選修22導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用典型例題

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1平均變化率：2瞬時(shí)速度：3導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的概念：4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：拓展知識(shí)：5. 平均變化率的幾何意義:6. 導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系：【典型例題】 題型一求平均變化率: 例1.已知函數(shù)y二f(x) =2x2 -1的圖像上一點(diǎn)(1,1)及其鄰近一點(diǎn) (V ：x,V ：y)，則x 變式訓(xùn)練：1 21.以Vo(Vo 0)速度豎直向上拋出一物體，t秒時(shí)的高度為s(t)二v°t-?gt，求物體在to到 to 氏這段時(shí)間的平均速度 V.312.求正弦函數(shù)"nx在x = 0和附近的平均變化率，并比較他們的大小題型二實(shí)際冋題中的瞬時(shí)速度cm,

2、時(shí)間單位：s)例2已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s =2t2 3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位:(1)當(dāng) t =2,. ：t =0.01 時(shí),(2)當(dāng) t =2, . ：t =0.001 時(shí),3(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度題型三求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的值1例3求函數(shù)y二x 在X = 1處的導(dǎo)數(shù).X題型四曲線的切線問(wèn)題例4 (1)已知曲線y = 2x2上一點(diǎn)A( 1，2)，求點(diǎn)A處的切線方程(2) 求過(guò)點(diǎn)(-1，-2)且與曲線y=2x-x3想切的直線方程.1(3) 求曲線f(x)x3-x2 5在x=1處的切線的傾斜角.(4)曲線y=x3在點(diǎn)P處的切線斜率為 3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)歸納】1常見(jiàn)函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù):2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):【典型例題】題型一基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)用例1給出下列結(jié)論：J!JT11(cos)'-si n；若 y 2，則 y> -2x"；若 f(x)=3x，則f 1 3=662x 1 若=坂，貝y y"=_yx3其中正確的是.題型二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y=1x5+'x3 ； (2) y=lgx-ex ； (3) -iLcosx ; (4) y=x si n Jcos'.53Vx22變式訓(xùn)練：判斷下面的求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正| -| 21 cos

4、x 2x(1 cosx) x sin x() -xx題型三復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3 2 1(1) y = (1 cos2x) ; (2) y = sinx變式訓(xùn)練：求函數(shù)y =(2x2 -3)、. 1 x2的導(dǎo)數(shù)題型四切線方程及應(yīng)用例4曲線y =sin x ex在點(diǎn)(0，1)處的切線方程是?3變式訓(xùn)練：曲線y=xx-2在P處的切線平行于直線y=4x-1，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為題型 五 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題例5若曲線y = x3 + ax在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程是2x - y = 0 ,則實(shí)數(shù)a=xe變式訓(xùn)練：若函數(shù)f (x) 在x=a處的導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)值互為相反數(shù)，求a的值 題型 六 對(duì)

5、數(shù)求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（選講） 例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y =(x _1)(x _2)(x_3)(x3);(2) (x 1)(x 2)(x 3)/1、(2) y(x );2x+12題型七求導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例7有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離s （單位：m）關(guān)于時(shí)間t （單位s）的函數(shù)為s =s（t） =5 - J25-9t2 求函數(shù)在t=時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義 .151.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)歸納】1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：3導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的大小與圖像的關(guān)系(選講)：【典型例題】題型一里用導(dǎo)數(shù)的信息確定函

6、數(shù)大致圖像例1已知導(dǎo)函數(shù)f(X)的下列信息：當(dāng) 2 x : 3 時(shí)，f(x廠：0 ；當(dāng) x 3 或 x：2 時(shí)，f (x) . 0 ；當(dāng) x =3或 x =2時(shí)，f (x) =0 ；試畫(huà)出函數(shù)f (x)圖像的大致形狀.題型二判斷或者證明函數(shù)的單調(diào)性例2試判斷函數(shù)f (x) = In x x在其定義域上的單調(diào)性、.In x變式訓(xùn)練：證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)上是單調(diào)遞增函數(shù)題型三求函數(shù)的單調(diào)性例3確定函數(shù)f (x) =2x3 -6x27的單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練：求函數(shù)y = x -X3的單調(diào)性.題型 四 含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例4已知函數(shù)f (x) = In x -ax2 (2 -a)x，討論

7、f (x)的單調(diào)性a的取值范圍ax +1變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f(x)二二在 W內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)1.3.2導(dǎo)數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1導(dǎo)數(shù)的極值的概念:2導(dǎo)數(shù)的極值的判斷和求法:【典型例題】題型一求函數(shù)的極值 例1求下列函數(shù)的極值:(2) y = x21n x.(1) y 二 x2 _7x 6 ；一32變式訓(xùn)練：設(shè) f(x)二X ax bx 1的導(dǎo)數(shù)f (x)滿(mǎn)足f (1) = 2a, f (2)二-b，其中常數(shù)a,b R.(1)求曲線y二f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程.(2)設(shè)g(x)二f (x)e»，求函數(shù)g(x)的極值.題型二判斷函數(shù)極值點(diǎn)的情況例2判斷下列函數(shù)有無(wú)極

8、值，若有極值，請(qǐng)求出極值；如果沒(méi)有極值，請(qǐng)說(shuō)明理由.11 2（1） f（x） x 4 ；（ 2） f（x） x x 4x ；（ 3） f （x） = 1 - （x - 2）3 33、 . ” 2變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)f （x） = ax bln x，其中ab = 0證明：當(dāng)ab 0時(shí)，函數(shù)f （x）沒(méi)有 極值點(diǎn)，當(dāng)ab :0時(shí)屈數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值題型三導(dǎo)函數(shù)的圖像與函數(shù)極值的關(guān)系例3函數(shù)f （x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f' （乂）在（a, b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f （x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)題型

9、四極值的逆向問(wèn)題例4已知函數(shù)f (x) = ax4 In x bx4 _c(x 0)在x=1處取得極值-3-c,其中(1) 試確定a, b的值.(2) 討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.綜上：a，b為常數(shù).沒(méi)有“拐點(diǎn)”若說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有極值， 一般不討論有無(wú)導(dǎo)數(shù)， 而是在區(qū)間上只有一個(gè)單調(diào)性,1.3.3函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1最大小值與極值的關(guān)系:2求最大小值的步驟：3.開(kāi)區(qū)間的最值問(wèn)題：【典型例題】題型 一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題例1求函數(shù)f(xx5 5x4 5x31在區(qū)間-1,4上的最大值和最小值一 _.3變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)f(x)=ax bx飛心=0)為奇函數(shù)，其圖像在(1,f(1)處的

10、切線與直線 x-6y -7 =0垂直，導(dǎo)數(shù)的最小值為-12.(1 )求a，b，c的值.(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f (x)在-1,3上的最大小值題型二含參數(shù)最值問(wèn)題例2設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù)f （x）二-x33ax（0 zx乞1）的最大值.11變式訓(xùn)練：1設(shè) f （x） - - - x3- x22ax32（1） 若f （x ）在（？，：）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍316（2） 當(dāng)0 ： a ： 2時(shí),f（x）在1,4上的最小值為，求f （x）在該區(qū)間上的最大值3題型 三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值2 3 32V6例3設(shè) a ： 1，函數(shù)f （x）二x ax 飛（-仁乂二1）

11、的最大值為1，最小值為3 22求a， b的值.(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn) L最大，并求出L的最大值Q(m).1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)歸納】 利用求函數(shù)的最大小值的方法求實(shí)際應(yīng)用中的最優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)的極值與端點(diǎn)值的比較【典型例題】題型一利潤(rùn)最大問(wèn)題例1某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可 以增加，且每星期多賣(mài)出商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x (單位：元，0乞X乞21)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低 2元時(shí)，一星期多賣(mài)出 24件.(1) 將一星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)(2) 如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大變式訓(xùn)練：某

12、分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌的產(chǎn)品， 每件產(chǎn)品的成本為 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公 司交m (3<m<5)元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為 x (9$<11)元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量 為(12-x) 2萬(wàn)件.(1)求分公司一年的利潤(rùn)L (萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；題型二用料最省、費(fèi)用最低問(wèn)題例2如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x, y (單位：米)的矩形，上部是斜邊長(zhǎng)為 x的等腰直角三角形，要求框架?chē)傻目偯娣e為8平方米.(I)求x, y的關(guān)系式，并求x的取值范圍；(H)問(wèn)x, y分別為多少時(shí)用料最?。孔兪接?xùn)練：某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，

13、長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為空立方米，且I K2r 假設(shè)該容器的建3造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c (c> 3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.(I)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(H)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r 題型三面積、體積最值問(wèn)題2例3如圖在二次函數(shù) f(x)=4x-X的圖像與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD ,求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積 變式訓(xùn)練：請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如圖

14、所示).試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷 的體積最大？1.5定積分的概念【知識(shí)點(diǎn)歸納】 定積分的概念：定積分的性質(zhì)：【典型例題】題型一利用定義計(jì)算積分24 (3x 2)dx例1利用定積分定義，計(jì)算題型二求曲邊梯形的面積3例2利用定積分的定義求出直線x=1，x=2和y=0及曲線y = x圍成的圖形的面積1.6微積分基本定理【知識(shí)點(diǎn)歸納】1牛頓一萊布尼茨公式:2定積分的取值：3.定積分的一些性質(zhì):【典型例題】題型一求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分例1求下列函數(shù)的定積分：（1）21 2(x ) dX ；( 2) 2sinxdx ；1X一2(3)4 '、x(1, x)dx ；題型二求分段函

15、數(shù)的定積分例2求函數(shù)f（X）二 X2,2X,X 0,1X 1,2在區(qū)間0，3上的定積分x 2,3(2)。2口莎dx2 2變式訓(xùn)練：求定積分：(1 ) (° x-1dx ；題型三定積分的實(shí)際應(yīng)用例3汽車(chē)以每小時(shí) 36 km的速度行駛，到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)的減速度為2a =1.8 m /s剎車(chē)，求從開(kāi)始停車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)的走過(guò)的距離變式訓(xùn)練：等比數(shù)列 3鳥(niǎo)中，a3 =6，前三項(xiàng)和Sj = ：4xdx，則公比q的值是多少?1.7 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)歸納】1常見(jiàn)的平面圖形的面積求法:2定積分在物理公式中的應(yīng)用:【典型例題】題型 一用定積分求平面圖形的面積例1求曲線y=x2與y=x所圍成的圖形的面積變式訓(xùn)練：求由拋物線2X2y =5，y-x-