高中數(shù)學(xué)新人教A版必修5教案 1.1.2 余弦定理

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料余弦定理教學(xué)分析一、教學(xué)導(dǎo)圖二、教學(xué)目標(biāo)1通過(guò)實(shí)踐與探究,會(huì)利用數(shù)量積證明余弦定理,提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力,體會(huì)向量工具在解決三角形的度量問(wèn)題時(shí)的作用。2會(huì)從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍,并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。3會(huì)結(jié)合三角函數(shù)利用計(jì)算器處理解斜三角形的近似計(jì)算問(wèn)題。4在方程思想指導(dǎo)下,提升處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系,來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明過(guò)程及其基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：理解余弦定理的作用及適用范圍。突破關(guān)鍵：將余弦

2、定理的三個(gè)公式視為三個(gè)方程組成的方程組。教學(xué)設(shè)計(jì)一、溫故引新 特例激疑1,正弦定理是三角形的邊與角的等量關(guān)系。正弦定理的內(nèi)容是什么？你能用文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述嗎？你能用哪些方法證明呢？正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它的對(duì)邊的正弦比相等,即：,其中為三角形外接圓的直徑。說(shuō)明：正弦定理說(shuō)明同一個(gè)三角形中,邊與它所對(duì)角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù),使。2,運(yùn)用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題呢？由,可以解決“已知兩角及其一邊可以求其他邊。”“已知兩邊及其一邊的對(duì)角可以求其他角?！钡冉馊切螁?wèn)題。3,思考：如圖,在中,已知,求即。本題是“已知三角形的兩邊及它們的夾角,求第三邊

3、。”的解三角形的問(wèn)題。本題能否用正弦定理求解？困難：因?yàn)榻俏粗? 較難求。二、類比探究 理性演繹（一）類比探究當(dāng)一個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角確定后,那么第三邊也是確定不變的值,也就是說(shuō)角的對(duì)邊隨著角的變化而變化。當(dāng)一定,變化時(shí),可以認(rèn)為是的函數(shù),。當(dāng)時(shí),（勾股定理）,為方便起見,考慮關(guān)于的函數(shù),記作,即。當(dāng)變化時(shí),怎樣變化？考慮兩種極端情況：當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則;我們比較三種情形的異、同點(diǎn)：當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則相同點(diǎn):都含有；不同點(diǎn):的系數(shù)不同；猜想：的系數(shù)與之間存在什么對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？。那么就得到了當(dāng)角為三個(gè)特殊角時(shí)的公式：,這個(gè)公式是不是滿足任意三角形呢？憑感覺上述公式應(yīng)該滿足任意三角形,但

4、是我們應(yīng)該給出嚴(yán)格的證明。（二）理性演繹同學(xué)們來(lái)考慮,證明恒等式通常采用什么思考方法？這樣的結(jié)構(gòu)我們?cè)谑裁吹胤接龅竭^(guò)?證明：三、完善知識(shí) 剖析升華（一）完善知識(shí)（1）余弦定理：在中,則：；（第一種形式）。（2）語(yǔ)言表述：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。（3）變形：；（第二種形式）。（二）剖析升華（1）余弦定理與正弦定理一樣,也是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律,余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式含有四個(gè)量,從方程的角度看,已知其中三個(gè)量,總可以求出第四個(gè)量。（3）根據(jù)已知量與未知量的性質(zhì)可以知道,余弦定理可以解決有關(guān)三角

5、形的哪些問(wèn)題呢？利用余弦定理及推論可以解決以下兩類三角形的問(wèn)題：已知三邊求三角形的三個(gè)角；已知兩邊及其夾角求三角形的其他邊與角。這兩種類型問(wèn)題在有解時(shí)都只有一個(gè)解,把“邊、邊、邊”和“邊、角、邊”判定三角形全等的定理從數(shù)量化的角度進(jìn)行刻畫,使其變成了可計(jì)算的公式。（4）從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：在一個(gè)三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是銳角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；四、例題示范 遷移運(yùn)用（一）例題示范例1：中,求這個(gè)三角形的最大角。解：,這個(gè)三角形的最大角是。所以這

6、個(gè)三角形的最大角是。引申：已知三角形三邊長(zhǎng)為,怎樣判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？例2：中,求及。解：根據(jù)余弦定理可知：；又。思考：你可以用平面幾何知識(shí)求解本題嗎？分析：如圖,在,過(guò)作于,則,在中,。例3：如圖所示,有兩條直線和相交成角,交點(diǎn)是,甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)分別沿方向出發(fā),速度分別是,時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)(結(jié)果精確到)？分析：經(jīng)過(guò)時(shí),甲到達(dá)點(diǎn),乙到達(dá)點(diǎn),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在中,己知,求的長(zhǎng)。解：經(jīng)過(guò)時(shí)后,甲到達(dá)點(diǎn),乙到達(dá)點(diǎn),依余弦定理,知：答：時(shí)后兩人相距約。例4：下圖是公元前約年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形。試計(jì)算圖中線段的長(zhǎng)度及的大小(長(zhǎng)度精確到,角度精確到)。解：在中,

7、因?yàn)樗栽谥?因?yàn)樗运伎迹耗氵€能用其他方法求線段的長(zhǎng)度及的大小嗎？（二）、遷移運(yùn)用1、在中,則三角形為 ( c )a直角三角形 b銳角三角形c等腰三角形 d等邊三角形2、在中,則 。（）3、在中,已知,判斷的類型。（鈍角三角形）4、平行四邊形兩條鄰邊的長(zhǎng)分別是它們的夾角是45°,求這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)與它的面積.（和,）五、歸納小結(jié) 反思拓展（一）歸納小結(jié)1、余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律,余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理證明勾股定理呢？2、余弦定理有兩個(gè)基本應(yīng)用：一是已知三邊求三角,二是已知兩邊及他們的夾角求第三邊。3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的約束條件的不同表現(xiàn)形式,在本質(zhì)上應(yīng)該是一致的。（二）反思拓展1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形邊、角之間的的度量關(guān)系,本質(zhì)上時(shí)一致的.你能證明這兩個(gè)定理時(shí)等價(jià)的嗎?2、總結(jié)解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個(gè)量,有唯一解或多解或無(wú)解？分別用什么方法？六、作業(yè)1、p51 練習(xí)第1、2題；2、