2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(北京卷) (2)

1、1 / 10 絕密 啟用前 2019 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(北京,文) 本試卷共 5 頁(yè),150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分(選擇題 共 40分) 一、選擇題共 8 小題,每小題 5分,共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1.(2019 北京,文 1)已知集合 a=x|-1x1,則 ab=( ) a.(-1,1) b.(1,2) c.(-1,+) d.(1,+) 解析a=x|-1x1, ab=(-1,+),故選 c. 答案 c 2.(2019 北京,文

2、2)已知復(fù)數(shù) z=2+i,則 z =( ) a.3 b.5 c.3 d.5 解析z=2+i,=2-i. z =(2+i)(2-i)=5.故選 d. 答案 d 3.(2019 北京,文 3)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增的是( ) a.y=12 b.y=2-x c.y=log12x d.y=1 解析函數(shù) y=2-x,y=log12x,y=1在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減,函數(shù) y=12在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,故選 a. 答案 a 4.(2019 北京,文 4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的 s值為( ) 2 / 10 a.1 b.2 c.3 d.4 解析運(yùn)行第一次,k=1,s=21231

3、-2=2, 運(yùn)行第二次,k=2,s=22232-2=2, 運(yùn)行第三次,k=3,s=22232-2=2, 結(jié)束循環(huán),輸出 s=2,故選 b. 答案 b 逐次運(yùn)行,直到滿足 k3 時(shí),結(jié)束循環(huán),輸出 s. 5.(2019 北京,文 5)已知雙曲線22-y2=1(a0)的離心率是5,則 a=( ) a.6 b.4 c.2 d.12 解析雙曲線的離心率 e= 5,c=2+ 1, 2+1= 5,解得 a=12,故選 d. 答案 d 根據(jù)雙曲線的離心率的定義,列關(guān)于 a 的方程求解. 6.(2019 北京,文 6)設(shè)函數(shù) f(x)=cos x+bsin x(b為常數(shù)),則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的

4、( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 解析當(dāng) b=0 時(shí),f(x)=cos x+bsin x=cos x,f(x)為偶函數(shù);若 f(x)為偶函數(shù),則 f(-x)=f(x)對(duì)任意的 x 恒成立,f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x,由 cos x+bsin x=cos x-bsin x,得 bsin x=0 對(duì)任意的 x恒成立,從而b=0.從而“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件,故選 c. 答案 c 根據(jù)定義域?yàn)?r 的函數(shù) f(x)為偶函數(shù)等價(jià)于 f(-x)=f(x)進(jìn)行判斷. 3 / 10

5、 7.(2019 北京,文 7)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lg12,其中星等為 mk的星的亮度為 ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( ) a.1010.1 b.10.1 c.lg 10.1 d.10-10.1 解析兩顆星的星等與亮度滿足 m2-m1=52lg12, 令 m2=-1.45,m1=-26.7, 則 lg12=25(m2-m1)=25(-1.45+26.7)=10.1,12=1010.1,故選 a. 答案 a 先求出 lg12,然后將對(duì)數(shù)式換為指數(shù)式求1

6、2. 8.(2019 北京,文 8)如圖,a,b是半徑為 2 的圓周上的定點(diǎn),p 為圓周上的動(dòng)點(diǎn),apb 是銳角,大小為 .圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ) a.4+4cos b.4+4sin c.2+2cos d.2+2sin 解析(方法一)如圖,設(shè)圓心為 o,連接 oa,ob,半徑 r=2,aob=2apb=2,陰影部分(扇形)的面積s1=r2=4為定值,soab=12|oa|ob|sin 2=2sin 2為定值,全部陰影部分的面積 s=spab+s1-soab.當(dāng)p 為弧 ab 的中點(diǎn)時(shí) spab最大,最大值為12(2|oa|sin )(op+|oa|cos )=2sin (2+2co

7、s )=4sin +2sin 2,所以全部陰影部分的面積 s的最大值為 4+4sin ,故選 b. (方法二)觀察圖象可知,當(dāng) p 為弧 ab 的中點(diǎn)時(shí),陰影部分的面積 s取最大值,此時(shí)bop=aop=-,面積 s 的最大值為 r2+spob+spoa=4+12|op|ob|sin(-)+12|op|oa|sin(-)=4+2sin +2sin =4+4sin ,故選 b. 答案 b 4 / 10 第二部分(非選擇題 共 110 分) 二、填空題共 6 小題,每小題 5分,共 30 分。 9.(2019 北京,文 9)已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 ab,則 m= . 解析a=

8、(-4,3),b=(6,m),ab, a b=0,即-46+3m=0,即 m=8. 答案 8 10.(2019 北京,文 10)若 x,y滿足 2, -1,4-3 + 1 0,則 y-x的最小值為 ,最大值為 . 解析作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè) z=y-x,則 y=x+z.當(dāng)直線 l0:y=x+z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(2,-1)時(shí),z取最小值-3,經(jīng)過(guò)點(diǎn) b(2,3)時(shí),z 取最大值 1. 答案-3 1 作出可行域,移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線,利用圖像法求解. 11.(2019 北京,文 11)設(shè)拋物線 y2=4x的焦點(diǎn)為 f,準(zhǔn)線為 l.則以 f 為圓心,且與 l相切的圓的方程為 . 解析拋物線 y

9、2=4x中,2p=4,p=2,焦點(diǎn) f(1,0),準(zhǔn)線 l的方程為 x=-1,以 f為圓心,且與 x=-1相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4. 答案(x-1)2+y2=4 12.(2019 北京,文 12)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,那么該幾何體的體積為 . 解析在正方體中還原該幾何體,如圖所示. 5 / 10 該幾何體的體積 v=43-12(2+4)24=40. 答案 40 畫出三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體,應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積. 13.(2019 北京,文 13)已知 l,m是平面 外的兩條不同直

10、線.給出下列三個(gè)論斷: lm;m;l. 以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題: . 答案若 l,m,則 lm 14.(2019 北京,文 14)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為 60元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到 120 元,顧客就少付 x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%. (1)當(dāng) x=10 時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各 1盒,需要支付 元; (2)在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總

11、價(jià)的七折,則 x的最大值為 . 解析(1)當(dāng) x=10 時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130(元). (2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為 y 元, y0;當(dāng) n6時(shí),an0. 所以,sn的最小值為 s6=-30. 17.(2019 北京,文 17)(本小題 12 分) 改革開放以來(lái),人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月 a,b 兩種移動(dòng)支付方式的使用情況,從全校所有的 1 000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100人,發(fā)現(xiàn)樣本中 a,b兩種支付方式都不使用的有 5人,樣本中僅使用 a和僅使用 b的學(xué)生的支付金額

12、分布情況如下: 支付金額 支付方式 不大于 2 000元 大于 2 000元 僅使用 a 27 人 3 人 僅使用 b 24 人 1 人 (1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月 a,b兩種支付方式都使用的人數(shù); (2)從樣本僅使用 b的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人,求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于 2 000 元的概率; 7 / 10 (3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用 b 的學(xué)生中隨機(jī)抽查 1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2 000 元.結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用 b 的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化?說(shuō)明理由. 解(1)由題知,樣本中僅使用 a的學(xué)生有 27

13、+3=30 人,僅使用 b的學(xué)生有 24+1=25人,a,b 兩種支付方式都不使用的學(xué)生有 5人. 故樣本中 a,b兩種支付方式都使用的學(xué)生有 100-30-25-5=40 人. 估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月 a,b兩種支付方式都使用的人數(shù)為401001 000=400. (2)記事件 c 為“從樣本僅使用 b的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1 人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于 2 000元”,則 p(c)=125=0.04. (3)記事件 e 為“從樣本僅使用 b 的學(xué)生中隨機(jī)抽查 1人,該學(xué)生本月的支付金額大于 2 000 元”. 假設(shè)樣本僅使用 b 的學(xué)生中,本月支付金額大于 2 000 元的人數(shù)沒有變化,則由

14、(2)知,p(e)=0.04. 答案示例 1:可以認(rèn)為有變化.理由如下: p(e)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月支付金額大于 2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化. 答案示例 2:無(wú)法確定有沒有變化.理由如下: 事件 e是隨機(jī)事件,p(e)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無(wú)法確定有沒有變化. 18.(2019 北京,文 18)(本小題 14 分) 如圖,在四棱錐 p-abcd中,pa平面 abcd,底面 abcd 為菱形,e 為 cd的中點(diǎn). (1)求證:bd平面 pac; (2)若abc=60,求證:平面 pab平面 pae;

15、(3)棱 pb上是否存在點(diǎn) f,使得 cf平面 pae?說(shuō)明理由. (1)證明因?yàn)?pa平面 abcd, 所以 pabd. 又因?yàn)榈酌?abcd為菱形,所以 bdac. 所以 bd平面 pac. (2)證明因?yàn)?pa平面 abcd,ae平面 abcd,所以 paae. 因?yàn)榈酌?abcd為菱形,abc=60,且 e為 cd 的中點(diǎn),所以 aecd. 所以 abae. 所以 ae平面 pab. 所以平面 pab平面 pae. (3)解棱 pb 上存在點(diǎn) f,使得 cf平面 pae. 8 / 10 取 f 為 pb 的中點(diǎn),取 g為 pa 的中點(diǎn),連結(jié) cf,fg,eg. 則 fgab,且 fg=

16、12ab. 因?yàn)榈酌?abcd為菱形,且 e為 cd的中點(diǎn), 所以 ceab,且 ce=12ab. 所以 fgce,且 fg=ce. 所以四邊形 cegf 為平行四邊形. 所以 cfeg. 因?yàn)?cf平面 pae,eg平面 pae, 所以 cf平面 pae. 19.(2019 北京,文 19)(本小題 14 分) 已知橢圓 c:22+22=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(0,1). (1)求橢圓 c 的方程; (2)設(shè) o 為原點(diǎn),直線 l:y=kx+t(t1)與橢圓 c交于兩個(gè)不同點(diǎn) p,q,直線 ap與 x軸交于點(diǎn) m,直線aq 與 x 軸交于點(diǎn) n.若|om| |on|=2,求證:

17、直線 l經(jīng)過(guò)定點(diǎn). (1)解由題意得,b2=1,c=1. 所以 a2=b2+c2=2. 所以橢圓 c的方程為22+y2=1. (2)證明設(shè) p(x1,y1),q(x2,y2), 則直線 ap的方程為 y=1-11x+1. 令 y=0,得點(diǎn) m 的橫坐標(biāo) xm=-11-1. 又 y1=kx1+t,從而|om|=|xm|=|11+-1|. 同理,|on|=|22+-1|. 由 = + ,22+ 2= 1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0. 則 x1+x2=-41+22,x1x2=22-21+22. 9 / 10 所以|om| |on|=|11+-1| |22+-1| =|12212+(

18、-1)(1+2)+(-1)2| =|22-21+22222-21+22+(-1)(-41+22)+(-1)2| =2|1+1-|. 又|om| |on|=2,所以 2|1+1-|=2. 解得 t=0,所以直線 l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0). 20.(2019 北京,文 20)(本小題 14 分) 已知函數(shù) f(x)=14x3-x2+x. (1)求曲線 y=f(x)的斜率為 1 的切線方程; (2)當(dāng) x-2,4時(shí),求證:x-6f(x)x; (3)設(shè) f(x)=|f(x)-(x+a)|(ar),記 f(x)在區(qū)間-2,4上的最大值為 m(a).當(dāng) m(a)最小時(shí),求 a的值. (1)解由 f(x)=14x3-x2+x 得 f(x)=34x2-2x+1. 令 f(x)=1,即34x2-2x+1=1,得 x=0 或 x=83. 又 f(0)=0,f(83) =827, 所以曲線 y=f(x)的斜率為 1 的切線方程是 y=x與 y-827=x-83,即 y=x與 y=x-6427. (