21版高中同步新教材必修第二冊人教A版數(shù)學(xué)考前必背 (2)

1、1 / 10 考 前 必 背 第六章 平面向量及其應(yīng)用 一、平面向量的線性運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加 法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律:a+b=b+a; (2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c) 減 法 向量 a加上向量 b 的相反向量叫做a與 b的差 數(shù) 乘 實數(shù) 與向量 a的積是一個向量,記作 a (1)模:|a|=|a|; (2)方向: 當(dāng) 0 時,a與 a的方向相同; 當(dāng) 0 時,a與 a的方向相反; 當(dāng) =0 時,a=0 設(shè) , 是實數(shù). (1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b 二、共線向量定理

2、向量 a(a0)與 b 共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù) ,使 b=a. 2 / 10 三、平面向量基本定理 如果 e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a,有且只有一對實數(shù) 1,2,使 a=1e1+2e2. 若 e1,e2不共線,我們把e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底. 四、平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示 設(shè) a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=12+ 12,ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2. 五、余弦定理及其推論 1.余弦定理 三

3、角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即 a2=b2+c2-2bccos a,b2=a2+c2-2accos b,c2=a2+b2-2abcos c. 2.推論 cos a=2+2-22,cos b=2+2-22,cos c=2+2-22. 六、正弦定理及其常見變形 1.正弦定理 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即sin=sin=sin=2r(r 為abc 外接圓半徑). 2.常見變形 a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c, sin a=2,sin b=2,sin c=2, abc=sin asin bsin c,

4、3 / 10 +sin+sin+sin=2r. 第七章 復(fù)數(shù) 一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)表示 1.復(fù)數(shù) 把形如 a+bi(a,br)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中 i 叫做虛數(shù)單位,a叫做復(fù)數(shù)的實部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部.把 z=a+bi(a,br)這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式. 2.復(fù)數(shù)集 全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集,即復(fù)數(shù)集 c=a+bi|a,br. 3.復(fù)數(shù)相等 在復(fù)數(shù)集 c=a+bi|a,br中任取兩個數(shù) a+bi,c+di(a,b,c,dr), 我們規(guī)定:a+bi 與 c+di 相等當(dāng)且僅當(dāng) a=c且 b=d. 4.復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù) z=a+bi(a,br)實數(shù)( = 0),虛數(shù)( 0)純虛數(shù)(

5、 = 0),非純虛數(shù)( 0). 二、復(fù)數(shù)的幾何意義 4 / 10 三、復(fù)數(shù)的四則運算 設(shè) z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dr),則 (1)z1 z2=(a c)+(b d)i; (2)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (3)12=+i+i=+2+2+-2+2i(z20). 對任意 z1,z2,z3c,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3), z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 第八章 立體幾何初步 一、常見幾何體的面積 多面體的表面積就是圍成多面體各

6、個面的面積的和. 圓柱的側(cè)面積 s側(cè)=2rl,表面積 s=2r(r+l). 圓錐的側(cè)面積 s側(cè)=rl,表面積 s=r(r+l). 圓臺的側(cè)面積 s側(cè)=(r+r)l,表面積 s=(r2+r2+rl+rl). 球的表面積 s=4r2. 其中 r,r分別為上、下底面半徑,l 為母線長,r 為球的半徑. 二、常見幾何體的體積 柱體的體積 v=sh; 錐體的體積 v=13sh; 臺體的體積 v=13(s+s)h; 5 / 10 球的體積 v=43r3. 其中 s,s 分別為上、下底面面積,h為高,r 為球的半徑. 三、平面的基本事實 基本事實 1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面. 基本事實

7、2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi). 推論 1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面. 推論 2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面. 推論 3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面. 基本事實 3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 基本事實 4:平行于同一條直線的兩條直線平行. 四、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.空間中直線與直線的位置關(guān)系 共面直線相交直線:在同一平面內(nèi),有且只有一個公共點平行直線:在同一平面內(nèi),沒有公共點異面直線:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點 2.空間中直線與平面的位置關(guān)系 (1)直線

8、在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點; (2)直線與平面相交有且只有一個公共點; (3)直線與平面平行沒有公共點. 當(dāng)直線與平面相交或平行時,直線不在平面內(nèi),也稱為直線在平面外. 6 / 10 3.空間中平面與平面的位置關(guān)系 (1)兩個平面平行沒有公共點; (2)兩個平面相交有一條公共直線. 五、空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì) 1.直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行. 2.直線與平面平行的性質(zhì)定理:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行. 3.平面與平面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么

9、這兩個平面平行. 4.平面與平面平行的性質(zhì)定理:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行. 六、空間垂直關(guān)系的判定及性質(zhì) 1.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直. 2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行. 3.平面與平面垂直的判定定理:如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直. 4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直. 第九章 統(tǒng)計 7 / 10 一、隨機(jī)抽樣 簡單隨 機(jī)抽樣 從總體中逐個抽取樣本的方法,

10、分為放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣 分層隨 機(jī)抽樣 將總體分層,按照比例從各層中獨立抽取樣本的方法 二、樣本估計總體 頻率分布 樣本中某個數(shù)據(jù)(范圍)在總體中占有的比例稱為這個數(shù)據(jù)(范圍)的頻率,使用頻率分布表、頻率分布直方圖表達(dá)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布 樣 本 的 數(shù) 字 特 征 百分位數(shù) 一組數(shù)據(jù)的第 p百分位數(shù)是使得這組數(shù)據(jù)中至少有 p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值 眾數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 中位數(shù) 從小到大排序后,中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù) 平均數(shù) x1,x2,xn的平均數(shù)是x=1n(x1+x2+xn) 方差、 標(biāo)準(zhǔn)差 s2=1ni

11、=1n(xi-x)2, s=1ni=1n(xi-x)2 三、頻率分布直方圖的特征 1.各個小矩形的面積和為 1. 2.縱軸的含義為頻率組距,矩形的面積=組距頻率組距=頻率. 8 / 10 3.樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值等于各個小矩形的面積乘該矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和. 4.眾數(shù)為最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo). 第十章 概率 一、有限樣本空間與隨機(jī)事件 1.隨機(jī)試驗:把對隨機(jī)現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗,簡稱試驗. 2.樣本點:把隨機(jī)試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點. 3.樣本空間:全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間. 4.有限樣本空間:樣本空間為有限集時,稱樣本空間 =1,2, 為有限樣本空

12、間. 5.隨機(jī)事件:把樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,只包含一個樣本點的事件稱為基本事件. 6.必然事件:作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以 總會發(fā)生,我們稱 為必然事件. 7.不可能事件:空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件. 二、事件的關(guān)系和運算 事件的關(guān)系或運算 含義 符號表示 包含 a 發(fā)生導(dǎo)致 b 發(fā)生 ab 相等 a發(fā)生導(dǎo)致 b 發(fā)生,b 發(fā)生也導(dǎo)致 a發(fā)生 a=b 并事件(和事件) a與 b 至少一個發(fā)生 ab 或 a+b 交事件(積事件) a 與 b 同時發(fā)生 ab 或 ab 9 / 10 互斥(互不相容) a與 b

13、 不能同時發(fā)生 ab= 互為對立 a與 b 有且僅有一個發(fā)生 ab=,ab= 三、古典概型 1.特征 (1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個; (2)等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等. 2.概率公式 設(shè)試驗 e是古典概型,樣本空間 包含 n 個樣本點,事件 a包含其中的 k個樣本點,則定義事件 a的概率 p(a)=()(). 四、概率的基本性質(zhì) 性質(zhì) 1:對任意的事件 a,都有 p(a)0. 性質(zhì) 2:必然事件的概率為 1,不可能事件的概率為 0,即 p()=1,p()=0. 性質(zhì) 3:如果事件 a與事件 b 互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 推廣:如果事件 a1,a2,am兩兩互斥,那么事件 a1a2am發(fā)生的概率等于這 m 個事件分別發(fā)生的概率之和,即 p(a1a2am)=p(a1)+p(a2)+p(am). 性質(zhì) 4:如果事件 a與事件 b 互為對立事件,那么 p(b)=1-p(a),p(a)=1-p(b). 性質(zhì) 5:如果 ab,那么 p(a)p(b). 性質(zhì) 6:設(shè) a,b 是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,我們有 p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab). 10 / 10 五、事件的相互獨立性 1.概念 對任意兩個事件,如果 p(ab)=p(a)p(b),則