2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(山東卷)理 (2)

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(理科)本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁,滿分150分.考試用時120分鐘.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項:1.答題前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第卷每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.3.第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,不能寫在試卷上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修

2、正帶.不按以上要求作答的答案無效.4.填空題請直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b),如果事件a,b獨立,那么p(ab)=p(a)·p(b).第卷(共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013山東,理1)復數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)z為(). a.2+ib.2-ic.5+id.5-i答案:d解析:由題意得z-3=52-i=2+i,所以z=5+i.故z=5-i,應(yīng)選d.2.(2013

3、山東,理2)已知集合a=0,1,2,則集合b=x-y|xa,ya中元素的個數(shù)是().a.1b.3c.5d.9答案:c解析:當x,y取相同的數(shù)時,x-y=0;當x=0,y=1時,x-y=-1;當x=0,y=2時,x-y=-2;當x=1,y=0時,x-y=1;當x=2,y=0時,x-y=2;其他則重復.故集合b中有0,-1,-2,1,2,共5個元素,應(yīng)選c.3.(2013山東,理3)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+1x,則f(-1)=().a.-2b.0c.1d.2答案:a解析:因為f(x)是奇函數(shù),故f(-1)=-f(1)=-12+11=-2,應(yīng)選a.4.(2013

4、山東,理4)已知三棱柱abc-a1b1c1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若p為底面a1b1c1的中心,則pa與平面abc所成角的大小為().a.512b.3c.4d.6答案:b解析:如圖所示,由棱柱體積為94,底面正三角形的邊長為3,可求得棱柱的高為3.設(shè)p在平面abc上射影為o,則可求得ao長為1,故ap長為12+(3)2=2.故pao=3,即pa與平面abc所成的角為3.5.(2013山東,理5)將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象沿x軸向左平移8個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則的一個可能取值為().a.34b.4c.0d.-4答案:b解析:函數(shù)y=sin(2x+)

5、的圖象向左平移8個單位后變?yōu)楹瘮?shù)y=sin2x+8+=sin2x+4+的圖象,又y=sin2x+4+為偶函數(shù),故4+=2+k,kz,=4+k,kz.若k=0,則=4.故選b.6.(2013山東,理6)在平面直角坐標系xoy中,m為不等式組2x-y-20,x+2y-10,3x+y-80所表示的區(qū)域上一動點,則直線om斜率的最小值為().a.2b.1c.-13d.-12答案:c解析:不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,結(jié)合斜率變化規(guī)律,當m位于c點時om斜率最小,且為-13,故選c.7.(2013山東,理7)給定兩個命題p,q,若􀱑p是q的必要而不充分條件,則p是𙫔

6、9;q的().a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:由題意:q􀱑p,􀱑pq,根據(jù)命題四種形式之間的關(guān)系,互為逆否的兩個命題同真同假,所以q􀱑p,􀱑pq等價于p􀱑q,􀱑qp,所以p是􀱑q的充分而不必要條件.故選a.8.(2013山東,理8)函數(shù)y=xcos x+sin x的圖象大致為().答案:d解析:因f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故該函數(shù)為奇函

7、數(shù),排除b,又x0,2,y>0,排除c,而x=時,y=-,排除a,故選d.9.(2013山東,理9)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為a,b,則直線ab的方程為().a.2x+y-3=0b.2x-y-3=0c.4x-y-3=0d.4x+y-3=0答案:a解析:該切線方程為y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圓心到直線距離為|k×1-0-3k+1|k2+(-1)2=1,得k=0或43,切線方程分別與圓方程聯(lián)立,求得切點坐標分別為(1,1),95,-35,故所求直線的方程為2x+y-3=0.故選a.10.(2013山東,理10)用0,1,9

8、十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為().a.243b.252c.261d.279答案:b解析:構(gòu)成所有的三位數(shù)的個數(shù)為c91c101c101=900,而無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為c91c91c81=648,故所求個數(shù)為900-648=252,應(yīng)選b.11.(2013山東,理11)拋物線c1:y=12px2(p>0)的焦點與雙曲線c2:x23-y2=1的右焦點的連線交c1于第一象限的點m.若c1在點m處的切線平行于c2的一條漸近線,則p=().a.316b.38c.233d.433答案:d解析:設(shè)mx0,12px02,y'=12px2'=xp,故在m點處的切線的斜

9、率為x0p=33,故m33p,16p.由題意又可知拋物線的焦點為0,p2,雙曲線右焦點為(2,0),且33p,16p,0,p2,(2,0)三點共線,可求得p=433,故選d.12.(2013山東,理12)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當xyz取得最大值時,2x+1y-2z的最大值為().a.0b.1c.94d.3答案:b解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2-3xy+4y2z=12x2·4y2-3xyz,即xyz1,當且僅當x2=4y2時成立,又x,y為正實數(shù),故x=2y.此時將x=2y代入x2-3xy+4y2-z=0得z=2y2,所以2x+1y-2z=-

10、1y2+2y=-1y-12+1,當1y=1,即y=1時,2x+1y-2z取得最大值為1,故選b.第卷(共90分)二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.13.(2013山東,理13)執(zhí)行右面的程序框圖,若輸入的的值為0.25,則輸出的n的值為. 答案:3解析:第1次運行將f0+f1賦值給f1,即將3賦值給f1,然后將f1-f0賦值給f0,即將3-1=2賦值給f0,n增加1變成2,此時1f1=13比大,故循環(huán),新f1為2+3=5,新f0為5-2=3,n增加1變成3,此時1f1=15,故退出循環(huán),輸出n=3.14.(2013山東,理14)在區(qū)間-3,3上隨機取一個數(shù)x,使得|x

11、+1|-|x-2|1成立的概率為. 答案:13解析:設(shè)y=|x+1|-|x-2|=3,2x-1,-3,x2,-1<x<2,x-1,利用函數(shù)圖象(圖略)可知|x+1|-|x-2|1的解集為1,+).而在-3,3上滿足不等式的x的取值范圍為1,3,故所求概率為3-13-(-3)=13.15.(2013山東,理15)已知向量ab與ac的夾角為120°,且|ab|=3,|ac|=2,若ap=ab+ac,且apbc,則實數(shù)的值為. 答案:712解析:ap=ab+ac,apbc,又bc=ac-ab,(ac-ab)·(ac+ab)=0.ac2+ab

12、3;ac-ab·ac-ab2=0,即4+(-1)×3×2×-12-9=0,即7-12=0,=712.16.(2013山東,理16)定義“正對數(shù)”:ln+x=0,0<x<1,lnx,x1,現(xiàn)有四個命題:若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a;若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b;若a>0,b>0,則ln+abln+a-ln+b;若a>0,b>0,則ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號) 答案:三、解答題:本大題共6

13、小題,共74分.17.(2013山東,理17)(本小題滿分12分)設(shè)abc的內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos b=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(a-b)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得b2=(a+c)2-2ac(1+cos b),又b=2,a+c=6,cos b=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在abc中,sin b=1-cos2b=429.由正弦定理得sin a=asinbb=223.因為a=c,所以a為銳角.所以cos a=1-sin2a=13.因此sin(a-b)=sin acos b-cos

14、asin b=10227.18.(2013山東,理18)(本小題滿分12分)如圖所示,在三棱錐p-abq中,pb平面abq,ba=bp=bq,d,c,e,f分別是aq,bq,ap,bp的中點,aq=2bd,pd與eq交于點g,pc與fq交于點h,連接gh.(1)求證:abgh;(2)求二面角d-gh-e的余弦值.(1)證明:因為d,c,e,f分別是aq,bq,ap,bp的中點,所以efab,dcab.所以efdc.又ef平面pcd,dc平面pcd,所以ef平面pcd.又ef平面efq,平面efq平面pcd=gh,所以efgh.又efab,所以abgh.(2)解法一:在abq中,aq=2bd,a

15、d=dq,所以abq=90°,即abbq.因為pb平面abq,所以abpb.又bpbq=b,所以ab平面pbq.由(1)知abgh,所以gh平面pbq.又fh平面pbq,所以ghfh.同理可得ghhc,所以fhc為二面角d-gh-e的平面角.設(shè)ba=bq=bp=2,連接fc,在rtfbc中,由勾股定理得fc=2,在rtpbc中,由勾股定理得pc=5.又h為pbq的重心,所以hc=13pc=53.同理fh=53.在fhc中,由余弦定理得cosfhc=59+59-22×59=-45.故二面角d-gh-e的余弦值為-45.解法二:在abq中,aq=2bd,ad=dq,所以abq=

16、90°.又pb平面abq,所以ba,bq,bp兩兩垂直.以b為坐標原點,分別以ba,bq,bp所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)ba=bq=bp=2,則e(1,0,1),f(0,0,1),q(0,2,0),d(1,1,0),c(0,1,0),p(0,0,2).所以eq=(-1,2,-1),fq=(0,2,-1),dp=(-1,-1,2),cp=(0,-1,2).設(shè)平面efq的一個法向量為m=(x1,y1,z1),由m·eq=0,m·fq=0,得-x1+2y1-z1=0,2y1-z1=0,取y1=1,得m=(0,1,2).設(shè)平面pdc的一個

17、法向量為n=(x2,y2,z2),由n·dp=0,n·cp=0,得-x2-y2+2z2=0,-y2+2z2=0,取z2=1,得n=(0,2,1).所以cos<m,n>=m·n|m|n|=45.因為二面角d-gh-e為鈍角,所以二面角d-gh-e的余弦值為-45.19.(2013山東,理19)(本小題滿分12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是12外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是23.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利

18、方得3分、對方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對方得1分,求乙隊得分x的分布列及數(shù)學期望.解:(1)記“甲隊以30勝利”為事件a1,“甲隊以31勝利”為事件a2,“甲隊以32勝利”為事件a3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,故p(a1)=233=827,p(a2)=c322321-23×23=827,p(a3)=c422321-232×12=427.所以,甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為827,以32勝利的概率為427.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件a4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,所以p(a4)=c421-232232×1-12=427.由題意,

19、隨機變量x的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得p(x=0)=p(a1+a2)=p(a1)+p(a2)=1627,又p(x=1)=p(a3)=427,p(x=2)=p(a4)=427,p(x=3)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=327.故x的分布列為x0123p1627427427327所以ex=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.20.(2013山東,理20)(本小題滿分12分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn,且s4=4s2,a2n=2an+1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為t

20、n,且tn+an+12n=(為常數(shù)).令cn=b2n(nn*).求數(shù)列cn的前n項和rn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,由s4=4s2,a2n=2an+1得4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1.解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nn*.(2)由題意知,tn=-n2n-1,所以n2時,bn=tn-tn-1=-n2n-1+n-12n-2=n-22n-1.故cn=b2n=2n-222n-1=(n-1)14n-1,nn*.所以rn=0×140+1×141+2×142+3×143+(n-1)

21、5;14n-1,則14rn=0×141+1×142+2×143+(n-2)×14n-1+(n-1)×14n,兩式相減得34rn=141+142+143+14n-1-(n-1)×14n=14-14n1-14-(n-1)×14n=13-1+3n314n,整理得rn=194-3n+14n-1,所以數(shù)列cn的前n項和rn=194-3n+14n-1.21.(2013山東,理21)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)f(x)=xe2x+c(e=2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù),cr).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值;(2)討論關(guān)于x的方程|l

22、n x|=f(x)根的個數(shù).解:(1)f'(x)=(1-2x)e-2x,由f'(x)=0,解得x=12.當x<12時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x>12時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-,12,單調(diào)遞減區(qū)間是12,+,最大值為f12=12e-1+c.(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c,x(0,+).當x(1,+)時,ln x>0,則g(x)=ln x-xe-2x-c,所以g'(x)=e-2xe2xx+2x-1.因為2x-1>0,e2x

23、x>0,所以g'(x)>0.因此g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增.當x(0,1)時,ln x<0,則g(x)=-ln x-xe-2x-c.所以g'(x)=e-2x-e2xx+2x-1.因為e2x(1,e2),e2x>1>x>0,所以-e2xx<-1.又2x-1<1,所以-e2xx+2x-1<0,即g'(x)<0.因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.綜合可知,當x(0,+)時,g(x)g(1)=-e-2-c.當g(1)=-e-2-c>0,即c<-e-2時,g(x)沒有零點,故關(guān)于x的方程|ln x|=f

24、(x)根的個數(shù)為0;當g(1)=-e-2-c=0,即c=-e-2時,g(x)只有一個零點,故關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為1;當g(1)=-e-2-c<0,即c>-e-2時,當x(1,+)時,由(1)知g(x)=ln x-xe-2x-cln x-12e-1+c>ln x-1-c,要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x(e1+c,+);當x(0,1)時,由(1)知g(x)=-ln x-xe-2x-c-ln x-12e-1+c>-ln x-1-c,要使g(x)>0,只需-ln x-1-c>0,即x(0,e-1-c);所以c&

25、gt;-e-2時,g(x)有兩個零點,故關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為2.綜上所述,當c<-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為0;當c=-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為1;當c>-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為2.22.(2013山東,理22)(本小題滿分13分)橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是f1,f2,離心率為32,過f1且垂直于x軸的直線被橢圓c截得的線段長為1.(1)求橢圓c的方程;(2)點p是橢圓c上除長軸端點外的任一點,連接pf1,pf2.設(shè)f1p

26、f2的角平分線pm交c的長軸于點m(m,0),求m的取值范圍;(3)在(2)的條件下,過點p作斜率為k的直線l,使得l與橢圓c有且只有一個公共點.設(shè)直線pf1,pf2的斜率分別為k1,k2.若k0,試證明1kk1+1kk2為定值,并求出這個定值.(1)解:由于c2=a2-b2,將x=-c代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,得y=±b2a,由題意知2b2a=1,即a=2b2.又e=ca=32,所以a=2,b=1.所以橢圓c的方程為x24+y2=1.(2)解法一:設(shè)p(x0,y0)(y00).又f1(-3,0),f2(3,0),所以直線pf1,pf2的方程分別為lpf1:y0x-(x0+3)y+3y0=0,lpf2:y0x-(x0-3)y-3y0=0.由題意知|my0+3y0|y02+(x0+3)2=|my0-3y0|y02+(x0-3)2.由于點p在橢圓上,所以x024+y02=1,所以|m+3|32x0+22=|m-3|32x0-22.因為-3<m<3,-