , A1OXAO , A1OXBC BC nAO=O

25、, A1OXA1D, A1DXBCA1DL平面 A1BC解：(II)建立坐標(biāo)系如圖在三棱柱 ABCA1B1C1 中，/BAC=90°, AB=AC=2 , A1A=4O (0, 0, 0), B (0, <2, 0), Bl (-匹亞,V14), Al (0, 011) 即不=(0，近，VH)，foB= (0, V2, 0),方=近,0, VTl),設(shè)平面BBlCiC的法向量為n= (x, y, z),n"0B=0Fl B E 二 0即得出-疝+后£=0得出 n= (Vf, 0, 1), lBA；l=4, ln|=2V2n BR=T，cosv ni,孫 qX

26、2& 8可得出直線 A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，直線平面的垂直問題，空間向量的運(yùn)用，空間想象能 力，計(jì)算能力，屬于中檔題.19. (15 分)(2015?浙江)如圖，已知拋物線 C1： y=1x2,圓 C2： x2+ (y-1) 2=1,過點(diǎn) P (t, 0) (t>0)作不過原點(diǎn) O的直線PA, PB分別與拋物線 C1和圓C2相切，A, B為切點(diǎn). (I )求點(diǎn)A , B的坐標(biāo)；(n )求4PAB的面積.且與拋物線的對(duì)稱軸不平行，則稱該直線與拋物線注：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 相切，稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的

27、綜合問題.專題：開放型；圓錐曲線中的最值與范圍問題.分析：(I)由直線PA的斜率存在，設(shè)切線 PA的方程為：y=k (x-t) (k用)，與拋物線方 程聯(lián)立化為x2 - 4kx+4kt=0 ,利用4=0 ,解得k=t ,可得A坐標(biāo).圓C2的圓心D ( 0,1),設(shè)B (x0, y0),由題意可知：點(diǎn)B與。關(guān)于直線PD得出，可得兀 K 0=-412 2t解得B坐標(biāo).(II)由(I)可得：(t2T) x-2ty+2t=0,可得點(diǎn)P到直線AB的距離d,又|AB|=-I4 i+t22.即可得出 SAPAB=l|A3|-d -lit22解答：解：(I)由直線PA的斜率存在，設(shè)切線 PA的方程為：y=k (x-t) (k0),聯(lián)立化為 x2 - 4kx+4kt=0 , A=16k2 - 16kt=0 ,解得 k=t,x=2t, . .A (2t,圓C2的圓心D (0t2) .1),設(shè)B (x0, y0),由題意可知：點(diǎn) B與。關(guān)于直線PD得出,解得2”1+F l+t*2tV。二2u 1廿(II)由(I)可得:直線AB的方程為:t2=t - (/_ 2t)，化為(t2T) x_ 2ty+2t=0 , Zt，點(diǎn)P到直線 AB的距離d= j 1) ,坳 =l211=t, (tJ)之十(一叢)2 t2il又1AB尸：'，：- ： J=t2-Y i+t2i+t? SA pab