循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、目錄一. 相關(guān)概念- 2 -定義1.1- 2 -定義1.2- 2 -定義1.3- 3 -定義1.4- 3 -二. 循環(huán)矩陣的性質(zhì)- 3 -2.1 循環(huán)矩陣基本性質(zhì)- 3 -2.2 關(guān)于循環(huán)矩陣的判定相關(guān)性質(zhì)- 5 -2.3 循環(huán)矩陣可逆的判定及互素推論- 6 -2.4 循環(huán)矩陣的一個(gè)定理及其得出的推論- 6 -2.5 循環(huán)矩陣對(duì)角化相關(guān)性質(zhì)- 7 -2.6 等比數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣相關(guān)性質(zhì)- 9 -2.7 循環(huán)矩陣行列式與特征值相關(guān)性質(zhì)- 10 -2.8 循環(huán)矩陣的奇異性- 12 -2.9 循環(huán)矩陣與向量空間相關(guān)性質(zhì)- 12 -三廣義循環(huán)矩陣- 13 -定義3.1- 13 -定義3.2- 13

2、-推論3.1- 14 -推論3.2- 14 -推論3.3- 14 -推論3.4- 14 -定義3.2- 14 -定義3.3- 15 -定義3.4- 15 -定義3.5- 15 -參考文獻(xiàn). - 15 -循環(huán)矩陣的性質(zhì)研究一. 相關(guān)概念定義1.1 具有以下形式的階方陣稱為關(guān)于的循環(huán)矩陣顯然，由首行元素惟一確定，因此可簡(jiǎn)記為.特別地，階循環(huán)矩陣：稱為階基本循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為：顯然,(階單位矩陣)都是循環(huán)矩陣, 由此得,設(shè),則,這時(shí). 記為復(fù)數(shù)域上的全體階方陣，為實(shí)數(shù)域上的全體階方陣，它們分別構(gòu)成復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的維向量空間，記為矩陣的跡，為的轉(zhuǎn)置共軛陣.定義1.2 設(shè)如果矩陣的最小多項(xiàng)式等于特征多項(xiàng)

3、式，則稱為循環(huán)矩陣.定義1.3 設(shè)是維向量空間上的一個(gè)線性變換，若存在向量，使得線性無(wú)關(guān).則稱為的一個(gè)循環(huán)向量.定義1.4 已知階基本循環(huán)矩陣，并令，稱為循環(huán)矩陣基本列（其中為單位矩陣）.二. 循環(huán)矩陣的性質(zhì)2.1 循環(huán)矩陣基本性質(zhì)性質(zhì)2.1.1 循環(huán)矩陣基本列是線性無(wú)關(guān)的.性質(zhì)2.1.2 任意的階循環(huán)矩陣都可以用循環(huán)矩陣基本列線性表出，即. 性質(zhì)2.1.3 同階循環(huán)矩陣的和矩陣為循環(huán)矩陣.證明 設(shè)，B=，則+=顯然為循環(huán)矩陣.定理2.1.1 設(shè)為階循環(huán)矩陣，則有：（1）乘積仍是循環(huán)矩陣，且滿足乘法交換律，即；（2）若可逆，則的逆矩陣也是循環(huán)矩陣；證明 (1)設(shè)，因?yàn)椋ㄆ渲袨榉秦?fù)整數(shù)，），所以

4、，此處為不高于次的多項(xiàng)式，因此為階循環(huán)矩陣，且.(2)設(shè)為階可逆循環(huán)矩陣，欲求的逆矩陣，需求得矩陣，滿足條件即可.設(shè)，有()()=要使，則以下方程組必須成立：解以上方程組可轉(zhuǎn)化為求解：，因?yàn)榭赡?，所以，因此方程有唯一的解，可得到唯一的矩陣，為的逆矩陣，且為循環(huán)矩陣.性質(zhì)2.1.4 階循環(huán)矩陣的伴隨矩陣也是循環(huán)矩陣.證明 伴隨矩陣，由定理2.1.1可知為循環(huán)矩陣，因此也是循環(huán)矩陣.2.2 關(guān)于循環(huán)矩陣的判定相關(guān)性質(zhì) 由定義1.2，有如下性質(zhì)：引理2.2.1 設(shè)則.定理2.2.1 設(shè)則為循環(huán)矩陣的充要條件是矩陣是滿秩的.由定義1.3，有如下性質(zhì)：引理2.2.2 設(shè)是維向量空間上的一個(gè)線性變換，有一

5、個(gè)循環(huán)向量的充要條件是的最小多項(xiàng)式等于特征多項(xiàng)式.由此可知為循環(huán)矩陣的充要條件是有一個(gè)循環(huán)向量.定理2.2.2 設(shè)，則為循環(huán)矩陣.證明 由于，故，即的核空間的維數(shù)小于的核空間的維數(shù).所以必存在向量，使得，而.下面證明就是的一個(gè)循環(huán)向量，即線性無(wú)關(guān).設(shè)，且滿足，則.所以，從而，即，所以，.依次類推下去，可得，因此線性無(wú)關(guān)，即為的一個(gè)循環(huán)向量，所以是循環(huán)矩陣.2.3 循環(huán)矩陣可逆的判定及互素推論推論2.3.1 循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方程無(wú)單位根.推論2.3.2 設(shè)是以為元素的階循環(huán)矩陣，則可逆的充要條件是與互素，即.證明 由，可逆的充要條件是，即與沒(méi)有公共根，從而.推論2.3.3 若與互素，則，

6、 都與互素.證明 因?yàn)榉謩e以的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個(gè)符號(hào)，由推論2.3.2便可推出此推論.2.4 循環(huán)矩陣的一個(gè)定理及其得出的推論 定理2.4.1 設(shè)循環(huán)矩陣，則其中，即為所有次單位根.我們不難由定理2.4.1得到如下推論，這里證明略.在下面推論中，所表示的意義均和定理2.4.1相同.推論2.4.1 循環(huán)矩陣的秩為中非零數(shù)的個(gè)數(shù).2.5 循環(huán)矩陣對(duì)角化相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)2.5.1 任何一個(gè)循環(huán)矩陣在復(fù)數(shù)域上都與一個(gè)對(duì)角矩陣相似.證明 階循環(huán)矩陣的特征值為由于又因相似于對(duì)角矩陣即存在可逆矩陣，.設(shè)是任意一個(gè)循環(huán)矩陣，則相似于對(duì)角矩陣diag事實(shí)上， 定理2.

7、5.1 任何一個(gè)對(duì)角矩陣都相似于一個(gè)循環(huán)矩陣.證明 設(shè)是階對(duì)角矩陣其中為復(fù)數(shù).構(gòu)造線性方程組 其中是階循環(huán)矩陣的特征值則以為未知數(shù)的上述方程組有且僅有唯一解，因?yàn)樗南禂?shù)行列式是范德蒙行列式，且互不相等，從而系數(shù)行列式不為零.構(gòu)造階循環(huán)矩陣則的特征值為.由性質(zhì)2.5.1，相似于對(duì)角矩陣推論2.5.1 階方陣相似于對(duì)角矩陣的充要條件是相似于某個(gè)循環(huán)矩陣.證明 充分性：若相似于循環(huán)矩陣，由性質(zhì)2.5.1，與某對(duì)角矩陣相似.根據(jù)相似關(guān)系的可傳遞性知，相似于對(duì)角矩陣.必要性：若相似于對(duì)角矩陣，由定理2.5.1知，對(duì)角矩陣相似于某個(gè)循環(huán)矩陣.根據(jù)相似關(guān)系的可傳遞性知，相似于循環(huán)矩陣.性質(zhì)2.5.2 復(fù)數(shù)

8、域上任意一個(gè)階矩陣都可以對(duì)角化，更一般地，可由同一個(gè)復(fù)階可逆矩陣，使復(fù)數(shù)域上任意階循環(huán)矩陣同時(shí)對(duì)角化.證明 由性質(zhì)2.5.1易知，任意一個(gè)階矩陣都可以對(duì)角化，由于是任意的，所有的結(jié)論全部得證.2.6 等比數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣相關(guān)性質(zhì)設(shè)序列是公比為的等比數(shù)列，把由該序列構(gòu)成的循環(huán)矩陣記為 （1）矩陣可逆時(shí)，其逆矩陣由序列構(gòu)成，記為 （2）定理2.6.1 若等比數(shù)列滿足，若為偶數(shù)時(shí)，則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣（1）的逆矩陣（2）存在，且，.即 （3）證明 只須確定，由，即知，乘的第一列等于的第一列可得滿足的方程組. （4）注意到，對(duì)（4）的增廣矩陣進(jìn)行初等變換.又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，知，可得 定理及（3）式

9、成立，證畢.由上述定理及（3）式易得推論2.6.1 若等比數(shù)列滿足公比，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣及其逆矩陣的行列式分別為：，.2.7 循環(huán)矩陣行列式與特征值相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)2.7.1 若為復(fù)數(shù)域上的階循環(huán)矩陣,那么的行列式，這里是全部次單位根， . 證明 作階矩陣，這里是全部次單位根，令，由于次單位根滿足，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，考察與的乘積.由于矩陣的行列式是一個(gè)范德蒙行列式，且當(dāng)時(shí)，次單位根，所以，從而.定理2.7.1 設(shè)是形如的循環(huán)矩陣，且設(shè)，是1的全部次單位根. 這里是虛數(shù)單位（），則的個(gè)特征值是：,注意.2.8 循環(huán)矩陣的奇異性定理2.8.1 在定理2.7.1的條件下，循環(huán)矩陣奇異

10、的充要條件是存在某個(gè)，使.由于對(duì)任意的自然數(shù)，是1的次單位根，故有推論2.8.1 若，則奇異.推論2.8.2 設(shè)為偶數(shù)，若，則奇異.2.9 循環(huán)矩陣與向量空間相關(guān)性質(zhì)定理2.9.1 數(shù)域上的所有階循環(huán)矩陣按照矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)向量空間，其基為循環(huán)矩陣基本列，零向量為階零方陣，負(fù)向量為.證明 對(duì)于數(shù)域上的所有階循環(huán)矩陣，很容易證明任意兩個(gè)循環(huán)矩陣相加還是循環(huán)矩陣，循環(huán)矩陣的任意常數(shù)倍還是循環(huán)矩陣，那么就得到了這個(gè)定理.三廣義循環(huán)矩陣定義3.1若把a(bǔ),a, a,a推廣為m階方陣A, A,A時(shí)，我們稱矩陣D = 為廣義循環(huán)矩陣。定義3.2 設(shè)E是m 階單位矩陣, A, A,A是m 階方陣,且A

11、, A,A兩兩可換，我們稱矩陣A=為廣義范德蒙矩陣，其行列式為廣義范德蒙行列式引理 設(shè)A=是廣義范德蒙矩陣，則A的行列式為定理1 設(shè)E是 m階單位陣, 且A, A,A均是m 階方陣且兩兩可換，矩陣D = 是廣義循環(huán)矩陣，則D =其中矩陣為m 階數(shù)量方陣,;類似地由定理2可以得到下面的推論,推論中D, 所表示的意義均和定理2相同。推論3.1 對(duì)于廣義循環(huán)矩陣D，我們有推論3.2 廣義循環(huán)矩陣D可逆的充要條件是矩陣均可逆，=0，1， ，n 推論3.3 廣義循環(huán)矩陣D的秩。推論3.4 廣義循環(huán)矩陣D的特征值為矩 的全部特征值定義3.2 r-循環(huán)矩陣 令： ，則 關(guān)于r-循環(huán)矩陣也有與循環(huán)矩陣的性質(zhì)和

12、結(jié)論。定義3.3 向后（對(duì)稱）循環(huán)矩陣定義3.4 后（對(duì)稱）r-循環(huán)矩陣定義3.5向后單位置換矩陣， K 2 = E, K = K*參考文獻(xiàn)1吳世玕.循環(huán)矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用J.南方冶金學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，1：66-68.2李久平.循環(huán)矩陣的實(shí)用判據(jù)J.華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，9：67-69.3李天增，王瑜.循環(huán)矩陣的性質(zhì)及求逆方法J.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，8：47-49.4張愛(ài)萍.循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對(duì)角化J.廣西師院學(xué)報(bào)，2000，12：10-13.5趙立寬，岳曉鵬，杜學(xué)知.關(guān)于循環(huán)矩陣的幾個(gè)性質(zhì)的推廣J.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，4：52-56.6賈璐，姚光同.有關(guān)循環(huán)