通信網(wǎng)理論基礎(chǔ)課后答案

1、通信網(wǎng)理論基礎(chǔ)第二車習(xí)題2.2求M/M/m (n)中，等待時間w的槪率密度函教。 解：M/M/m (n)的槪率分布為：kr-0ml 1 一 pomm<k < nk>n假7zn>m, n>0,現(xiàn)在來計算概率PE>x,既等待時間大于x的槪率。nP W > x=工 p j Pj VV > x;=00 < j <m-m< j <n-m < j < n其中，Pjw>x的槪率為：Pj w > x = 0/=() 1Pj w > x = 可得:"T jfP W > x=工 P, 工 

2、3;j=mmm而一 “u/=()/J-lj=mni m4 s嚴(yán)/=0mlj-mf=0(T嚴(yán)-p” IP i! -p"若n ts則 Pw>x =匚嚴(yán)"曠小1 一 p ml特別的，新到顧客雲(yún)尊待的概率為:PW>0仇 SnT,1 - p mrnmP0/n!(l - p)n-m-2 / ； .-Vf=()-mppm(Ar)n(n -m 1)!-m pp”(加(n - tn -)mnl p在ng.fwW = , -pm (必-刃加(1 - p)IPvv = co = Pn注:Pw = 0 = />*=02.4求M/D/1排隊問題中等待時間W的一.二、三階矩g、m2x

3、 m3, D表示服務(wù)時間為定值b,到達率為幾。解:5匕C(s)其中B(s)= r 8(t-b)e'sldt = e'sbJo從而G(s)= ：l佝(00、 /=0丿又 G($) = £ge'i=0(如、$ 2 + 兄工- = (1 - p)；=0 _ P c _-肋2(1-。) g 0- 1一" 口 _ 2(1 肋)27(1 0)(2"' + 才戻) 02 二12(1 ")3一(1 + 2肋)(1 一 p)Ab 小=(肪=p)/(r)=必|£一 引 +(1-Q)&不創(chuàng)人> 00< 6Z <

4、; 124(1-W加2 = G"(0) = g2 x 2 =廠,心,(l + 2p)/l/?4(0)7X6 = 2.5求M/B/l, B/M/1和B/B/1排隊問題的平均等待時間“,其中B是二階指教分布:解：M/B/1a 入 (1 一 a)久 2 Aj + 5 Ay + s1 -aV)ds a l_ad /c、 2q 2(1 _ a)W = -B'(0) = 4-= B(0) = 4-_ 咖w = 、r(1 p) 2 彳心 _ (1 _ a)幾入九2a(1 -a)2 +a府B/M/lb = B(“ “b)令 % = % = °2<7 =+卩-JL1(J + 人

5、 /- /CT +取0<a< 的根十 _ + Qi + Q _ Jl + S -。2)+2(1-2a)(Q 一 p?)cr 2_ b _ + p+ p2 Jl + S -02)+2(1-2a)S -02)W =(-“(l_b)“(_+ Jl + Si _/?2)'+2(1_2&)(口 _。)B/B/l設(shè)到達的槪率密度函數(shù)為f (0 = C(e/x，+(1-a)'-設(shè)離去的槪率密度函數(shù)為/(0 =血3廠"+ (1 一人*勺假設(shè)G = &2 = a幾1 =久3兄2 =幾4仏)=盹)=旦+(1一°幾人 + 5*+ s(+ (1 of)/

6、?2i 4 s 入一S 丿(人+ fa + (1 a)Ao+ s/ij + 尤(a 4 + (1 _ a )2) 廠(入一$)(人s)(入 + s)(Aq + s)(A s)(Aq s)(入 + s)s(t + 5)- (、s(t -s)-1取 >.(5)=(人 + s)(Ao + $),s)tkk = Inn = w(s)=$to s+($)s“ “)=從人+$" + $)_ = s“),必 -(4 + Q-"）=（4_叫7）其中(t + s)J兄+ 禺-(a4 + ( - a)/) = J(1 a")入 + (2a - )人 - 2a(l - a)A|/

7、122-6在D/D/1排隊問題中，顧客到達的時間間隔為“，服務(wù)時間為b,均為恒定值，且4b, 求：穩(wěn)定狀態(tài)時系統(tǒng)的隊列長度為k的概率顧客到達時隊列的長度為k的概率吐, 顧客離去時隊列的長度以及平均等待時間，并用G/G/1上界公式求出此時的平均等待 時間，評論計算結(jié)果，并討論"Wb的情況。解：由于是D/D/1問題，故于系統(tǒng)運行情況完全確定，第一個顧客到達后，系統(tǒng)無顧客，經(jīng)過b后，服務(wù)完畢，顧客離去，再經(jīng)過后，下一個顧客到達。 此時有：* bZ,k = D Pk =<(a -u-b)/ak=Q11 1到達離去到達rlk=Oh = dk =<0"0顧客不等待時W =O

8、帀冷 vp(r) = 5(r-) p(t)=St-b) :.(t/=(t;2=OG/G/1上界公式22.:w < 66 =0.祁二02/(1-p)當(dāng)a<b時系統(tǒng)將不穩(wěn)定，以恒定的速率増加顧客，即每隔時間后，系統(tǒng)隊列長度增長2.7求m/e2/i即時拒絕系統(tǒng)的呼損，其中E2是二階爰爾蘭分布，Z?(r) = (2/)2'2/zr解：設(shè)相鄰呼叫到達間隔為t,如果服務(wù)時間T>t y將造成呼損，了 5/時無呼損。22 + 42S + 2“)2pc(/) =則=Z(Q)ddf = £ Ae/J (2/)2 re2prdrdt =2.8在優(yōu)先級別隊列中，A隊為優(yōu)先級，不拒絕

9、，B隊為非優(yōu)先級，只準(zhǔn)一人排隊等待(不 計在服務(wù)中的)，且當(dāng)A隊無人時才能被服務(wù)，求各狀態(tài)槪率，A隊的平均等待時間和B隊 的拒絕槪率。解:（人+入）島二“心1（“ +入+人）心二“（Ai + Ao）+ （人+人）幾2< （“ +人比二入心+ “片3（“ +人+入）£.0 =人 £-lo + “£+lo ，>0°（“ + 人）£二人£丄+心1.1 + /12£.0，05由于4是差分方程，不妨設(shè)其通解為：/<-0 =代入有：(1 + Q + 門)P(xX = PP00*T + %嚴(yán)=X (1 + 口 + Q *

10、 + 口 = °.q <1二 1 + P +02 _ Jl + Q； +型2 _2口 +2/?2 +2口0；. 0 2由于5是非齊次差分方程：門+1.】一(I + A)/A.1 + A/V1.1 + 02P.O = ° 其特征根為：d = P假設(shè)其通解為：g 二AP + Bx()代入前式得：B 對+' - (1 + Q)鳳 + p、B 兀,' + p2Poo 對=。解之，得：B = Pg*" PiA P Pooxo代入 3 式得:(l + D)Poi HRPoo + Pll 即：A=Poo(1 + Q+Q2 7()PiA = Poo(l +

11、P1+A-x)P 一 +<Pno = Ax/M>o = (P+Q2)Po由正則條件:ocPo +(0 +Q2)Po(1 + Q +02 -o)Za i/=()Po =1_Q1 一 Ql + Si + Pl Xl + Q + 02 - 兀0 )j x| x-巴1 =(廠+ 嘰0 +幾1=C+l)Poo(l + 0 +02 -)。' “ r=OP r=O_ Poo(l + Q +02 - X。)"(1 - Px )2+ P + Pl XQ)P XOPoo (1 + Q +02 - *0 ) _ Poo (1 一 0 )1 一 X。2.9排隊系統(tǒng)中有三個隊列，其到達率分

12、別為 2“，九，&公用同一出線路，其中a類最 優(yōu)先，即線路有空閑就發(fā)送；b類次之，即a 無排隊時可以發(fā)送，c類杲低，即a, b類均無 排隊時可以發(fā)送，不計正在傳送的業(yè)務(wù)，各個 隊列的截至隊長為n=2, nb=l,慶=0,試列 出穩(wěn)定狀態(tài)下的狀態(tài)方程，并計算= 2/?=人時，各狀態(tài)的概率和三類呼叫 的呼損。解：r, s, k分別表示盯b, c三隊中等待的呼叫數(shù)，狀態(tài)以（r, s, k）表示。 穩(wěn)態(tài)方程：(人 + A-)A) = /侶()00a + “)Pooo = A(Poio + Pi00)+ (Az + 九 + A)Po(A? + A? +100 = Z?200 + A? "

13、;()()()(A? + Z7)P2(K)=人"1()()(心 + ")只)1。= A,Ax)o + ZllOZP210 = aP 1() + A? /?2()0(At + Z)P1 1() = A? Pl 00 + A? "()1() + PP1.10歸一條件=1若嘉=b =4令"Pooo = ? PPo3q2+9q3+12q42 pj + 2q + 1_3F+3q3P,o° _ 2p2+2p+A,_ 3R/?20° _ 2p2+2p + l PoPho =“210 =6q3 +154 + 12”2 p + 2p + 16/?4 +

14、 15R + 12/2p2+2p + l2p2+2p + 1 2q& + 27” + 36p4 + 27q* + 14q2 + 5° + iC類呼損為：Pc = i- po = B 類呼損為：pB =/A)io +/?no + PiA 類呼損為：Pa = 0210 + P2002.10有一個三端網(wǎng)絡(luò)，端點為Vj,V2, v3 ,邊為i（Vp V2） 2（V2»V3）, vl到v3的業(yè)務(wù)由v2轉(zhuǎn)接，設(shè)所有的端之間的業(yè)務(wù)到達率為幾,線路的服務(wù)率為 的問題，當(dāng)采用即時拒絕的方式時，求：1)2)3)解：各個端的業(yè)務(wù)呼損。 網(wǎng)絡(luò)的總通過長。 線路的利用率。令：00表示&quo

15、t;富均空閑。10表示"忙,匸2閑（即匸1由vl,p2間業(yè)務(wù)占用）。01表示cl閑疋2忙（即亡2由v2,v3間業(yè)務(wù)占用）o11表示cl,c2均忙，且分別由vlv2,v2v3間業(yè)務(wù)占用。表cl,c2均忙，且由vl, v3 |s業(yè)務(wù)占用。狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如右:有下列關(guān)系：収=砂（X）3 勿 00 = "（Poi + Pio + pj< （久+ "）門0=如+拠I(A + /)/?01 =®oo + M%又工> =1解之得:1 兒=Poi = P10 =砂()0.P = P Poo這里1 + 3q + q，呼損Pl31 一 A)0 =¥ + P

16、 ,而 P23 = P12 = 1 -Poo1 + 3q + p-2Q +，1 +3/? + q22 砂II =2oi +門0)2p + p21 + 3q + q，通過長"0（1-心）+加）+加-如）=君聳線路利用率 =I人+ Ph +（門0 + “01）/2 =2.11上題中的網(wǎng)若用于傳送數(shù)據(jù)包，到達率仍為A每秒，平均包長為b比特，邊的容長 為c比待/秒，采用不拒絕的方式，并設(shè)各端的存儲容長足夠大，求：1）穩(wěn)定條件。2）網(wǎng)絡(luò)的平均時延。3）總的通過長。4）線路的平均利用率。無：這是一個無損但有時延的系統(tǒng)。兩條線路上到達率為：2 ,而服務(wù)率為：c/b的M/M/1系統(tǒng)。1）穩(wěn)定條件為：

17、2 b/c<l02）網(wǎng)絡(luò)的平均時延：- 1 1對vlv2和v2v3間的業(yè)務(wù)：呦=-/Ad-P） %-22對 vlv3 間的業(yè)務(wù)：vv2 = 2vvi = c/_223）系統(tǒng)穩(wěn)定時，總的通過長為：3 b/co4）線路的平均利用率=2 b/co一般來說，通過率與利用率均有增加，這是以穩(wěn)定性和時延為代價換來的。2.12在分組交換系統(tǒng)中，設(shè)信息包以泊松率到達，平均到達率為，但信息包的長度為固定 b比特，信道容長為c比待/秒。由于端內(nèi)存儲長的限制，設(shè)除了在傳送的包外，只允許有 兩個信息包等待傳送，試：1)2)3)4) 解：列出關(guān)于d（顧客商去時的隊長）的系統(tǒng)方程 解出個&.求平均時進。求信

18、息包被拒絕的槪率。= () +4%d =如+何 +“2%“2 =+ dq? + 2纟1 + dgPo3 =+ "旳3 + “2% + 3(1 PQ/=()其中pO是第4個顧客被拒絕離去之后，第3個顧客的殘余壽命中無顧客到達的概率。這里到達是隨機的，可知：A）=£ 才 eA，cit*eAr2,i _ 1 一 丿 cl x a 0a 2<7o纟0=丘一"七(廠)7廠=丘一肚5(_ %)/? = 0Q I = J 2zr_zrZ?(r)7r = pep嚴(yán)_(1 + Q冶札 =1p e" -(1 + 2p)e2p° (l + p>_(l +

19、 2p + 2p2>2" + 4/? + P平均時延:s = w + b/c =竺£ +2“+ HL2""I % |一（2 +詞嚴(yán)+拒絕概率：Pc = 32.13有四個端三條邊組成的教據(jù)網(wǎng)，如圖所示。端間的信息包分別為和每秒，信息包長度為 負指數(shù)分布，平均包長為k比待，各信道容昱分別為Ci, C2和G,和一起排隊，和一起排隊, 和一起排隊，均不拒絕，求各種業(yè)務(wù)的平均時延。網(wǎng)絡(luò)的平均時延。各信道的平均利用率。1)2)3)解：由于均不拒絕且到達和離去均隨機，故 3個信道均等效于3個M/M/1系統(tǒng)，其中:Ci：到達為2I2 +213o服務(wù)為：C|/bC2

20、：到達為i2 + A：。服務(wù)為:C2/bc3:到達為幾3+兄43。服務(wù)為：c3/b1C1的平均遲延為C1 _ b幾12 一人3112（1 一。2）C2b_入2 _幾4211“3(1-0)b_人3 _久431Cl的平均遲延為C1的平均遲延為1“ _ 幾12*12 + 入3*13 + 42S42 + 幾43*433 網(wǎng)絡(luò)的平均時延為:人2 +人3 +幾42 +幾43各信道利用率為：i P （人2 + 人 3）“/qc2 Pl （入 2 + 人 2）"/ C2“c3 Pz （入3 + 彳43 0/。32.14總線上有4個用戶vl,v2,v3和v4,它們之間以Alopha方式互相通信，信包到

21、達率均為 每秒，信息包的長度為b比特；總線上的傳輸速率為c比特/秒，試求通過率r,并大致畫出 r與b的曲線關(guān)系?？偩€上一個包的服務(wù)時間廠=% 秒,0 = 122%解：r與b的曲線關(guān)系如右圖，從直觀上來看，這也是顯然的?？偟暮艚虚L為:第3章習(xí)題習(xí)題3.1總線上有4個用戶vl,v2,v3和v4,它們之間以Alopha方式互相通信，信包到達率 均為每秒，信息包的長度為b比恃；總線上的傳輸速率為c比特/秒，試求通過率r,并大致 國出r與b的曲線關(guān)系。解：r與b的曲線關(guān)系如右圖，從直觀上來看，這也是顯然的。總線上一個包的服務(wù)時間T = b/c秒, 總的呼叫旻為：0 = 12兄%,通過長為：r=a-e2a

22、習(xí)題3.2設(shè)在一個純ALOHA系統(tǒng)中，分組長度r = 20ms,總業(yè)務(wù)到達率2, = 10 pkt/s,試求一個消息成功傳輸?shù)臉Ｂ?。解：由題意，r = 20ms, A, = 10pkt/s則系統(tǒng)的總業(yè)務(wù)量為P = 10x20 xl03 =0.2純ALOHA系統(tǒng)吞吐量滿足P = Pc2P , 一個消息成功傳輸?shù)臉Ｂ蕿镻s = p/P = e2P = e_2xO-2 =嚴(yán)=0.67若系統(tǒng)改為S-ALOHA系統(tǒng)，試求這時消息成功傳輸?shù)臉Ｂ省＝猓篠-ALOHA系統(tǒng)的吞吐量滿足p = Pep ,這時消息成功傳輸?shù)臉Ｂ蕿镻x = P/P = cp =e2 a 0.82在S-ALOHA系統(tǒng)中，試求一個消息分

23、組傳輸時和另一個分組碰撞的槪率。 解：其概率為：1一£ =1-0.82=0.18。習(xí)題3.3設(shè)在一個S-ALOHA系統(tǒng)中每秒共發(fā)送12（）次，其中包括原始發(fā)送 和重發(fā)。每次發(fā)送需占用一個12.5 ms的時隙。試問：（1）系統(tǒng)的歸一化總業(yè)務(wù)量等于多少？（2）第一次發(fā)送就成功的槪率等于多少？ （3）在一次成功發(fā)送前，剛好有兩次碰撞的槪率等于多少?解：由題意，A =120次/秒，T =12.5 mso(1) P = 2,r = 120 x 12.5 xlO-3 =1.5。(2) P(0)=宀=/5 = 0.223。(3) 幾=(1 -eP)2eP = (1 -0.223)2 %0 223

24、= 0.135。習(xí)題3.4設(shè)一條長度為10 km的同軸電纜上，接有100()個站，信號在電纜上傳輸速度為200m/us,信號發(fā)送速率為10 Mb/s,分組長度為5000 bo試問：(1) 若用純ALOHA系統(tǒng)，每個站最大可能發(fā)送分組速率等于多少？(2) 若用CSMA/CD系統(tǒng)，每個站最大可能發(fā)送分組速率等于多少？解：(1)純ALOHA中，發(fā)送分組不用等待。理想情況下，各站一個接一個發(fā)送分組，互不干擾，發(fā)送分組的最大速率為10/(5000 x 1000)=2 pkt/s(2)對于CSMA/CP系統(tǒng)，信號傳輸速率為200 m/s,對于1()km電纜，單程傳播時間為2 10x10'/200

25、= 50衍CSMA/CD系統(tǒng)發(fā)送一個分組必須等待的時間為：2t=l()0us=().l ms。故每個站的最大可能發(fā)送分組速率為：10M x0.1ms/5000= 0.2pkt/s o第四車習(xí)題答案例題1：環(huán)上有k個端(3<k<n),此k個端的選擇方式有C：種；對于某固定的k端來說, 考慮可以生成的環(huán)，任指定一個端，下個端的選取方法公有k-1種，再下端的選法有k-2種, 等尊，注意，這樣生成的環(huán)可按兩種試圖順序取得，故有竿出 種，總的環(huán)數(shù)為k=3匕例題2：某一固定邊U確定丁兩個端，經(jīng)過U的環(huán)數(shù)按其過余下端進行分類，苦環(huán)再過k個 端（l<k<n-2）,有選法Cl種；對于某固

26、定端來說，自然可以生成k!個環(huán)，從而總的環(huán)數(shù) 為fc歸!個。*=3例題3:兩個固定端之間的徑按其經(jīng)過端敵分類，其中有一條不經(jīng)過其他端的徑，若經(jīng)過k 個端，（l<k<n-2）,則對于第一個端有（m2）種選擇，第二個端有（m3）種選擇，第k 個端有（n-k-l）種選擇，共有（,H）!總的徑數(shù)為1+ £（,：；%）!4.5試求圖352中圖的主樹數(shù)目，并列舉所有的主樹。圖 3-52解：為圖的端編號為vl ,v2,v3,v4 o 取v3為參考點，有：3 -1 一1S= -120 =8-10 2所得主樹見下：vlv2vlv2vlv2v3v4v3v4vlv2vlv2vlv2v3v4v3

27、v4v3v44.6試證明端數(shù)門大于4的連接圖都是非平面圖，并求n=2, 3, 4的全連接圖為對偶圖。證明：設(shè)有n個端的全聯(lián)接圖為因為K提非平面圖，而當(dāng)心5時心是心的于圖，從而 Ka（n>5）均不是平面圖。一下是對偶圖（注意K-為自對偶圖）。氐對偎圖陽對偶圖4.70101001000010000無：首先作出圖形:經(jīng)計算：'0010,0001c =00000000c3巳知一個圖的鄰接矩陣如左，Hi出此圖，并求各 端之間的最小有向徑長。對所繪制圖形的端點迸行編號，得鄰接矩陣。V1 V2 "3“410 1000100 0 0 1因而有d(兒宀)=2(vMv4) = l（與宀）=

28、1（卩2宀）=2其余有向徑長均為8、或不存在。4.8圖有六個端，其無向距商矩陣如下:V! V2 V3 V4 ”5%V1_0 1V21 0“32 1V43 2V52 3V61 22 3 2 112 3 2012310 122 10 13 12 01用P算法，求出最短樹。2. 用K算法，求出最短樹。3. 限制條件為兩端間通信的轉(zhuǎn)接次數(shù)不超過2的最 短樹。解：1. P算法求解：l訃亠宀亠9伉心，訂丄t"|，V2 “3，% 亠9也，V2，“3叫，"5 2. K算法求解:按最小邊長順序取得：知=勺3 =妝=即=56=1此結(jié)果意味著最短樹不唯一。V3V33.原圖有一個邊長全為1的基本于

29、圖G,要求轉(zhuǎn)接次數(shù)小于等于2,若選取G的任何4 個連續(xù)頂點,V. V,.+1片+2片+3,作為基礎(chǔ),然后再按要求增加邊，例如以V, v2 v3 v4 為基礎(chǔ)，增加冬，得到一個樹長為7捷接次數(shù)小于等于2的樹T1,事實上，以任何 4個連續(xù)頂點均可得到樹長為7的轉(zhuǎn)接次教小于等于2的樹V34.9圖有六個端，端點之間的有向距商矩陣如下:1 1；2V3V4V5V6091300oOVo厶104007oO2O00001OO"4SoO5027O062805.7O020020.1. 用n算法求vi到所有其他端的杲短徑長及其路徑。2. 用F算法求最短徑矩陣和路由矩陣，并找到V2至 V4和VI至V5的最短徑

30、長及路由。3. 求圖的中心和中點。解:1、D算法V,v2V3V4VsV6指定最短徑長00000000000V.w)=o9130000V3昭3=093200Vs陽5=0837v4w14=087V3陽6=08v>陽2=02、F算法最短路徑矩陣及最短路由陣為W5，Rs"2 T兒一> v4有向距離為4, -> #3卩5有向距商為2O120000_7O2oooo7ro1200773、9OooOOOO9O1 1OO9O1 1oo1614O5222O52212O5223OO8O8oo345O81O345O81Ooo712O2oo72O2167OOOOOO75O8°OOOO75O_00000075OO9132oo1O243oo21 1O51oo7165O274628O5413272