2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(浙江卷) (2)

1、1 / 6 2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 浙江文科數(shù)學(xué) 選擇題部分(共 40 分) 一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2015 浙江,文 1)已知集合 p=x|x2-2x3,q=x|2x4,則 pq=( ) a.3,4) b.(2,3 c.(-1,2) d.(-1,3 答案:a 解析:因?yàn)?p=x|x-1 或 x3,所以 pq=x|3x0”是“ab0”的 ( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:d 解析:當(dāng)

2、a=-2,b=3 時(shí),a+b0,但 ab0,但 a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要條件. 4.(2015 浙江,文 4)設(shè) ,是兩個(gè)不同的平面,l,m 是兩條不同的直線,且 l,m.( ) a.若 l,則 b.若 ,則 lm c.若 l,則 d.若 ,則 lm 答案:a 解析:若 l,又 l,由面面垂直的判定定理,得 ,故選項(xiàng) a 正確;選項(xiàng) b,lm 或 lm 或 l 與 m 相交或異面都有可能;選項(xiàng) c,或 與 相交都有可能;選項(xiàng) d,lm 或 l 與 m 異面都有可能. 5.(2015 浙江,文 5)函數(shù) f(x)=( 1)cos x(-x 且 x0)的圖象可能為( ) 2 / 6

3、 答案:d 解析:因?yàn)?f(-x)=( +1)cos(-x)=-( 1)cos x=-f(x),所以 f(x)為奇函數(shù).排除 a,b; 又 f()=( 1)cos =-+10,排除 c.故選 d. 6.(2015 浙江,文 6)有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位:m2)分別為 x,y,z,且 xyz,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位:元/m2)分別為 a,b,c,且ab 1,則 f(f(-2)= ,f(x)的最小值是 . 答案:-12 26-6 解析:f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2)=f(4)=4+64-6=-12

4、; 當(dāng) x1 時(shí),f(x)min=0; 當(dāng) x1 時(shí),f(x)=x+6-626-6,當(dāng)且僅當(dāng) x=6,即 x=6時(shí),f(x)取最小值 26-6; 因?yàn)?26-60,所以 f(x)的最小值為 26-6. 13.(2015 浙江,文 13)已知 e1,e2是平面單位向量,且 e1 e2=12.若平面向量 b 滿足 b e1=b e2=1,則|b|= . 答案:233 解析:因?yàn)?b e1=b e2=1,|e1|=|e2|=1,由數(shù)量積的幾何意義,知 b 在 e1,e2方向上的投影相等,且都為 1,所以 b 與 e1,e2所成的角相等.由 e1 e2=12知 e1與 e2的夾角為 60 ,所以 b

5、與 e1,e2所成的角均為 30 ,即|b|cos 30 =1,所以|b|=1cos30=233. 14.(2015 浙江,文 14)已知實(shí)數(shù) x,y 滿足 x2+y21,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 . 答案:15 解析:畫(huà)出直線 2x+y-4=0 和 x+3y-6=0 以及圓 x2+y2=1,如圖. 由于整個(gè)圓在兩條直線的左下方,所以當(dāng) x2+y21 時(shí),有2 + 4 0, + 3 6 b0)的右焦點(diǎn) f(c,0)關(guān)于直線 y=x 的對(duì)稱點(diǎn) q 在橢圓上,則橢圓的離心率是 . 答案:22 4 / 6 解析:設(shè) q(x0,y0),則00= , (0+2) =02, 解得0=

6、(22)2,0=222. 因?yàn)辄c(diǎn) q 在橢圓上,所以2(22)242+42442=1, 化簡(jiǎn)得 a4c2+4c6-a6=0,即 4e6+e2-1=0. 即 4e6-2e4+2e4+e2-1=0, 即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0. 所以 e=22. 三、解答題:本大題共 5 小題,共 74 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.(本題滿分 14 分)(2015 浙江,文 16)在abc 中,內(nèi)角 a,b,c 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 tan(4+ )=2. (1)求sin2sin2+cos2的值; (2)若 b=4,a=3,求abc 的面積. 本題主要考查三角函數(shù)

7、及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.滿分 14 分. 解:(1)由 tan(4+ )=2,得 tan a=13, 所以sin2sin2+cos2=2tan2tan+1=25. (2)由 tan a=13,a(0,),得 sin a=1010,cos a=31010. 又由 a=3,b=4及正弦定理sin=sin,得 b=35. 由 sin c=sin(a+b)=sin( +4)得 sin c=255. 設(shè)abc 的面積為 s,則 s=12absin c=9. 17.(本題滿分 15 分)(2015 浙江,文 17)已知數(shù)列an和bn滿足 a1=2,b1=1,an+1=2a

8、n(nn*),b1+12b2+13b3+1bn=bn+1-1(nn*). (1)求 an與 bn; (2)記數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和為 tn,求 tn. 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查數(shù)列求和等基本思想方法,以及推理論證能力.滿分 15 分. 解:(1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(nn*). 由題意知: 當(dāng) n=1 時(shí),b1=b2-1,故 b2=2. 當(dāng) n2 時(shí),1bn=bn+1-bn,整理得+1+1=, 所以 bn=n(nn*). (2)由(1)知 anbn=n 2n, 因此 tn=2+2 22+3 23+n 2n, 2tn=22+2

9、23+3 24+n 2n+1, 所以 tn-2tn=2+22+23+2n-n 2n+1. 故 tn=(n-1)2n+1+2(nn*). 18.(本題滿分 15 分)(2015 浙江,文 18) 如圖,在三棱柱 abc-a1b1c1中,bac=90 ,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面 abc 的射影為 bc 的中點(diǎn),d 是 b1c1的中點(diǎn). (1)證明:a1d平面 a1bc; (2)求直線 a1b和平面 bb1c1c 所成的角的正弦值. 5 / 6 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.滿分 15 分. 解:(1)設(shè) e為 b

10、c 的中點(diǎn),由題意得 a1e平面 abc,所以 a1eae. 因?yàn)?ab=ac,所以 aebc. 故 ae平面 a1bc. 由 d,e分別為 b1c1,bc 的中點(diǎn),得 deb1b且 de=b1b,從而 dea1a且 de=a1a, 所以 aa1de為平行四邊形. 于是 a1dae. 又因?yàn)?ae平面 a1bc,所以 a1d平面 a1bc. (2)作 a1fde,垂足為 f,連結(jié) bf. 因?yàn)?a1e平面 abc,所以 bca1e. 因?yàn)?bcae,所以 bc平面 aa1de. 所以 bca1f,a1f平面 bb1c1c. 所以a1bf為直線 a1b 和平面 bb1c1c 所成的角. 由 ab

11、=ac=2,cab=90 ,得 ea=eb=2. 由 a1e平面 abc,得 a1a=a1b=4,a1e=14. 由 de=bb1=4,da1=ea=2,da1e=90 ,得 a1f=72. 所以 sina1bf=78. 19.(本題滿分 15 分)(2015 浙江,文 19)如圖,已知拋物線 c1:y=14x2,圓 c2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn) p(t,0)(t0)作不過(guò)原點(diǎn) o的直線 pa,pb 分別與拋物線 c1和圓 c2相切,a,b為切點(diǎn). (1)求點(diǎn) a,b的坐標(biāo); (2)求pab的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱

12、該公共點(diǎn)為切點(diǎn). 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分 15 分. 解:(1)由題意知直線 pa的斜率存在,故可設(shè)直線 pa的方程為 y=k(x-t), 由 = ( ), =142消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0, 由于直線 pa與拋物線相切,得 k=t. 因此,點(diǎn) a的坐標(biāo)為(2t,t2). 設(shè)圓 c2的圓心為 d(0,1),點(diǎn) b的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn) b,o 關(guān)于直線 pd 對(duì)稱,故02= 02+ 1,0 0= 0, 解得0=21+2,0=221+2. 因此,點(diǎn) b的

13、坐標(biāo)為(21+2,221+2). (2)由(1)知|ap|=t 1 + 2和直線 pa 的方程 tx-y-t2=0. 點(diǎn) b到直線 pa的距離是 d=21+2. 設(shè)pab 的面積為 s(t),所以 s(t)=12|ap| d=32. 20.(本題滿分 15 分)(2015 浙江,文 20)設(shè)函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a,br). 6 / 6 (1)當(dāng) b=24+1 時(shí),求函數(shù) f(x)在-1,1上的最小值 g(a)的表達(dá)式; (2)已知函數(shù) f(x)在-1,1上存在零點(diǎn),0b-2a1.求 b 的取值范圍. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能

14、力,分類討論等分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿分 15 分. 解:(1)當(dāng) b=24+1 時(shí),f(x)=( +2)2+1,故對(duì)稱軸為直線 x=-2. 當(dāng) a-2 時(shí),g(a)=f(1)=24+a+2. 當(dāng)-22 時(shí),g(a)=f(-1)=24-a+2. 綜上,g(a)= 24+ + 2, 2,1,2 2. (2)設(shè) s,t 為方程 f(x)=0 的解,且-1t1,則 + = , = . 由于 0b-2a1,因此2+2s12+2(-1t1). 當(dāng) 0t1 時(shí),22+2st22+2, 由于-2322+20 和-1322+29-45, 所以-23b9-45. 當(dāng)-1t0 時(shí),22+2st22+2, 由于

15、-222+20 和-322+20, 所以-3b0. 故 b 的取值范圍是-3,9-45. 附:自選模塊 1.“復(fù)數(shù)與導(dǎo)數(shù)”模塊(10 分) (1)已知 i 是虛數(shù)單位,a,br,復(fù)數(shù) z=1+ai 滿足 z2+z=1+bi,求 a2+b2的值. (2)設(shè)函數(shù) f(x)=(x2+2x-2)ex(xr),求 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解:(1)由題意得(2-a2)+3ai=1+bi,解得 a2=1,b=3a, 故 a2+b2=10. (2)對(duì) f(x)求導(dǎo),得 f(x)=(x2+4x)ex, 由 f(x)0,解得-4x0, 所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-4,0). 2.“計(jì)數(shù)原理與概率”模塊(10 分) (1)已知 n 為正整數(shù),在(1+x)2n與(1+2x3)n展開(kāi)