2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(大綱全國卷)理 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(大綱全國卷)數(shù)學(xué)(理科)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014大綱全國,理1)設(shè)z=10i3+i,則z的共軛復(fù)數(shù)為().a.-1+3ib.-1-3ic.1+3id.1-3i答案:d解析:z=10i3+i=10i(3-i)(3+i)(3-i)=30i+1032+12=1+3i,z=1-3i,選d.2.(2014大綱全國,理2)設(shè)集合m=x|x2-3x-4<0,n=x|0x5,則mn=().a.(0,4b.0,4)c.-1,0)d.(-1,0答案:b解析:m=x|x2-3x-4&

2、lt;0=x|-1<x<4,n=x|0x5,mn=x|0x<4=0,4),選b.3.(2014大綱全國,理3)設(shè)a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,則().a.a>b>cb.b>c>ac.c>b>ad.c>a>b答案:c解析:a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°cos35°,sin35°cos35°>sin 35°>sin

3、33°.c>b>a,選c.4.(2014大綱全國,理4)若向量a,b滿足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,則|b|=().a.2b.2c.1d.22答案:b解析:(a+b)a,|a|=1,(a+b)·a=0,|a|2+a·b=0,a·b=-1.又(2a+b)b,(2a+b)·b=0.2a·b+|b|2=0.|b|2=2.|b|=2,選b.5.(2014大綱全國,理5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組,則不同的選法共有().a.60種b.70種c.75種d.150種答案:c解

4、析:從6名男醫(yī)生中選出2名有c62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有c51種選法,故共有c62·c51=6×52×1×5=75種選法,選c.6.(2014大綱全國,理6)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為f1,f2,離心率為33,過f2的直線l交c于a,b兩點(diǎn).若af1b的周長為43,則c的方程為().a.x23+y22=1b.x23+y2=1c.x212+y28=1d.x212+y24=1答案:a解析:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為33,ca=33.又過f2的直線l交橢圓于a,b兩點(diǎn),a

5、f1b的周長為43,4a=43,a=3.b=2,橢圓方程為x23+y22=1,選a.7.(2014大綱全國,理7)曲線y=xex-1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于().a.2eb.ec.2d.1答案:c解析:y=xex-1,y'=ex-1+xex-1,k=y'|x=1=e0+e0=2,選c.8.(2014大綱全國,理8)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為().a.814b.16c.9d.274答案:a解析:由圖知,r2=(4-r)2+2,r2=16-8r+r2+2,r=94,s表=4r2=4×8116=814,選a.9.(2

6、014大綱全國,理9)已知雙曲線c的離心率為2,焦點(diǎn)為f1,f2,點(diǎn)a在c上.若|f1a|=2|f2a|,則cosaf2f1=().a.14b.13c.24d.23答案:a解析:雙曲線的離心率為2,ca=2,abc=132.又|af1|-|af2|=2a,|f1a|=2|f2a|,|af1|=4a,|af2|=2a,|f1f2|=2c=4a,cosaf2f1=|af2|2+|f1f2|2-|af1|22|af2|f1f2|=4a2+16a2-16a22×2a×4a=4a216a2=14,選a.10.(2014大綱全國,理10)等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)g

7、an的前8項(xiàng)和等于().a.6b.5c.4d.3答案:c解析:a4=2,a5=5,a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,lg a1+lg a2+lg a8=lg a1a2a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,選c.11.(2014大綱全國,理11)已知二面角-l-為60°,ab,abl,a為垂足,cd,cl,acd=135°,則異面直線ab與cd所成角的余弦值為().a.14b.24c.34d.12答案:b解析:如圖,在平面內(nèi)過c作ceab,則ecd為異面直線ab與cd所成的角或其補(bǔ)角,不妨取ce=1,過e作eo于o.在平

8、面內(nèi)過o作ohcd于h,連eh,則ehcd.因?yàn)閍bce,abl,所以cel.又因?yàn)閑o平面,所以col.故eco為二面角-l-的平面角,所以eco=60°.而acd=135°,col,所以och=45°.在rteco中,co=ce·coseco=1·cos 60°=12.在rtcoh中,ch=co·cosoch=12·sin 45°=24.在rtech中,cosech=chce=241=24.所以異面直線ab與cd所成角的余弦值為24.故選b.12.(2014大綱全國,理12)函數(shù)y=f(x)的圖像與函

9、數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線x+y=0對稱,則y=f(x)的反函數(shù)是().a.y=g(x)b.y=g(-x)c.y=-g(x)d.y=-g(-x)答案:d解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線x+y=0對稱,而函數(shù)圖像與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱,所以這兩個函數(shù)的反函數(shù)圖像也關(guān)于直線x+y=0對稱.設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)圖像上任一點(diǎn)p(x,y),則其關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)q(-y,-x)在函數(shù)y=g(x)的反函數(shù)的圖像上,又q(-y,-x)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)m(-x,-y)在函數(shù)y=g(x)的圖像上.所以,-y=g(-x),即y=-g(-x).故函數(shù)

10、y=f(x)的反函數(shù)為y=-g(-x).故選d.第卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2014大綱全國,理13)xy-yx8的展開式中x2y2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答) 答案:70解析:設(shè)xy-yx8的第r+1項(xiàng)中含有x2y2,則tr+1=c8rxy8-r-yxr=c8r·(-1)r·x8-r-r2yr-8-r2,因此8-r-r2=2,r-8-r2=2,即r=4.故x2y2的系數(shù)為c84×(-1)4=8×7×6×54×3×2×1=70.14.(2014大綱全國,理14)設(shè)x,y滿足約

11、束條件x-y0,x+2y3,x-2y1,則z=x+4y的最大值為. 答案:5解析:畫出x,y的可行域如圖陰影區(qū)域.由z=x+4y,得y=-14x+z4.先畫出直線y=-14x,再平移直線y=-14x,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)b(1,1)時,z=x+4y取得最大值為5.15.(2014大綱全國,理15)直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于. 答案:43解析:如圖所示,設(shè)l1與圓o:x2+y2=2相切于點(diǎn)b,l2與圓o:x2+y2=2相切于點(diǎn)c,則ob=2,oa=10,ab=22.tan =obab=222=12.tanba

12、c=tan 2=2tan1-tan2=2×121-14=43.16.(2014大綱全國,理16)若函數(shù)f(x)=cos 2x+asin x在區(qū)間6,2是減函數(shù),則a的取值范圍是. 答案:(-,2解析:f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.令t=sin x,x6,2,t12,1,g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+112<t<1,由題意知-a2×(-2)12,a2,a的取值范圍為(-,2.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)(2014大綱全國,理17)abc的內(nèi)角a,b,c

13、的對邊分別為a,b,c,已知3acos c=2ccos a,tan a=13,求b.分析:通過3acos c=2ccos a,借助于正弦定理把a(bǔ),c轉(zhuǎn)化成關(guān)于a,c的三角函數(shù)值,由已知tan a=13,從而求出tan c,再利用公式tan b=-tan(a+c)求出b.解:由題設(shè)和正弦定理得3sin acos c=2sin ccos a.故3tan acos c=2sin c,因?yàn)閠an a=13,所以cos c=2sin c,tan c=12.所以tan b=tan180°-(a+c)=-tan(a+c)=tana+tanctanatanc-1=-1,即b=135°.18

14、.(本小題滿分12分)(2014大綱全國,理18)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且sns4.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=1anan+1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.分析:(1)通過條件分析,a2為整數(shù),且sns4,得到a50,a40,把a(bǔ)4,a5用公差d和a1表示,得到公差的取值范圍,從而確定公差,進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式.(2)將(1)的結(jié)果代入bn=1anan+1,整理變形后利用裂項(xiàng)求前n項(xiàng)和tn.解:(1)由a1=10,a2為整數(shù)知,等差數(shù)列an的公差d為整數(shù),又sns4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-103d-52.因此d=-

15、3.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=13-3n.(2)bn=1(13-3n)(10-3n)=13110-3n-113-3n.于是tn=b1+b2+bn=1317-110+14-17+110-3n-113-3n=13110-3n-110=n10(10-3n).19.(本小題滿分12分)(2014大綱全國,理19)如圖,三棱柱abc-a1b1c1中,點(diǎn)a1在平面abc內(nèi)的射影d在ac上,acb=90°,bc=1,ac=cc1=2.(1)證明:ac1a1b;(2)設(shè)直線aa1與平面bcc1b1的距離為3,求二面角a1-ab-c的大小.分析:(方法一)(邏輯推理)(1)由ac=cc1=2,知側(cè)面a

16、a1c1c為菱形,借助于三垂線定理即可證得ac1a1b.(2)先作出二面角a1-ab-c的平面角a1fd,通過線面垂直關(guān)系得a1df為直角三角形.把a(bǔ)1fd放入rta1fd中通過解直角三角形的有關(guān)知識求出a1fd.(方法二)(坐標(biāo)法)(1)以c為坐標(biāo)原點(diǎn),射線ca為x軸的正半軸,以cb的長為單位長建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)a1(a,0,c),a2,寫出ac1,ba1的坐標(biāo)表示,利用ac1·ba1=0證明ac1a1b.(2)先根據(jù)已知條件求出a,c,再求出面aba1的法向量n和面abc的法向量p,利用公式cos<n,p>=n·p|n|p|求解.解法一:(1)證明:因?yàn)?/p>

17、a1d平面abc,a1d平面aa1c1c,故平面aa1c1c平面abc.又bcac,所以bc平面aa1c1c.連結(jié)a1c.因?yàn)閭?cè)面aa1c1c為菱形,故ac1a1c.由三垂線定理得ac1a1b.(2)bc平面aa1c1c,bc平面bcc1b1,故平面aa1c1c平面bcc1b1.作a1ecc1,e為垂足,則a1e平面bcc1b1.又直線aa1平面bcc1b1,因而a1e為直線aa1與平面bcc1b1的距離,a1e=3.因?yàn)閍1c為acc1的平分線,故a1d=a1e=3.作dfab,f為垂足,連結(jié)a1f.由三垂線定理得a1fab,故a1fd為二面角a1-ab-c的平面角.由ad=aa12-a1d

18、2=1得d為ac中點(diǎn),df=12×ac×bcab=55,tana1fd=a1ddf=15.所以二面角a1-ab-c的大小為arctan 15.解法二:以c為坐標(biāo)原點(diǎn),射線ca為x軸的正半軸,以cb的長為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-xyz.由題設(shè)知a1d與z軸平行,z軸在平面aa1c1c內(nèi).(1)證明:設(shè)a1(a,0,c),由題設(shè)有a2,a(2,0,0),b(0,1,0),則ab=(-2,1,0),ac=(-2,0,0),aa1=(a-2,0,c),ac1=ac+aa1=(a-4,0,c),ba1=(a,-1,c).由|aa1|=2得(a-2)2+c2=2,即a2

19、-4a+c2=0.于是ac1·ba1=a2-4a+c2=0,所以ac1a1b.(2)設(shè)平面bcc1b1的法向量m=(x,y,z),則mcb,mbb1,即m·cb=0,m·bb1=0.因cb=(0,1,0),bb1=aa1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,則z=2-a,m=(c,0,2-a),點(diǎn)a到平面bcc1b1的距離為|ca|·|cos<m,ca>|=|ca·m|m|=2cc2+(2-a)2=c.又依題設(shè),a到平面bcc1b1的距離為3,所以c=3.代入解得a=3(舍去)或a=1.于是aa1=(-

20、1,0,3).設(shè)平面aba1的法向量n=(p,q,r),則naa1,nab,即n·aa1=0,n·ab=0,-p+3r=0,且-2p+q=0.令p=3,則q=23,r=1,n=(3,23,1).又p=(0,0,1)為平面abc的法向量,故cos<n,p>=n·p|n|p|=14.所以二面角a1-ab-c的大小為arccos14.20.(本小題滿分12分)(2014大綱全國,理20)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;(2)x表示同

21、一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求x的數(shù)學(xué)期望.分析:(1)設(shè)出事件的字母表示,用所設(shè)字母表示所求事件,利用事件的相互獨(dú)立性求出所求問題的概率.(2)明確隨機(jī)變量的取值:x=0,1,2,3,4.把隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的事件,利用事件的相互獨(dú)立性求出每個隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率,較復(fù)雜的概率可用分布列的性質(zhì)去求.利用數(shù)學(xué)期望公式求得x的數(shù)學(xué)期望.解:記ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2,b表示事件:甲需使用設(shè)備,c表示事件:丁需使用設(shè)備,d表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)d=a1·b·c+a2·b+a2·b·c

22、.p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c2i×0.52,i=0,1,2,所以p(d)=p(a1·b·c+a2·b+a2·b·c)=p(a1·b·c)+p(a2·b)+p(a2·b·c)=p(a1)p(b)p(c)+p(a2)p(b)+p(a2)p(b)p(c)=0.31.(2)x的可能取值為0,1,2,3,4,其分布列為p(x=0)=p(b·a0·c)=p(b)p(a0)p(c)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,p

23、(x=1)=p(b·a0·c+b·a0·c+b·a1·c)=p(b)p(a0)p(c)+p(b)p(a0)p(c)+p(b)p(a1)p(c)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,p(x=4)=p(a2·b·c)=p(a2)p(b)p(c)=0.52×0.6×0.4=0.06,p(x=3)=p(d)-p(x=4)=0.25,p(x=2)=1

24、-p(x=0)-p(x=1)-p(x=3)-p(x=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,數(shù)學(xué)期望ex=0×p(x=0)+1×p(x=1)+2×p(x=2)+3×p(x=3)+4×p(x=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.21.(本小題滿分12分)(2014大綱全國,理21)已知拋物線c:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為f,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為p,與c的交點(diǎn)為q,且|qf|=54|pq|.(1)求c的方程;(2)過f的直線l與c相交于a,b兩點(diǎn),若ab的垂直

25、平分線l'與c相交于m,n兩點(diǎn),且a,m,b,n四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.分析:(1)設(shè)出q點(diǎn)坐標(biāo),利用|qf|=54|pq|列出關(guān)于p的方程,借助于p的幾何意義及拋物線的性質(zhì)確定p.(2)通過題設(shè)分析判斷直線l與x軸不垂直.因直線l過f(1,0),可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).直線l與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2關(guān)于m的表達(dá)式,借助弦長公式得|ab|=m2+1|y1-y2|(其中a(x1,y1),b(x2,y2),同理可得|mn|=1+1m2|y3-y4|(其中m(x3,y3),n(x4,y4).由題目中的a,m,b,n四點(diǎn)在同一圓上得到關(guān)于m的方程,

26、進(jìn)而求出m,得到直線l的方程.解:(1)設(shè)q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|pq|=8p,|qf|=p2+x0=p2+8p.由題設(shè)得p2+8p=54×8p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以c的方程為y2=4x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故ab的中點(diǎn)為d(2m2+1,2m),|ab|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率為-m,所以l'的方程為x=-1my+2m2+3.將上式代入y

27、2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.設(shè)m(x3,y3),n(x4,y4),則y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故mn的中點(diǎn)為e2m2+2m2+3,-2m,|mn|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于mn垂直平分ab,故a,m,b,n四點(diǎn)在同一圓上等價于|ae|=|be|=12|mn|,從而14|ab|2+|de|2=14|mn|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.22.(本小題滿分12分)(2014大綱全國,理22)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-axx+a(a>1).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)a1=1,an+1=ln(an+1),證明:2n+2<an3n+2.思路分析:(1)通過觀察f(x)及要求的結(jié)論,先求出f(x)的定義域,借助于導(dǎo)數(shù)這一工具討論f(x)的單調(diào)性.由于0與a2-2a的大小關(guān)系不確定,因而要分類討論.再借助于導(dǎo)函數(shù)討論f(x)的單調(diào)性.(2)