2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江西卷)文

1、江西文科1.(2012江西,文1)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù),則z2+的虛部為().a.0b.-1c.1d.-2a因?yàn)閦=1+i,所以=1-i.而z2=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以z2+=0,故選a.2.(2012江西,文2)若全集u=xr|x24,則集合a=xr|x+1|1的補(bǔ)集ua為().a.xr|0<x<2b.xr|0x<2c.xr|0<x2d.xr|0x2c由已知得,全集u=xr|-2x2,集合a=xr|-2x0,結(jié)合數(shù)軸得ua=xr|0<x2,故選c.3.(2012江西,文3)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(3)=()

2、.a.b.3c.d.d因?yàn)?>1,所以f(3)=.又因?yàn)?,所以f=+1=.于是f(f(3)=f=,故選d.4.(2012江西,文4)若=,則tan 2=().a.-b.c.-d.b因?yàn)?,所以=,解方程得tan =-3.于是根據(jù)倍角公式可得tan 2=,故選b.5.(2012江西,文5)觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為().a.76b.80c.86d.92b由已知條件得,|x|+|y|=n(nn+

3、)的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4n,所以|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為80,故選b.6.(2012江西,文6)小波一星期的總開(kāi)支分布如圖1所示,一星期的食品開(kāi)支如圖2所示,則小波一星期的雞蛋開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為().圖1圖2a.30%b.10%c.3%d.不能確定c由題圖2知,小波一星期的食品開(kāi)支為300元,其中雞蛋開(kāi)支為30元,占食品開(kāi)支的10%,而食品開(kāi)支占總開(kāi)支的30%,所以小波一星期的雞蛋開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為3%,故選c.7.(2012江西,文7)若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為().a.b.5c.d.4d由三視圖可判斷該幾何體為直六棱柱,其底

4、面積為4,高為1,所以體積為4,故選d.8.(2012江西,文8)橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是a,b,左、右焦點(diǎn)分別是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為().a.b.c.d.-2b因?yàn)閍,b為左,右頂點(diǎn),f1,f2為左,右焦點(diǎn),所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c.又因?yàn)閨af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數(shù)列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以離心率e=,故選b.9.(2012江西,文9)已知f(x)=sin2.若a=f(lg 5),b=f,則().a.a+b=0b.a

5、-b=0c.a+b=1d.a-b=1c由降冪公式得f(x)=sin2=+sin 2x,于是a=f(lg 5)=+sin(2lg 5),b=f=f(-lg 5)=+sin(-2lg 5)=-sin(2lg 5),所以a+b=1,故選c.10.(2012江西,文10)如右圖,|oa|=2(單位:m),|ob|=1(單位:m),oa與ob的夾角為,以a為圓心,ab為半徑作圓弧與線段oa延長(zhǎng)線交于點(diǎn)c.甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)o出發(fā),甲先以速率1(單位:m/s)沿線段ob行至點(diǎn)b,再以速率3(單位:m/s)沿圓弧行至點(diǎn)c后停止;乙以速率2(單位:m/s)沿線段oa行至點(diǎn)a后停止.設(shè)t時(shí)刻甲、乙所到達(dá)的兩點(diǎn)

6、連線與它們經(jīng)過(guò)的路徑所圍成圖形的面積為s(t)(s(0)=0),則函數(shù)y=s(t)的圖像大致是().a因?yàn)閨ob|=1,甲在ob段的速率為1,所以在ob段行至點(diǎn)b恰好為1 s;|oa|=2,乙在oa段的速率為2,所以在oa段行至點(diǎn)a恰好為1 s,所以在甲由點(diǎn)o至點(diǎn)b,乙由點(diǎn)o至點(diǎn)a這段時(shí)間,s(t)=t2(0t1)是增函數(shù)而且s加速增大.由于乙到點(diǎn)a后停止,所以在甲由點(diǎn)b沿圓弧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,面積s是在勻速增大,所以圖像應(yīng)為一條線段,而在甲到達(dá)點(diǎn)c后面積s不再變化,所以圖像應(yīng)為一條平行于x軸的直線,故選a.11.(2012江西,文11)不等式>0的解集是. (-3,2)(3,+)不

7、等式>0可化為(x-2)(x-3)(x+3)>0,由穿根法(如圖)得,所求不等式的解集為(-3,2)(3,+).12.(2012江西,文12)設(shè)單位向量m=(x,y),b=(2,-1).若mb,則|x+2y|=. 因?yàn)閙b,所以m·b=2x-y=0.又因?yàn)閙為單位向量,所以x2+y2=1.由解得或所以|x+2y|=.13.(2012江西,文13)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,公比不為1.若a1=1,且對(duì)任意的nn+都有an+2+an+1-2an=0,則s5=. 11設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an+2+an+1-2an=a1·qn+1+a1&

8、#183;qn-2a1·qn-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以s5=11.14.(2012江西,文14)過(guò)直線x+y-2=0上點(diǎn)p作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60°,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是. (,)如圖所示,過(guò)p點(diǎn)作圓x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為a,b,由已知得,apo=30°,所以|po|=2.設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則解得故所求坐標(biāo)為(,).15.(2012江西,文15)下圖是某算法的程序框圖,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是. 3當(dāng)t=0,k=1時(shí),sin>sin,所以a=1,t=1,k

9、=2;當(dāng)t=1,k=2時(shí),sin<sin,所以a=0,t=1,k=3;當(dāng)t=1,k=3時(shí),sin<sin,所以a=0,t=1,k=4;當(dāng)t=1,k=4時(shí),sin>sin,所以a=1,t=2,k=5;當(dāng)t=2,k=5時(shí),sin>sin,所以a=1,t=3,k=6,此時(shí)k6,所以輸出t=3.16.(2012江西,文16)在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c.已知3cos(b-c)-1=6cos bcos c.(1)求cos a;(2)若a=3,abc的面積為2,求b,c.解:(1)由3cos(b-c)-1=6cos bcos c,得3(cos bcos c-sin

10、 bsin c)=-1,即cos(b+c)=-,從而cos a=-cos(b+c)=.(2)由于0<a<,cos a=,所以sin a=.又sabc=2,即bcsin a=2,解得bc=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,得b2+c2=13.解方程組得或17.(2012江西,文17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=kcn-k(其中c,k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和tn.解:(1)由sn=kcn-k,得an=sn-sn-1=kcn-kcn-1(n2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2

11、(c-1),解得所以a1=s1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n2),于是an=2n.(2)tn=iai=i·2i,即tn=2+2·22+3·23+4·24+n·2n,tn=2tn-tn=-2-22-23-24-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.18.(2012江西,文18)如圖,從a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,1,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn).(1)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)o恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率;(

12、2)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)o共面的概率.解:從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是:x軸上取2個(gè)點(diǎn)的有a1a2b1,a1a2b2,a1a2c1,a1a2c2,共4種,y軸上取2個(gè)點(diǎn)的有b1b2a1,b1b2a2,b1b2c1,b1b2c2,共4種,z軸上取2個(gè)點(diǎn)的有c1c2a1,c1c2a2,c1c2b1,c1c2b2,共4種.所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有a1b1c1,a1b1c2,a1b2c1,a1b2c2,a2b1c1,a2b1c2,a2b2c1,a2b2c2,共8種.因此,從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種.(1)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)o恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有

13、:a1b1c1,a2b2c2,共2種,因此,這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)o恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為p1=.(2)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)o共面的所有可能結(jié)果有:a1a2b1,a1a2b2,a1a2c1,a1a2c2,b1b2a1,b1b2a2,b1b2c1,b1b2c2,c1c2a1,c1c2a2,c1c2b1,c1c2b2,共12種,因此,這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)o共面的概率為p2=.19.(2012江西,文19)如圖,在梯形abcd中,abcd,e,f是線段ab上的兩點(diǎn),且deab,cfab,ab=12,ad=5,bc=4,de=4.現(xiàn)將ade,cfb分別沿de,cf折起,使a,b兩點(diǎn)重合于點(diǎn)g,得到多面體c

14、defg.(1)求證:平面deg平面cfg;(2)求多面體cdefg的體積.(1)證明:因?yàn)閐eef,cfef,所以四邊形cdef為矩形.由gd=5,de=4,得ge=3,由gc=4,cf=4,得fg=4,所以ef=5.在efg中,有ef2=ge2+fg2,所以eggf.又因?yàn)閏fef,cffg,得cf平面efg,所以cfeg.所以eg平面cfg,即平面deg平面cfg.(2)解:在平面egf中,過(guò)點(diǎn)g作ghef于點(diǎn)h,則gh=,因?yàn)槠矫鎐def平面efg,得gh平面cdef,vcdefg=scdef·gh=16.20.(2012江西,文20)已知三點(diǎn)o(0,0),a(-2,1),b

15、(2,1),曲線c上任意一點(diǎn)m(x,y)滿足|+|=·(+)+2.(1)求曲線c的方程;(2)點(diǎn)q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線c上的動(dòng)點(diǎn),曲線c在點(diǎn)q處的切線為l,點(diǎn)p的坐標(biāo)是(0,-1),l與pa,pb分別交于點(diǎn)d,e,求qab與pde的面積之比.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化簡(jiǎn)得曲線c的方程是x2=4y.(2)直線pa,pb的方程分別是y=-x-1,y=x-1,曲線c在q處的切線l的方程是y=x-,且與y軸的交點(diǎn)為f,分別聯(lián)立方程組解得d

16、,e的橫坐標(biāo)分別是xd=,xe=,則xe-xd=2,|fp|=1-,故spde=|fp|·|xe-xd|=··2=,而sqab=·4·=,則=2,即qab與pde的面積之比為2.21.(2012江西,文21)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)g(x)=f(x)-f'(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.解:(1)由f(0)=1,f(1)=0得c=1,a+b=-1,則f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f'(x)=ax2+(a-1

17、)x-aex,依題意須對(duì)于任意x(0,1),有f'(x)<0.當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖像開(kāi)口向上,而f'(0)=-a<0,所以須f'(1)=(a-1)e<0,即0<a<1;當(dāng)a=1時(shí),對(duì)任意x(0,1)有f'(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合條件;當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意x(0,1),f'(x)=-xex<0,f(x)符合條件;當(dāng)a<0時(shí),因f'(0)=-a>0,f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0a1.(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g'(x)=(-2ax+1-a)ex,當(dāng)a=0時(shí),g'(x)=ex>0,g(x)在x=0上取得最小值g(0)=1,在x=1上取得最大值g(1)=e.當(dāng)a=1時(shí),對(duì)于任意x(0,1)有g(shù)'(x)=-2xex<0,g(x)在x=0取得最大值g