2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(全國卷)3 (2)

1、1 / 12 絕密 啟用前 2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項: 1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.(2017 全國 3,理 1)已知集合 a=(x,y)|x2+y2=1,b=(

2、x,y)|y=x,則 ab 中元素的個數(shù)為( ) a.3 b.2 c.1 d.0 解析 a表示圓 x2+y2=1上所有點的集合,b表示直線 y=x 上所有點的集合,易知圓 x2+y2=1與直線y=x 相交于兩點(22,22),(-22,-22),故 ab中有 2個元素. 答案 b 2.(2017 全國 3,理 2)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(1+i)z=2i,則|z|=( ) a.12 b.22 c.2 d.2 解析由題意,得 z=2i1+i=1+i,故|z|=12+ 12= 2. 答案 c 3.(2017 全國 3,理 3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了 2014 年

3、1月至 2016 年 12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( ) a.月接待游客量逐月增加 b.年接待游客量逐年增加 c.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 2 / 12 d.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對于 7月至 12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 解析由題圖可知 2014年 8月到 9 月的月接待游客量在減少,故 a錯誤. 答案 a 4.(2017 全國 3,理 4)(x+y)(2x-y)5的展開式中 x3y3的系數(shù)為( ) a.-80 b.-40 c.40 d.80 解析(2x-y)5的展開式的通項公式 tr+

4、1=c5(2x)5-r(-y)r. 當(dāng) r=3時,x(2x-y)5的展開式中 x3y3的系數(shù)為c53 22 (-1)3=-40; 當(dāng) r=2時,y(2x-y)5的展開式中 x3y3的系數(shù)為c52 23 (-1)2=80. 故展開式中 x3y3的系數(shù)為 80-40=40. 答案 c 5.(2017 全國 3,理 5)已知雙曲線 c:2222=1(a0,b0)的一條漸近線方程為 y=52x,且與橢圓212+23=1有公共焦點,則 c的方程為( ) a.28210=1 b.2425=1 c.2524=1 d.2423=1 解析由題意得=52,c=3. 又 a2+b2=c2,所以 a2=4,b2=5,

5、 故 c 的方程為2425=1. 答案 b 6.(2017 全國 3,理 6)設(shè)函數(shù) f(x)=cos(x+3),則下列結(jié)論錯誤的是( ) a.f(x)的一個周期為-2 b.y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=83對稱 c.f(x+)的一個零點為 x=6 d.f(x)在(2,)單調(diào)遞減 解析由 f(x)=cos( +3)的解析式知-2是它的一個周期,故 a正確; 將 x=83代入 f(x)=cos( +3),得 f(83)=-1,故 y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=83對稱,故 b 正確; f(x+)=cos( +43),當(dāng) x=6時,f(x+)=cos(6+43)=0,故 c正確; 當(dāng) x(2,

6、)時,x+3 (56,43),顯然 f(x)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增,故 d 錯誤. 答案 d 7.(2017 全國 3,理 7) 3 / 12 執(zhí)行右面的程序框圖,為使輸出 s 的值小于 91,則輸入的正整數(shù) n的最小值為( ) a.5 b.4 c.3 d.2 解析程序運行過程如下表所示: s m t 初始狀態(tài) 0 100 1 第 1 次循環(huán)結(jié)束 100 -10 2 第 2 次循環(huán)結(jié)束 90 1 3 此時 s=90b0)的左、右頂點分別為 a1,a2,且以線段 a1a2為直徑的圓與直線 bx-ay+2ab=0 相切,則 c的離心率為( ) a.63 b.33 c.23 d.13 解析以線段 a1

7、a2為直徑的圓的方程是 x2+y2=a2. 因為直線 bx-ay+2ab=0與圓 x2+y2=a2相切, 所以圓心到該直線的距離 d=22+2=a, 整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2), 所以22=23,從而 e=63.故選 a. 答案 a 11.(2017 全國 3,理 11)已知函數(shù) f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則 a=( ) a.-12 b.13 c.12 d.1 解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1) =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x

8、+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=f(x),即 x=1為 f(x)圖像的對稱軸. f(x)有唯一零點,f(x)的零點只能為 1, 即 f(1)=12-2 1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a=12. 答案 c 12.(2017 全國 3,理 12)在矩形 abcd中,ab=1,ad=2,動點 p在以點 c 為圓心且與 bd 相切的圓上.若 = + ,則 +的最大值為( ) a.3 b.22 c.5 d.2 解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 5 / 12 則 a(0,1),b(0,0),d(2,1). 設(shè) p(x,y),由|bc| |cd|=|bd

9、| r,得 r=|=215=255, 即圓的方程是(x-2)2+y2=45. 易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0). 由 = + , 得 = 2,-1 = -,所以 =2,=1-y, 所以 +=12x-y+1. 設(shè) z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因為點 p(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上, 所以圓心 c到直線12x-y+1-z=0 的距離 dr, 即|2-|14+1255,解得 1z3, 所以 z的最大值是 3,即 + 的最大值是 3,故選 a. 答案 a 二、填空題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分。 13.(2017 全國 3,理 13

10、)若 x,y 滿足約束條件- 0, + -2 0, 0,則 z=3x-4y的最小值為 . 解析畫出不等式組表示的可行域,如圖,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,得目標(biāo)函數(shù)在點 a(1,1)處取得最小值 z=3 1-4 1=-1. 答案-1 14.(2017 全國 3,理 14)設(shè)等比數(shù)列an滿足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,則 a4= . 解析設(shè)an的公比為 q,則由題意,得1(1 + ) = -1,1(1-2) = -3,解得1= 1, = -2,故 a4=a1q3=-8. 答案-8 6 / 12 15.(2017 全國 3,理 15)設(shè)函數(shù) f(x)= + 1, 0,2, 0,則滿足 f(x

11、)+f(x-12)1 的 x 的取值范圍是 . 解析f(x)= + 1, 0,2, 0,f(x)+f(-12)1, 即 f(-12)1-f(x),利用圖像變換,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出 y=f(-12)與 y=1-f(x)的圖像,如圖所示. 由數(shù)形結(jié)合可知,滿足 f(-12)1-f(x)的解為(-14, + ). 答案(-14, + ) 16.(2017 全國 3,理 16)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形 abc的直角邊 ac 所在直線與 a,b都垂直,斜邊 ab以直線 ac 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: 當(dāng)直線 ab 與 a成 60角時,ab 與 b成 30角; 當(dāng)直線 a

12、b 與 a成 60角時,ab 與 b成 60角; 直線 ab與 a所成角的最小值為 45; 直線 ab與 a所成角的最大值為 60. 其中正確的是 .(填寫所有正確結(jié)論的編號) 解析由題意,ab是以 ac 為軸,bc為底面半徑的圓錐的母線,由 aca,acb,得 ac圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點 b,作 bda,交底面圓 c于點 d,如圖所示,連接 de,則 debd,deb.連接 ad,在等腰三角形 abd中,設(shè) ab=ad=2,當(dāng)直線 ab與 a成 60角時,abd=60,故 bd=2.又在 rtbde中,be=2,de=2,過點 b作 bfde,交圓 c于點 f,連接 af,由圓的對稱性可

13、知 bf=de=2,abf 為等邊三角形,abf=60,即 ab 與 b成 60角,正確,錯誤.由最小角定理可知正確;很明顯,可以滿足直線 a平面 abc,直線 ab 與 a 所成的最大角為 90,錯誤.故正確的說法為. 答案 三、解答題:共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題,考生根據(jù)要求作答。 7 / 12 (一)必考題:共 60 分。 17.(2017 全國 3,理 17)(12分) abc的內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c.已知 sin a+3cos a=0,a=27,b=2. (1)求

14、 c; (2)設(shè) d 為 bc邊上一點,且 adac,求abd 的面積. 解(1)由已知可得 tan a=-3,所以 a=23. 在abc中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos23, 即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. (2)由題設(shè)可得cad=2, 所以bad=bac-cad=6.故abd面積與acd面積的比值為12sin612=1. 又abc的面積為12 4 2sinbac=23,所以abd 的面積為3. 18.(12分)(2017 全國 3,理 18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶 4元,售價每瓶 6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶

15、2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于 25,需求量為 500 瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為 300瓶;如果最高氣溫低于 20,需求量為 200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量 x(單位:瓶)的分布列; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的

16、利潤為 y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量 n(單位:瓶)為多少時,y 的數(shù)學(xué)期望達到最大值? 解(1)由題意知,x 所有可能取值為 200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知p(x=200)=2+1690=0.2,p(x=300)=3690=0.4,p(x=500)=25+7+490=0.4. 因此 x的分布列為 x 200 300 500 p 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為 500,至少為 200,因此只需考慮 200n500. 當(dāng) 300n500 時, 若最高氣溫不低于 25,則 y=6n-4n=2n; 若最高氣溫位于區(qū)間20,25), 則 y=6

17、 300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 8 / 12 若最高氣溫低于 20, 則 y=6 200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此 ey=2n 0.4+(1 200-2n) 0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n. 當(dāng) 200n300時, 若最高氣溫不低于 20,則 y=6n-4n=2n; 若最高氣溫低于 20, 則 y=6 200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此 ey=2n (0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n. 所以 n=300 時,y 的數(shù)學(xué)期望達到最大值,最大值為 520 元. 19.(12分)(2017 全

18、國 3,理 19) 如圖,四面體 abcd中,abc是正三角形,acd 是直角三角形,abd=cbd,ab=bd. (1)證明:平面 acd平面 abc; (2)過 ac的平面交 bd于點 e,若平面 aec把四面體 abcd 分成體積相等的兩部分,求二面角 d-ae-c的余弦值. 解(1)由題設(shè)可得,abdcbd,從而 ad=dc. 又acd 是直角三角形,所以adc=90. 取 ac的中點 o,連接 do,bo,則 doac,do=ao. 又由于abc是正三角形,故 boac. 所以dob為二面角 d-ac-b的平面角. 在 rtaob中,bo2+ao2=ab2, 又 ab=bd, 所以

19、bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2, 故dob=90.所以平面 acd平面 abc. (2)由題設(shè)及(1)知,oa,ob,od兩兩垂直,以 o為坐標(biāo)原點, 的方向為 x軸正方向,| |為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 o-xyz. 9 / 12 則 a(1,0,0),b(0,3,0),c(-1,0,0),d(0,0,1). 由題設(shè)知,四面體 abce的體積為四面體 abcd的體積的12,從而 e到平面 abc 的距離為 d 到平面 abc 的距離的12,即 e為 db 的中點,得 e(0,32,12). 故 =(-1,0,1), =(-2,0,0), = (-1,32,12)

20、. 設(shè) n=(x,y,z)是平面 dae 的法向量, 則 = 0, = 0,即- + = 0,- +32 +12 = 0. 可取 n=(1,33,1). 設(shè) m 是平面 aec 的法向量,則 = 0, = 0. 同理可取 m=(0,-1,3). 則 cos=|=77. 所以二面角 d-ae-c的余弦值為77. 20.(12分)(2017 全國 3,理 20)已知拋物線 c:y2=2x,過點(2,0)的直線 l交 c 于 a,b 兩點,圓 m 是以線段ab 為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點 o 在圓 m 上; (2)設(shè)圓 m 過點 p(4,-2),求直線 l與圓 m 的方程. 解(1)設(shè) a(

21、x1,y1),b(x2,y2),l:x=my+2. 由 = + 2,2= 2可得 y2-2my-4=0,則 y1y2=-4. 又 x1=122,x2=222,故 x1x2=(12)24=4. 因此 oa 的斜率與 ob 的斜率之積為1122=-44=-1, 所以 oaob.故坐標(biāo)原點 o在圓 m 上. (2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圓心 m的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓 m 的半徑 r=(2+ 2)2+ 2. 由于圓 m過點 p(4,-2),因此 =0, 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即 x1x2-4(x1+

22、x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4. 10 / 12 所以 2m2-m-1=0,解得 m=1或 m=-12. 當(dāng) m=1時,直線 l的方程為 x-y-2=0,圓心 m的坐標(biāo)為(3,1),圓 m的半徑為10,圓 m 的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 當(dāng) m=-12時,直線 l的方程為 2x+y-4=0,圓心 m 的坐標(biāo)為(94,-12),圓 m的半徑為854,圓 m 的方程為(-94)2+ ( +12)2=8516. 21.(12分)(2017 全國 3,理 21)已知函數(shù) f(x)=x-1-aln x. (1)若 f(x)0,求

23、 a的值; (2)設(shè) m 為整數(shù),且對于任意正整數(shù) n,(1+12)(1+122)(1+12)m,求 m 的最小值. 解(1)f(x)的定義域為(0,+). 若 a0,因為 f(12)=-12+aln 20,由 f(x)=1-=-知,當(dāng) x(0,a)時,f(x)0. 所以 f(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,+)單調(diào)遞增. 故 x=a是 f(x)在(0,+)的唯一最小值點. 由于 f(1)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng) a=1 時,f(x)0. 故 a=1. (2)由(1)知當(dāng) x(1,+)時,x-1-ln x0. 令 x=1+12得 ln(1 +12) 12. 從而 ln(1 +12)+ln(1 +122)+ln(1 +12) 12+122+12=1-121. 故(1 +12)(1 +122)(1 +12)2,所以 m的最小值為 3. (二)選考題:共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。 22.(10分)(2017 全國 3,理 22)選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 xoy 中,直線 l1的參數(shù)方程為 =