2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(課標(biāo)全國Ⅱ)

1、1 / 12 2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 課標(biāo)全國文科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng): 1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上. 2.回答第卷時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效. 3.回答第卷時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效. 4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回. 第卷 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(20

2、15 課標(biāo)全國,文 1)已知集合 a=x|-1x2,b=x|0 x3,則 ab=( ) a.(-1,3) b.(-1,0) c.(0,2) d.(2,3) 答案:a 解析:由題意,得 ab=x|-1x3,即 ab=(-1,3). 2.(2015 課標(biāo)全國,文 2)若 a為實(shí)數(shù),且2+i1+i=3+i,則 a= ( ) a.-4 b.-3 c.3 d.4 答案:d 解析:由題意,得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,則 a=4. 3.(2015 課標(biāo)全國,文 3)根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是( ) a.逐年比較

3、,2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 b.2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 c.2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) 2 / 12 d.2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 答案:d 解析:由柱形圖知,2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì),故其排放量與年份負(fù)相關(guān). 4.(2015 課標(biāo)全國,文 4)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b) a=( ) a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:c 解析:2a+b=(1,0),又 a=(1,-1),(2a+b) a=1+0=1. 5.(2015 課標(biāo)全國,文 5)設(shè) sn是等差數(shù)列an

4、的前 n 項(xiàng)和,若 a1+a3+a5=3,則 s5=( ) a.5 b.7 c.9 d.11 答案:a 解析:由 a1+a3+a5=3,得 3a3=3,解得 a3=1.故 s5=5(1+5)2=5a3=5. 6.(2015 課標(biāo)全國,文 6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如右圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) a.18 b.17 c.16 d.15 答案:d 解析:由題意知該正方體截去了一個(gè)三棱錐,如圖所示,設(shè)正方體棱長為 a,則 v正方體=a3,v截去部分=16a3,故截去部分體積與剩余部分體積的比值為16a356a3=15. 7.(2015 課標(biāo)全國,文 7

5、)已知三點(diǎn) a(1,0),b(0,3),c(2,3),則abc 外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為( ) a.53 b.213 c.253 d.43 答案:b 3 / 12 解析:由題意知,abc 外接圓的圓心是直線 x=1 與線段 ab 垂直平分線的交點(diǎn)為 p,而線段 ab垂直平分線的方程為 y-32=33(-12),它與 x=1 聯(lián)立得圓心 p坐標(biāo)為(1,233),則|op|=12+ (233)2=213. 8.(2015 課標(biāo)全國,文 8)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的 a,b 分別為 14,18,則輸出的 a=( ) a.0 b.

6、2 c.4 d.14 答案:b 解析:由程序框圖,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),則輸出的 a=2. 9.(2015 課標(biāo)全國,文 9)已知等比數(shù)列an滿足 a1=14,a3a5=4(a4-1),則 a2=( ) a.2 b.1 c.12 d.18 答案:c 解析:a3a5=4(a4-1),42=4(a4-1),解得 a4=2. 又 a4=a1q3,且 a1=14,q=2,a2=a1q=12. 10.(2015 課標(biāo)全國,文 10)已知 a,b是球 o 的球面上兩點(diǎn),aob=90 ,c 為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐 o-abc體積的最大值為 36,則球 o

7、 的表面積為( ) a.36 b.64 c.144 d.256 答案:c 解析:由aob 面積確定,若三棱錐 o-abc 的底面 oab上的高最大,則其體積才最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃?r,所以vo-abc=1312r2r=36,解得 r=6,故 s球=4r2=144. 11.(2015 課標(biāo)全國,文 11)如圖,長方形 abcd 的邊 ab=2,bc=1,o 是 ab的中點(diǎn).點(diǎn) p沿著邊 bc,cd 與 da運(yùn)動(dòng),記bop=x.將動(dòng)點(diǎn) p到 a,b兩點(diǎn)距離之和表示為 x 的函數(shù) f(x),則 y=f(x)的圖像大致為( ) 4 / 12 答案:b 解析:(方法一)當(dāng)點(diǎn) p在線段 bc 上時(shí),如圖

8、,x0,4. pb=obtan x=tan x,pa=2+ 2= tan2 + 4, 所以 f(x)=pb+pa=tan x+tan2 + 4. 顯然函數(shù) f(x)在0,4內(nèi)單調(diào)遞增, 故 f(0)f(x)f(4),即 2f(x)1+5. 取線段 cd 的中點(diǎn) e,當(dāng)點(diǎn) p在線段 ce上時(shí),x(4,2). 如圖,過點(diǎn) p作 phab,垂足為 h. 則 oh=1tan,bh=1-1tan. 所以 pb=2+ 2=12+ (1-1tan)2, pa=2+ 2=12+ (1 +1tan)2. 所以 f(x)=pb+pa=1 + (1-1tan)2+1 + (1 +1tan)2.所以 f(x)在(4,

9、2)上單調(diào)遞減. 當(dāng)點(diǎn) p在點(diǎn) e處,f(x)=pb+pa=221+5. 當(dāng)點(diǎn) p在線段 de 上時(shí),x(2,34). 5 / 12 由圖形的對(duì)稱性可知,此時(shí)函數(shù)圖像與當(dāng)點(diǎn) p在線段 ce 上時(shí)的圖像關(guān)于 x=2對(duì)稱. 當(dāng)點(diǎn) p在線段 da 上時(shí),x34,. 由圖形的對(duì)稱性可知,此時(shí)的函數(shù)圖像與當(dāng)點(diǎn) p在線段 bc 上時(shí)的圖像關(guān)于 x=2對(duì)稱. 綜上選 b. (方法二)由題意可知 f(2)=22,f(4) = 5+1,則 f(2)f(2x-1)成立的 x 的取值范圍是 ( ) a.(13,1) b.(-,13)(1,+) c.(-13,13) d.(-,-13) (13, + ) 答案:a 解

10、析:函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r,又由題意可知 f(-x)=f(x),故 f(x)為偶函數(shù). 當(dāng) x0 時(shí),f(x)=ln(1+x)-11+2,因?yàn)?y1=ln(1+x)單調(diào)遞增,y2=-11+2亦為單調(diào)遞增,所以 f(x)在(0,+)為增函數(shù). 由 f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),得|x|2x-1|,解得 x(13,1). 第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第 13 題第 21 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須做答.第 22 題第 24 題為選考題,考生根據(jù)要求做答. 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分. 13.(2015 課標(biāo)全國,文 13)已知函數(shù) f(

11、x)=ax3-2x 的圖像過點(diǎn)(-1,4),則 a= . 答案:-2 解析:由題意知 f(-1)=4,得-a+2=4,a=-2. 14.(2015 課標(biāo)全國,文 14)若 x,y 滿足約束條件 + -5 0,2-1 0,-2 + 1 0,則 z=2x+y 的最大值為 . 答案:8 解析:如圖所示,可行域?yàn)殛幱安糠? 6 / 12 由可行域可知,目標(biāo)函數(shù) 8=2x+y 過點(diǎn) b取得最大值. 聯(lián)立 + -5 = 0,-2 + 1 = 0,解得 = 3, = 2,則 b(3,2),故 zmax=6+2=8. 15.(2015 課標(biāo)全國,文 15)已知雙曲線過點(diǎn)(4,3),且漸近線方程為 y=12x,

12、則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 答案:24-y2=1 解析:由漸近線方程 y=12x,可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為24-y2=(0),將點(diǎn)(4,3)代入得 =1,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為24-y2=1. 16.(2015 課標(biāo)全國,文 16)已知曲線 y=x+ln x 在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線 y=ax2+(a+2)x+1 相切,則a= . 答案:8 解析:y=1+1,k=y|x=1=2, 切線方程為 y=2x-1. 由 y=2x-1 與 y=ax2+(a+2)x+1 聯(lián)立,得 ax2+ax+2=0,再由相切知 =a2-8a=0,解得 a=0 或 a=8. 當(dāng) a=0 時(shí),y=ax2+(a+2)x+1

13、并非曲線而是直線,a=0 舍去,故 a=8. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分 12 分)(2015 課標(biāo)全國,文 17)abc 中,d 是 bc 上的點(diǎn),ad 平分bac,bd=2dc. (1)求sinsin; (2)若bac=60 ,求b. 解:(1)由正弦定理得 sin=sin,sin=sin. 因?yàn)?ad 平分bac,bd=2dc, 所以sinsin=12. (2)因?yàn)閏=180 -(bac+b),bac=60 , 所以 sinc=sin(bac+b) =32cosb+12sinb. 7 / 12 由(1)知 2sinb=sinc, 所以 tan

14、b=33,即b=30 . 18.(本小題滿分 12 分)(2015 課標(biāo)全國,文 18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從 a,b 兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 40 個(gè)用戶,根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分,得到 a 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和 b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表. a 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖 b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表 滿意度 評(píng)分分組 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在答題卡上作出 b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)

15、算出具體值,給出結(jié)論即可); b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖 (2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí): 滿意度評(píng)分 低于 70分 70 分到 89分 不低于 90分 滿意度等級(jí) 不滿意 滿意 非常滿意 8 / 12 估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大?說明理由. 解:(1) 通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出,b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于 a 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值;b 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,而 a 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散. (2)a 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大. 記 ca表示事件:“a 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”

16、;cb表示事件:“b 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”. 由直方圖得 p(ca)的估計(jì)值為(0.01+0.02+0.03)10=0.6,p(cb)的估計(jì)值為(0.005+0.02)10=0.25. 所以 a 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大. 19.(本小題滿分 12 分)(2015 課標(biāo)全國,文 19)如圖,長方體 abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,點(diǎn) e,f分別在 a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,過點(diǎn) e,f的平面 與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由); (2)求平面 把該長方體分成的兩部分體

17、積的比值. 解:(1)交線圍成的正方形 ehgf 如圖: (2)作 emab,垂足為 m, 則 am=a1e=4,eb1=12,em=aa1=8. 因?yàn)?ehgf為正方形,所以 eh=ef=bc=10. 于是 mh=2-2=6,ah=10,hb=6. 因?yàn)殚L方體被平面 分成兩個(gè)高為 10 的直棱柱,所以其體積的比值為97(79也正確). 20.(本小題滿分 12 分)(2015 課標(biāo)全國,文 20)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的離心率為22,點(diǎn)(2,2)在 c 上. (1)求 c 的方程; (2)直線 l 不過原點(diǎn) o 且不平行于坐標(biāo)軸,l 與 c 有兩個(gè)交點(diǎn) a,b,線段 ab的中

18、點(diǎn)為 m.證明:直線 om 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值. 9 / 12 解:(1)由題意有2-2=22,42+22=1, 解得 a2=8,b2=4. 所以 c 的方程為28+24=1. (2)設(shè)直線 l:y=kx+b(k0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),m(xm,ym). 將 y=kx+b 代入28+24=1, 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xm=1+22=-222+1,ym=k xm+b=22+1. 于是直線 om 的斜率 kom=-12,即 kom k=-12. 所以直線 om 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值. 21.(本小題滿分 12

19、 分)(2015 課標(biāo)全國,文 21)已知函數(shù) f(x)=ln x+a(1-x). (1)討論 f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng) f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 時(shí),求 a 的取值范圍. 解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1-a. 若 a0,則 f(x)0,所以 f(x)在(0,+)單調(diào)遞增. 若 a0,則當(dāng) x(0,1)時(shí),f(x)0; 當(dāng) x(1, + )時(shí),f(x)0 時(shí),f(x)在 x=1取得最大值,最大值為 f(1)=ln(1)+a(1-1)=-ln a+a-1. 因此 f(1)2a-2 等價(jià)于 ln a+a-10. 令 g(a)=ln a+a-1,則 g(a)

20、在(0,+)單調(diào)遞增,g(1)=0. 于是,當(dāng) 0a1 時(shí),g(a)1 時(shí),g(a)0. 因此,a 的取值范圍是(0,1). 請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào). 10 / 12 22.(本小題滿分 10 分)(2015 課標(biāo)全國,文 22)選修 41:幾何證明選講 如圖,o 為等腰三角形 abc 內(nèi)一點(diǎn),o 與abc 的底邊 bc 交于 m,n 兩點(diǎn),與底邊上的高 ad 交于點(diǎn) g,且與ab,ac 分別相切于 e,f兩點(diǎn). (1)證明:efbc; (2)若 ag 等于o 的半徑,且 ae=mn=23,求四邊形 ebcf 的面積. 解:(1)由于abc 是等腰三角形,adbc, 所以 ad 是cab 的平分線. 又因?yàn)閛 分別與 ab,ac 相切于點(diǎn) e,f, 所以 ae=af,故 adef. 從而 efbc. (2)由(1)知,ae=af,adef, 故 ad 是 ef的垂直平分線. 又 ef為o 的弦,所以 o 在 ad 上. 連結(jié) oe,om,則 oeae. 由 ag 等于o 的半徑得 ao=2oe, 所以oae=30 . 因此abc 和aef都是等邊三角形. 因?yàn)?ae=23,所以 ao=4,oe=2. 因?yàn)?om=